求曲线、曲面积分的方法与技巧

求曲线、曲面积分的方法和技巧一.曲线积分的计算方法和技巧计算曲线积分一般采用的方法有：利用变量参数化将曲线积分转化为求定积分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分、利用积分和路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利用全微分公式通过求原函数进行计算等方法。例一.计算曲线积分Jydx+xdy,其中L是圆x2+y2=2x(y>0)上从原点LO(0,0)到A(2,0)的一段弧。本题以下采用多种方法进行计算。^ Ix—x, 1—x解：OA的方程为｛ ,. L由O-A,x由0-2,dy=； dx.Iy—2xx-x2, J2x-x2x(1一x)]dx飞2x一x2Jydx+x(1一x)]dx飞2x一x20L=xx22x一x22一J2x(1一x)dx+J2x(1x)dx0 0个2x一x2 022x一x2=2<4一4一0=0.分析：解：是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的，选用的参变量为x.因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。解2在弧OA上取B(1,1)点,TOC\o"1-5"\h\zIy―y, yOB的方程为< L由OtB,y由0t1,dx=y dy.Ix=1-#-y2, ,1-y2Iy—y, vBA的方程为\ , L由BtA,y由1T0,dx=-y dy.1x=1+\：1-y2, J1—y2Jydx+xdy=J1(,yy+1一"一y2)dy+J0(一,yy+1+x11一y2)dyL °v11一y2 1 J1一y2

二2J1।y2 dy -2JU-y2dy =2J1 ；y2 dy -2y，1-y2 1 +2J1 :yy dy0v1-y2 0 0v1-y2 0 0"-y2=-2（'口-0）=0.分析：解是选用参变量为y,利用变量参数化直接计算所求曲线积分的，在方法类型上和解相同。不同的是以y为参数时，路径L不能用一个方程表示，因此原曲线积分需分成两部分进行计算，在每一部分的计算中都需选用在该部分中参数的起始值作为定积分的下限。解：函的参数方程为x=1+cosO,y=sin仇L由OfB-A,9由兀-0,dx=-sin9d9,dy=cosOd9.Jydx+xdy=J0[-sin29+(1+cos9)cos9]d9=J兀[-cos9-cos29]d9兀 0L=(=(-sin9-2sin29)元=0.0解：OA的极坐标方程为r=2cos9,因此参数方程为兀x=rcos9=2cos29,dy=rsin9=2sin9cos9,L由O.B.A,9由—.0,^2dx=-4sin9cos9d9,dy=2(cos29-sin29)d9.Jydx+xdy=J0[-8sin29cos29+4cos29(cos29-sin29)]d9兀TOC\o"1-5"\h\zL 2① 1兀 31兀=4J2[3cos29+4cos49]d9=4(3•一•一一4•一•一•一)=0.0 22 422分析：解和解仍然是通过采用变量参数化直接计算的。可见一条曲线的参数方程不是唯一的，采用不同的参数，转化所得的定积分是不同的，但都需用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。解5添加辅助线段AO，利用格林公式求解。因eQ_ep 于是p—y,Q—x,-—-二—1-1―0,于是ex eyJydx+xdy—-JJ0dxdy,L+AO而Jydx+xdy=J00dx=0,一 2AO

故得Jydx+xdy=1一1=0.L L+AOAO分析:在利用格林公式JP(x,y)dx+Q(x,y)dy=JJ(a-^P)dxdy将所求曲线L o.xdyD积分转化为二重积分计算时，当所求曲线积分的路径非封闭曲线时，需添加辅助曲线采用“补路封闭法”进行计算再减去补路上的积分，但尸，Q必须在补路后的封闭曲线所围的区域内有一阶连续偏导数。L是D的正向边界曲线。解中添加了辅助线段AO，使曲线L+AO为正向封闭曲线。解：由于p_y,Q_x,°Q_|P_1,于是此积分和路径无关，故0x 0yJydx+xdy-Jydx+xdy-J(2,0)ydx+xdy-J20dx-0.OA(0,0) 0OAox oy分析：由于P,Q在闭区域Dox oy因此所求积分只和积分路径的起点和终点有关，因此可改变在L上的积分为在OA上积分，注意O点对应L的起点。一般选用和坐标轴平行的折线段作为新的积分路径，可使原积分得到简化。解：由全微分公式ydx+xdy-d(xy),(2,0)-0.(0,0)Jydx+xdy-J(2,0)d(2,0)-0.(0,0)(0,0)L分析：此解根据被积表达式的特征，用凑全微分法直接求出。例二.计算曲线积分J(z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dz，其中C是曲线Cx2+y2=1，从z轴正向往z轴负向看C的方向是顺时针的。x-y+z-2,解1设2表示平面x-y+z-2上以曲线L为边界的曲面，其中2的正侧和L的正向一致，即2是下侧曲面，2在xoy面上的投影区域D：x2+y2-1.由xy斯托克斯公式dydzJ(z-ydydzJ(z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dz-JJz-ydzdxdxdy0 00y 0zx-zx-y-iffdxdy--2ffdxdy-—2兀.Dxy解：利用两类曲面积分间的联系，所求曲线积分了可用斯托克斯公式的另cosacosPcosySSSSxSySzz-yx-zx-ydS2形式求得出dS2f(z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dz-ff-ff(0+0+2cosy)dS,21而平面2：x-y+z-2的法向量向下，故取n-{-1,1,-1),cos丫二^3于是上式-二ffdS-二ff*；1+(-1)2+1dxdy--2兀.<3 v:32 x2+y2<1分析：以上解和解都是利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积dydz分计算的。在利用斯托克斯公式JJ£dzdx

dydz分计算的。在利用斯托克斯公式JJ£dzdx

SdxdyPdx+Qdy+Rdz计算时且L且L的正(1)⑵首先应验证函数P,Q,R在曲面2连同边界L上具有一阶连续的偏导数向和2的侧符合右手规则。在计算空间曲线积分时，此法也是常用的。解3将积分曲线用参数方程表示，将此曲线积分化为定积分。设x-cos。，y-sin0,则z-2-x+y-2-cos0+sin0,0从2兀-0.f(z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dzCf0[(2-cos0)(-sin0)+(2cos0-2-sin0)cos0+2兀(cos0-sin0)(sin0+cos0)]d0f2兀[2(sin0+cos0)-2cos20-cos20]d00f2兀[2sin0-1-cos20]d0--2兀.0例三•计算f(x2+y2+22)ds，其中r为曲线1：二；-；RR

解：由于当积分变量羽yz轮换位置时，曲线方程不变，而且第一类曲线积分和弧的方向无关，故有Ix^ds-VI(X2+>2+Z2).二竺Jds.r Ix^ds-V由曲线「是球面X2+V2+Z2=R2上的大圆周曲线，其长为2兀R故I 2 4I(x2+y2)ds=-R2-2nR=-71R3.由于「关于原点对称，由被积函数为奇函数，得Jzds=O.于是「1(x2+)2+2z)ds--k7?3.r解：利用在「上，X2+>2+Z2=氏2,2+>2+"—12+2z,)ds=R21ds」12ds+21zdsTOC\o"1-5"\h\zr rr r再由对称性可得Jz2ds=色-2就(同解)，于是3rI、 R2 4上式=R2•2nR-——•271A+20=—访3.3 3分析：以上解解利用对称性，简化了计算。在第一类曲线积分的计算中,当积分变量在曲线方程中具有轮换对称性(即变量轮换位置，曲线方程不变)时,采用此法进行计算常常是有效的。例四.求J出匚沙，其中七为椭圆曲线£121+#=i上在上半平面内从LX2-hy2 9A(—2,0)-6(4,0)的弧。解：添加辅助线/为X2+#=£2的顺时针方向的上半圆周以及有向线段AC,DB,其中£是足够小的正数，使曲线X2+y2=£2包含在椭圆曲线由于S/—x、dzy、 %2-y2—( )二—( )= dxX2+)2dyX2+J2(X2+)2)2由格林公式，有J+L+J+J_=o.-LACDB

-LACDB设y=esin0,x=ecos0,有e2jydx-xdy_j—e2sin20-e2cos204°_e2l 兀再由jydx-xdy=0,jydx-xdy=0.于是x2+y2 _x2+y2AC DBjydx-xdy_jydx-xdy_兀x2+y2 x2+y2Ll分析：利用格林公式求解第二类曲线积分往往是有效的，但必须要考虑被积函数和所考虑的区域是不是满足格林公式的条件。由于本题中在(0,0)点附近P_ ,Q_无定义，于是采用在椭圆内部：0,0)附近挖去一个小圆，x2+y2 x2+y2使被积函数在相应的区域上满足格林公式条件这。种采用挖去一个小圆的方法是常用的，当然在内部挖去一个小椭圆也是可行的。同时在用格林公式时，也必须注意边界曲线取正向。例五.求八分之一的球面x2+y2+z2_R2,x>0,y>0,z>0的边界曲线的重心，设曲线的密度p=1.解：设边界曲线L在三个坐标面内的弧段分别为L,L,L,则L的质量为1232兀R 3_〃m_Jpds_ds_3- _—兀R.4 2LLmmL L1__jxds_—jRx,1+(mm0L1设边界曲线l的重心为(x,y,z),mmL L1__jxds_—jRx,1+(mm0L1LL

23-x-)2dx\R2-x2_2jRx「dx_3,R，m0RR2-x2m2R2_2R2_4R丁一瓦.24R由对称性可知x_y_z_ .3兀分析：这是一个第一类曲线积分的使用题。在计算上要注意将曲线L分成三个部分：L:J=0,0<x<R,z=r22—x2,L:z-0,0<x<R,y=rR2—x2,1 2L:x-0,0<y<R,z=、；R2干.另一方面由曲线关于坐标系的对称性，利用可3 tx-y-z简化计算。二.曲面积分的计算方法和技巧计算曲面积分一般采用的方法有：利用“一投，二代，三换”的法则，将第一类曲面积分转化为求二重积分、利用“一投，二代，三定号”的法则将第二类曲面积分转化为求二重积分，利用高斯公式将闭曲面上的积分转化为该曲面所围区域上的三重积分等。例六.计算曲面积分J!zdS,其中2为锥面z-4穴区在柱体x2+y2<2x内2的部分。解：2在xOy平面上的投影区域为D:x2+y2<2x，曲面2的方程为z-xx2+y2,(x,y)eD.因此JJzdS1+(z')2+(z')2dxdy-*2JJ.、：x2+y2dxdy., x x y因此2D D对区域D作极坐标变换J-1rcos0,则该变换将区域D变成(r,9)坐标系中的区Iy-sin0,.冗一冗 一一.一域D :-1<0<1,0<r<2cos0,因此TOC\o"1-5"\h\z(r,0) 2 2JJqx2+y2dxdy-J2d0J2cos0r2dr--J2cos30d0-—.. -i 0 3-i 9D2 2分析：以上解是按“一投，二代，三换”的法则，将所给的第一类曲面积分化为二重积分计算的。“一投”是指将积分曲面2投向使投影面积不为零的坐标面。“二代”是指将2的方程先化为投影面上两个变量的显函数，再将这显函数代入被积表达式。“三换”是指将dS换成投影面上用直角坐标系中面积元素表示87 87 9y 合yTOC\o"1-5"\h\z的曲面面积元素，即dS=,1+(一)2+(一)2dxdy,或dS-；1+(―)2+(―)2dzdx,8x 8y \ 8x 8z8x 8x或dS-、：1+(Wy)2+(£)2dxdz.上解中的投影区域在xOy平面上，因此用代换\ 8x 8z

故变换成极坐标计算。dS=：1+(包)2+(包)2dxdy,由于投影区域是圆域，ax ay故变换成极坐标计算。例七.设半径为R的球面2的球心在定球面x2+y2+z2=a2(a>0)上，问R为何值时，球面2在定球面内部的那部分的面积最大?TOC\o"1-5"\h\z解：不妨设2的球心为(0,0,a)，那么2的方程为x2+y2+(z-a)2=R2,它和定球面的交线为卜2+y2+z2=a2， 即[X2+y2+(z一a)2=R2,‘ R2(4a2-R2)x2+y2=—— ,4a21R2z=a———.[ 2a设含在定球面内部的2上那部分球面21在xOy面上的投影区域为D，那么D:x2+y2<R2(4a2—R2),且这部分球面的方程为4a2z=a-RR2一x2一y2,(x,y)eD.则2的面积为111dS=111+(z')2+(z')2dxdy=xy2DR11一dxdR11一dxddRR2-x2-y2=R12兀do12a4a2-R2 .rrlr0 0RR2-r2R.J~~~=2兀R(-JR2-r2)2a4a2-R202a-R=2兀R2- 2a以下只需求函数S(R)=2兀R2•2a二R在[0,2a]上的最大值。2a由令S'(R)=2兀(2R-3R2)=0,得唯一驻点R=4a,且S〃(4a)=-4兀<0.由问2a 3 3题的实际意义知S(R)在R=4a处取得最大值。即R=丑时，2的面积最大，为3 3 132a2兀.27分析：本题是第一类曲面积分的使用题，在计算中关键是利用了球面的对称性，和确定了含在定球面内部的2上那部分球面A1在xOy面上的投影区域D。

在此基础上，按上题分析中的“一投，二代，三换”的法则即可解得结果。例八.计算曲面积分U(2x+z)dydz+zdxdy,其中S为有向曲面Sz=x2+y2(0<z<1),其法向量和Z轴正向的夹角为锐角。设D,D分别表示S在yoz平面，yzxyxoy平面上的投影区域，则，x+z)dydz设D,D分别表示S在yoz平面，yzxyxoy平面上的投影区域，则，x+z)dydz+zdxdyDyzz-y2+z)(一dydz)+JJ(一2弋z-y2+z)dydz+JJ(x2+y2)dxdyDyzD

xy-4JJA；z-y2dydz+JJ(x2+y2)dxdy.D

yzD

xy其中JJ\；'z-y2dydz=J1dyJ1yz-y2dz=Dyz-1y24 2-J1(1-y2)3dy30令y=sintJJ『dydz二4J' 3<7 431兀COS4tdt=—34224'D

yz又所以r2.rdr=-2JJ(x2+y2)dxdy=J又所以r2.rdr=-2D

xy兀兀(2x+z)dydz+zdxdy=-4•—+—=分析：计算第二类曲面积分，若是组合型，常按“一投，二代，三定号”法则将各单一型化为二重积分这里的“一投”是指将积分曲面2投向单一型中已指定的坐标面。“二代”是指将2的方程先化为投影面上两个变量的显函数，再将这显函数代入被积表达式。“三定号”是指依曲面2的定侧向量，决定二重积分前的“+”，“-”符号，当2的定侧向量指向坐标面的上(右，前)方时，二重积分前面取“+”，反之取解利用dS=dydz=ddx=dd化组合型为单一型cosacosPcosyJJ(2x+z)JJ(2x+z)dydz+zdxdy=JJ[(2x+z)cosacosy+z]dxdy.因S的法向量和z轴正向的夹角为锐角取n={-2x,-2y,1},故有Cosa=-2x,cosy于是

原式=11[(2x+z)(-2x)+z]dxdyS11[-4x2一2x(x2+y2)+(x2+y2)]dxdy.x2+y2<1因为11-2x(x2+y2)dxdy=0,所^以x2+y2<1上式=11[-4x2+(x2+y2)]dxdyx2+y2<1=412Kd。11(-4r2cos20+r2)rdr=--0 0 2分析：计算第二类曲面积分，若是组合型，也可利用公式dzdxdxdydS=分析：计算第二类曲面积分，若是组合型，也可利用公式dzdxdxdydS=祗。cosa cosPcosy,先化组合型为统一的单一型，再按“一投，二代，解3解3以S表示法向量指向Z轴负向的有向平面Z=1(x2+y2<1)，D为S在1xoy平面上的投影区域，则11(2x+z)dydz+zdxdy=11(-dxdy)=-兀.TOC\o"1-5"\h\zS1 D设Q表示由S和S所围成的空间区域，则由高斯公式得111(2x+z)dydz+zdxdy=-111(2+1)dvS+S1 Q=-312兀d。11rdr11dz=-6k11(r-r3)dr0 0 r2 0因此11(2x+z)dydz+zdxdy=-，-(-兀)=-gS因此分析：利用高斯公式11Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=111(―+Q++—)dxdydz，dx dy &可将曲面积分化为三重积分求得。但必需满足尸,Q,R在闭区域Q上有一阶连续的偏导数，2是边界曲面的外侧。本题中的曲面S不是封闭曲面，故添加了S1，使SUS为封闭曲面，并使SUS的侧符合高斯公式对边界曲面的要求。例九：计算曲面积分I=JJx(8y+1)dydz+2(1-y2)dzdx-4yzdxdy,其中2是由2曲线卜=ty-1,1<y<3,绕y轴旋转一周而成的曲面，其法向量和y轴正向的lx=0夹角恒大于三解：设21dxz2<2,表示y=3上和y轴正向同侧的曲面，由2和21所围立体记为Q.由高斯公式得JJx(8y+1)dydz+2(1-y2)dzdx-4yzdxdy=JJJdxdydz,2+21)dzdx一4yzdxdy.因止匕I=JJJdxdydz一JJx(8y+1)dydz+)dz