高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题-2

高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题第一部分：椭圆1、知识关系网基本知识点1.椭圆的定义：第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.第二定义:平面内到定点F与到定直线l的距离之比是常数e(0<e<1)的点的轨迹是椭圆,定点叫做椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数叫做椭圆的离心率.2.椭圆的标准方程及其几何性质(如下表所示)标准方程图形顶点,,对称轴轴，轴，长轴长为，短轴长为焦点、、焦距焦距为离心率(0<e<1)（离心率越大，椭圆越扁准线方程通径（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）注:1.焦半径(椭圆上一点到焦点的连线段)公式不要求记忆,但要会运用椭圆的第二定义.2.椭圆参数方程：如图点的轨迹为椭圆.典型例题例1.F1，F2是定点，且|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M点的轨迹方程是()(A)椭圆(B)直线(C)圆(D)线段例2.已知的周长是16，，B,则动点的轨迹方程是()(A)(B)(C)(D)例3.若F(c，0)是椭圆的右焦点，F与椭圆上点的距离的最大值为M，最小值为m，则椭圆上与F点的距离等于的点的坐标是()(A)(c，)(C)(0，±b)(D)不存在例4.如果椭圆上有一点P，它到左准线的距离为2.5，那么P点到右焦点的距离与到左焦点的距离之比是()。(A)3:1(B)4:1(C)15:2(D)5:1例5.设F1(-c，0)、F2(c，0)是椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点，P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点,若∠PF1F2=2∠PF2F1,则椭圆的离心率为例6.写出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴与短轴的和为18，焦距为6;.(2)椭圆的两个顶点坐标分别为,,且短轴是长轴的;____.(3)离心率为，经过点(2，0);.例7.是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上运动，则的最大值是．图形顶点对称轴轴，轴，实轴长为，虚轴长为焦点焦距焦距为离心率(e>1)（离心率越大，开口越大）准线方程通径双曲线的标准方程及其几何性质(如下表所示渐近线注意：（1）与（）表示双曲线的一支。表示两条射线；没有轨迹；（2）等轴双曲线为，其离心率为3典型例题例1.命题甲：动点P到两定点A、B的距离之差的绝对值等于2a(a>0)；命题乙：点P的轨迹是双曲线。则命题甲是命题乙的()(A)充要条件(B)必要不充分条件(C)充分不必要条件(D)不充分也不必要条件例2.到定点的距离与到定直线的距离之比等于log23的点的轨迹是（）(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线例3.过点(2，-2)且与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程是()(A)(B)(C)(D)例4.如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么双曲线的离心率为（）（A）（B）（C）（D）2例5.如果双曲线上一点到它的左焦点的距离是8，那么点到它的右准线的距离是例6.根据下列条件，求双曲线方程:⑴与双曲线有共同渐近线，且过点(-3，)；⑵与双曲线有公共焦点，且过点(，2).第三部分：抛物线知识网络基本知识点1.抛物线的定义:平面内到定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点F不在上).定点F叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程及其几何性质(如下表所示)标准方程图形对称轴轴轴轴轴焦点顶点原点准线离心率1点P(x0,y0)的焦半径公式用到焦半径自己推导一下即可如:开口向右的抛物线上的点P(x0,y0)的焦半径等于x0+.通径2p注:1.通径为2p，这是抛物线的过焦点的所有弦中最短的弦.2.(或)的参数方程为(或)(为参数).典型例题例1.顶点在原点，焦点是的抛物线方程是()(A)x2=8y(B)x2=8y(C)y2=8x(D)y2=8x例2.抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是()(A)(B)(C)(D)0例3.过点P(0,1)与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有()(A)4条(B)3条(C)2条(D)1条例4.过抛物线(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则等于()(A)2a(B)(C)(D)例5.若点A的坐标为(3，2)，F为抛物线y2=2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使|PA|+|PF|取最小值，P点的坐标为()(A)(3，3)(B)(2，2)(C)(，1) (D)(0，0)例6.动圆M过点F(0，2)且与直线y=-2相切，则圆心M的轨迹方程是.例7.以抛物线的焦点为圆心，通径长为半径的圆的方程是_____________.高二圆锥曲线测试题一、选择题：1．已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是（）A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆D.以上都不对2．设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为、F2分别是双曲线的左、右焦点，若，则（）A.1或5 B.1或9 C.1D.93、设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）.A.B.C.D.4．过点(2,-1)引直线与抛物线只有一个公共点,这样的直线共有()条A.1 B.2 C.3D.45．已知点、，动点，则点P的轨迹是()A．圆B．椭圆 C．双曲线D．抛物线6．如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（）ABCD 7、无论为何值，方程所表示的曲线必不是（）A.双曲线 B.抛物线C.椭圆D.以上都不对8．方程与的曲线在同一坐标系中的示意图应是（） ABCD二、填空题：9．对于椭圆和双曲线有下列命题：椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点;②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点;双曲线与椭圆共焦点;④椭圆与双曲线有两个顶点相同.其中正确命题的序号是.10．若直线与圆相切，则的值为11、抛物线上的点到直线的距离的最小值是12、抛物线C:y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标。13、椭圆的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的14．若曲线的焦点为定点，则焦点坐标是.;三、解答题：15．已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程.（12分）16．P为椭圆上一点，、为左右焦点，若（1）求△的面积；（2）求P点的坐标．（14分）17、求两条渐近线为且截直线所得弦长为的双曲线方程.（14分）18、知抛物线，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ的中点，求点M的轨迹方程．（12分）某工程要将直线公路l一侧的土石，通过公路上的两个道口A和B，沿着道路AP、BP运往公路另一侧的P处，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，试说明怎样运土石最省工？ADDCDDBA9．①②10、-111、12.（）13.7倍14.（0，±3）15.(12分)解:由于椭圆焦点为F(0,4),离心率为e=,所以双曲线的焦点为F(0,4),离心率为2,从而c=4,a=2,b=2.所以求双曲线方程为:16．[解析]：∵a＝5，b＝3c＝4（1）设，，则①②，由①2－②得（2）设P，由得4，将代入椭圆方程解得，或或或17、解:设双曲线方程为x2-4y2=.联立方程组得:,消去y得，3x2-24x+(36+)=0设直线被双曲线截得的弦为AB，且A(),B()，那么：那么：|AB|=解得:=4,所以，所求双曲线方程是：18[解析]：设M（），P（），Q（），易求的焦点F的坐标为（1，0）∵M是FQ的中点，∴，又Q是OP的中点∴， ∵P在抛物线上，∴，所以M点的轨迹方程为.19解析：设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），将P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率k==－