西经课后题(课后大题期末)

5．假定某花费者对于某种商品的花费数目Ｑ与收入M之间的函数关系为M＝100Q2。求：当收入M＝6400时的需求的收入点弹性。2解：由已知条件M＝100Q，可得：于是有：进一步，可得：察看并剖析以上计算过程及其结果可发现，当收入函数M＝aＱ2（此中a＞0且为常数）时，则不论收入M为多少，相应的需求的收入点弹性恒等于1/2。6．假定需求函数为Ｑ＝MP－N，此中M表示收入，P表示商品价钱，N（N＞0）为常数。求：需求的价钱点弹性和需求的收入点弹性。－N因而可知，一般地，对于幂指数需求函数Ｑ（P）＝MP－N而言，其需求的价钱点弹性总等于幂指数的绝对值N。而对于线性需求函数Ｑ（M）＝MP－N而言，其需求的收入点弹性老是等于1。7．假定某商品市场上有100个花费者，此中，60个花费者购置该市场1的商品，且每3个花费者的需求的价钱弹性均为3；此外40个花费者购置该市场2的商品，且每个花费者3的需求的价钱弹性均为6。求：按100个花费者共计的需求的价钱弹性系数是多少？解：令在该市场上被100个花费者购置的商品总量为Ｑ，相应的市场价钱为P。依据题意，该市场1的商品被60个花费者购置，且每个花费者的需求的价钱弹性都是33，于是，单个花费者i的需求的价钱弹性能够写为：即：（1）且：（2）相近似地，再依据题意，该市场2的商品被此外40个花费者购置，且每个花费者的需3求的价钱弹性都是6，于是，单个花费者j的需求的价钱弹性也能够写为：即：（3）且：（4）别的，该市场上100个花费者共计的需求的价钱弹性能够写为：将（1）式、（2）式代入上式，得：再将（2）式、（4）式代入上式，得：所以，按100个花费者共计的需求的价钱弹性系数是5。8．假定某花费者的需求的价钱弹性ed＝1.3，需求的收入弹性eM＝2.2。求：（1）在其余条件不变的状况下，商品价钱降落2％对需求数目的影响。（2）在其余条件不变的状况下，花费者收入提升5％对需求数目的影响。Qd解：（1）因为edQd，于是将ed1.3，P＝2%代入，有：PPPQdQdQd0.026；1.3Qd0.02所以在其余条件不变的状况下，价钱降低2%使需求增添2.6%。（2）因为，于是有：；所以，其余条件不变收入提升5%时，需求增添11%。9．假定在某市场上A、B两厂商是生产同种有差别的产品的竞争者；该市场对A厂商的需求曲线为PA＝200－QA，对B厂商的需求曲线为PB＝300－0.5QB；两厂商当前的销售量分别为QA＝50，QB＝100。求：（1）A、B两厂商的需求的价钱弹性edA和edB各是多少？（2）假如B厂商降价后，使得B厂商的需求量增添为QB＝160，同时使竞争敌手A厂商的需求量减少为QA＝40。那么，A厂商的需求的交错价钱弹性eAB是多少？（3）假如B厂商追求销售收入最大化，那么，你以为B厂商的降价是一个正确的行为选择吗？解：（1）对于A厂商：因为PA＝200－QA＝200－50＝150，且A厂商的需求函数能够写成：QA＝200－PA于是，A厂商的需求的价钱弹性为：dQAPA(1)150edAQA3dPA50对于B厂商：因为PB＝300－0.5QB＝300－0.5×100＝250，且B厂商的需求函数能够写成：QB＝600－2PB于是，B厂商的需求的价钱弹性为：edQBPB(2).2505dBdPBQB100（2）令B厂商降价前后的价钱分别为PB和PB′，且A厂商相应的需求量分别为ＱA和ＱA′，依据题意有：ＱA＝50ＱA′＝40所以，A厂商的需求的交错价钱弹性为：（3）由（1）可知，B厂商在PB＝250时的需求的价钱弹性为edB＝5，也就是说，对B厂商的需求是富裕弹性的。对于富裕弹性的商品而言，厂商的价钱和销售收入成反方向的变化，所以，B厂商将商品价钱由PB＝250降落为PB′＝220，将会增添其销售收入。详细地有：降价前，当PB＝250且QB＝100时，B厂商的销售收入为：降价后，当PB′＝20，且QB′＝100，B厂商的销售收入为：明显，，即B厂商降价增添了它的销售收入，所以，对于B厂商的销售收入最大化的目标而言，它的降价行为是正确的。212.假定某商品销售的总利润函数为TR＝120Q－3Q。解答：由已知条件可得MR＝dTRdQ＝120－6Q＝30(1)得Q＝15由式(1)式中的边沿利润函数MR＝120－6Q，可得反需求函数P＝120－3Q(2)将Q＝15代入式(2)，解得P＝75，并可由式(2)得需求函数Q＝40－P。最后，依据需求3的价钱点弹性公式有ed＝－dQP1755·＝－－3·＝3dPQ1513.假定某商品的需求的价钱弹性为1.6，现售价钱为P＝4。求：该商品的价钱降落多少，才能使得销售量增添10%？解答：依据已知条件和需求的价钱弹性公式，有QQ10%ed＝－P＝－P＝1.6P4由上式解得P＝－0.25。也就是说，当该商品的价钱降落0.25，即售价为P＝3.75时，销售量将会增添10%。2.假定某花费者的平衡如图3—1(即教材中第和纵轴OX2分别表示商品1和商品2的数目，线段

96页的图3—22)所示。此中，横轴AB为花费者的估算线，曲线

OX1图3—1某花费者的平衡U为花费者的无差别曲线，E点为功效最大化的平衡点。已知商品1的价钱P1＝2元。(1)求花费者的收入；(2)求商品2的价钱P2；(3)写出估算线方程；(4)求估算线的斜率；(5)求E点的MRS12的值。解答：(1)图中的横截距表示花费者的收入所有购置商品1的数目为30单位，且已知P1＝2元，所以，花费者的收入M＝2元×30＝60元。(2)图中的纵截距表示花费者的收入所有购置商品2的数目为20单位，且由(1)已知收入M＝60元，所以，商品2的价钱P2＝M＝60＝3元。2020(3)因为估算线方程的一般形式为P1X1＋P2X2＝M所以，由(1)、(2)可将估算线方程详细写为：2X1＋3X2＝60。(4)将(3)中的估算线方程进一步整理为X2＝－2X1＋20。很清楚，估算线的斜率为－2。33(5)在花费者功效最大化的平衡点E上，有MRS12＝P1，即无差别曲线斜率的绝对值即P2MRS等于估算线斜率的绝对值P1。所以，MRS12＝P1＝2。P2P236．假定某花费者的功效函数为U＝x13/8x25/8，两商品的价钱分别为P1，P2，花费者的收入为M。分别求该花费者对于商品l和商品2的需求函数。解：成立拉格朗日函数：L(x1,x2,)U(x1,x2)(Px11P2x2M)35即L(x1,x2,)x18x28(Px11P2x2M)令L0,L0，x得：3(x2)85P10①8x15(x1)83P20②8x2Px11P2x2M③由①②③联立可得：x13M,x25M8P18P2此即为两者的需求函数。7．令某花费者的收入为M，两商品的价钱为P１、P2。假定该花费者的无差别曲线是线性的，且斜率为－a。求：该花费者的最优商品花费组合。解：据题意，可知估算方程为：PxPyM，估算线斜率为P112P2因为无差别曲线是直线，且斜率为－a，所以无差别曲线斜率的绝对值为：MRS12dX2a。dX1所以，该花费者的最优商品花费组合为：（1）当aP1时，边角解是估算线与横轴的交点，如图3-9（a）所示。P2这时，y0由估算方程得：MxP1即最优商品组合为(M,0)P1（2）当aP1时，边角解是估算线与纵轴的交点，如图3-9（b）所示。P2这时，x0由估算方程得：y

MP2即最优商品组合为(0,M)P2（3）当aP1时，无差别曲线与估算线重叠，估算线上各点都是最优商品组合点。P2（a）（b）（c）图3-9最优商品组合8．假定某花费者的功效函数为，此中，q为某商品的花费量，M为收入。求：（1）该花费者的需求函数。（2）该花费者的反需求函数。（3）当q＝4时的花费者节余。解：（1）由题意可得，商品的边沿功效为：MUU0.5q0.5q钱币的边沿功效为：U3M于是，依据花费者平衡条件MU，有：p0.5q0.5p3整理得需求函数为q＝136p2（2）由需求函数q＝1可得反需求函数为：36p21p6q（3）由反需求函数p1可得花费者节余为：6q将p＝1,q＝4代人上式，则有花费者节余：123．已知生产函数Qf(L,K)2KL0.5L20.5K2，假定厂商当前处于短期生产，且K＝10。（1）写出在短期生产中该厂商对于劳动的总产量TPL函数、劳动的均匀产量APL函数和劳动的边沿产量L函数；MP（2）分别计算当劳动的总产量TP、劳动的均匀产量AP和劳动的边沿产量MPL各自达到极大值时的厂商的劳动投入量；（3）什么时候APL＝MPL？它的值又是多少？解：（1）将K＝10代入生产函数Qf(L,K)2KL0.5L20.5K2中，得：Q0.5L220L50于是，依据总产量、均匀产量和边沿产量的定义，有以下函数：劳动的总产量函数TPL0.5L220L5050劳动的均匀产量函数APL0.5L20L劳动的边沿产量函数MPLL20（2）令MPL0，解得L20即当劳动的投入量为20时，劳动的总产量TPL达到最大。'0.5500，解得L10（负值舍去）令APLL2且有所以，当劳动投入量为L10时，劳动的均匀产量APL达到最大。由劳动的边沿产量函数MPLL20可知，MP'L1＜0，边沿产量曲线是一条斜率为负的直线。所以边沿产量函数递减，所以当劳动投入量L0时劳动的边沿产量MPL达到极大值。（3）当劳动的均匀产量AP达到最大时，必定有APL＝MPL，L即0.5L2050＝L20，得：L10L此时APL＝MPL＝10。12．令生产函数f（L，K）＝α0＋α1（LK）1/2＋α2K＋α3L，此中0≤αi≤1，i＝0，1，2，3。1）当知足什么条件时，该生产函数表现出规模酬劳不变的特点？2）证明：在规模酬劳不变的状况下，相应的边沿产量是递减的。解：（1）∵f（L，K）＝α0＋α1（LK）1/2＋α2K＋α3L1则f(L,K)01(2LK)2101(LK)21[01(LK)2f(L,K)(1

2(K)3(L)2K3L2K3L](1)0)0假如该生产函数表现出规模酬劳不变，则f(L,K)f(L,K),这就意味着对于任何常数＞0都必有(1)00，解得00。可见，当00时，该生产函数表现出规模酬劳不变的特点。1（2）在规模酬劳不变的状况下，生产函数为f(L,K)1(LK)22K3L，这时有：1df(L,K)1K2MPL213dLLMPKdf(L,K)1LdK1K2dMPL131L2K2＜0dL413dMPK1L2K2＜0dK4

122这表示在规模酬劳不变的状况下，该函数相应的边沿产量是递减的。13．已知某公司的生产函数为Ｑ＝L2/3K1/3，劳动的价钱w＝2，资本的价钱r＝1。求：（1）当作本C＝3000时，公司实现最大产量时的L、K和Ｑ的平衡值。（2）当产量Ｑ＝800时，公司实现最小成本时的L、K和C的平衡值。解：（1）依据公司实现给定成本条件产量最大化的平衡条件：此中w＝2，r＝1于是有：整理得：即：K＝L再将K＝L代入拘束条件2×L＋1×K＝3000，有：2L＋L＝3000解得：L*＝1000且有：K*＝1000将L*＝K*＝1000代入生产函数，求得最大的产量：Ｑ*＝（L*）2/3（K*）1/3＝10002/3+1/3＝1000以上结果表示，在成本为C＝3000时，厂商以L*＝1000，K*＝1000进行生产所达到的最大产量为Ｑ*＝1000别的，本题也能够用以下拉格朗日函数法来求解。将拉格朗日函数分别对L、K和λ求偏导，得极值的一阶条件：①②③由①式、②式可得：，即K＝L将K＝L代入拘束条件即③式，可得：3000－2L－L＝0解得L*＝1000且有K*＝1000再将L*＝K*＝1000代入目标函数即生产函数，得最大产量：2/31/32/3+1/3Ｑ*＝（L*）（K*）＝1000＝1000在此略去对于极大值得二阶条件的议论。（2）依据厂商实现给定产量条件下成本最小化的平衡条件：此中w＝2，r＝1于是有：整理得：即：K＝L再将K＝L代入拘束条件L2/3K1/3＝800，有：L2/3L1/3＝800解得L*＝800且有K*＝800将L*＝K*＝800代人成本方程2L＋1·K＝C，求得最小成本：C*＝2L*＋1K*＝2×800＋1×800＝2400本题的计算结果表示：在Ｑ＝800时，厂商以L*＝800，K*＝800进行生产的最小成本为C*＝2400。别的，本题也能够用以下的拉格朗日函数法来求解。将拉格朗日函数分别对L、K和μ求偏导，得极值的一阶条件：①②③由①、②两式可得：即：K＝L再将K＝L代入拘束条件即③式，有：L2/3K1/3－800＝0解得L*＝800且有K*＝800将L*＝K*＝800代人成本方程2L＋1·K＝C，求得最小成本：C*＝2L*＋1K*＝2×800＋1×800＝24002．下边是一张某厂商的LAC曲线和LMC曲线图5-5。请分别在Q1和Q2的产量上画出代表最优生产规模的SAC曲线和SMC曲线。图5-5短期成本曲线答：在产量Q1和Q2上，代表最优生产规模的SAC曲线和SMC曲线是SAC1和SAC2以及SMC1和SMC2。SAC1和SAC2分别相切于LAC的A点和B点，SMC1和SMC2则分别订交于LMC的A'和B'点。见下列图5-6。图5-6成本曲线6．某公司用两个工厂生产一种产品，其总成本函数为C＝2Ｑ12＋Ｑ22－Ｑ1Ｑ2，此中1表示第一个工厂生产的产量，Ｑ2表示第二个工厂生产的产量。求：当公司生产的总产量为40时能够使得公司生产成本最小的两工厂的产量组合。解:本题能够用两种方法来求解。（1）第一种方法：当一个厂商用两个工厂生产同一种产品时，它一定使两个工厂生产的边沿成真相等，即MC1＝MC2,才能实现成本最小的产量组合。依据题意，第一个工厂生产的边沿成本函数为：MC1＝4Ｑ1－Ｑ2第二个工厂的边沿成本函数为：MC2＝2Ｑ2－Ｑ1于是，依据MC1＝MC2原则，得：2Ｑ2－Ｑ1＝4Ｑ1－Ｑ2解得：Ｑ1＝0.6Ｑ2（1）又因为Ｑ＝Ｑ1＋Ｑ2＝40，于是，将（1）代入有：0.6Ｑ2＋Ｑ2＝Ｑ＝40解得：Ｑ2*＝25将其代入（1），解得：Q1*＝15（2）第二种方法：运用拉格朗日发来求解。C＝2Ｑ12＋Ｑ22－Ｑ1Ｑ2s.t.Ｑ1＋Ｑ2＝40将以上拉格朗日函数分别对Ｑ1、Ｑ2和λ求导，得最小值的一阶条件为：由前两个式子可得：4Ｑ1－Ｑ2＝2Ｑ2－Ｑ1即：Ｑ1＝0.6Ｑ2将Ｑ1＝0.6Ｑ2代入第三个式子，得：40－0.6Ｑ2－Ｑ2＝0解得：Ｑ2*＝25再由Ｑ1＝0.6Ｑ2，得：Ｑ1*＝157．已知生产函数Ｑ＝A1/4L1/4K1/2；各因素价钱分别为PA＝1，PL＝1，PK＝2；假定厂商处于短期生产，且K＝16。推导：该厂商短期生产的总成本函数和均匀成本函数；总可变为本函数和均匀可变函数；边沿成本函数。解:因为是短期生产,且K＝16，PA＝1，PL＝1，PK＝2，故总成本等式C＝PAA＋PLL＋PKK能够写成：C＝1×A＋1×L＋32C＝A＋L＋32生产函数能够写成：Ｑ＝A1/4L1/4（16）1/2＝4A1/4L1/4并且，所谓的成本函数是指相对于给定产量而言的最小成本。所以，依据以上内容，相应的拉格朗日函数法表述以下：A＋L＋321/4L1/4＝Ｑ（此中，Ｑ为常数）将以上拉格朗日函数分别对A、L、λ求偏导，得最小值的一阶条件为：由前两个式子可得：即：L＝A将L＝A代入拘束条件即第三个式子，得：Ｑ－A1/4L1/4＝0解得：A*＝且：L*＝于是，有短期生产的各种成本函数以下：总成本函数TC（Ｑ）＝A+L+32＝均匀成本函数AC（Ｑ）＝总可变为本函数TVC（Ｑ）＝均匀可变为本函数AVC（Ｑ）＝边沿成本函数MC（Ｑ）＝8．已知某厂商的生产函数为Q＝0.5L1/3K2/3；当资本投入量K＝50时资本的总价钱为500；劳动的价钱PL＝5。求：1）劳动的投入函数L＝L（Q）。2）总成本函数、均匀成本函数和边沿成本函数。3）当产品的价钱P＝100时，厂商获取最大利润的产量和利润各是多少？解：（1）已知K＝50时，其总价钱为500，所以PK10对于生产函数Q＝0.5L1/3K2/3可求出：MPL1K2/31L1/3（），MPK（）6L3K由PLMPL，可得：KLPKMPK代入生产函数，得：Q0.5L，即L2Q（2）将L＝2Q代入成本等式C＝5L＋10K可得：总成本函数TCLPLKPK10Q500均匀成本函数AC10500/Q边沿成本函数MC10（3）由（1）可知，生产者达到平衡时，有：KL因为K＝50，所以：L＝50代入生产函数有：得：Q＝25此时利润为：PQTCPQ(PLLPKK)25007501750324.已知某完整竞争行业中的单个厂商的短期成本函数为STC＝0.1Q－2Q＋15Q＋10。(1)当市场上产品的价钱为P＝55时，厂商的短期平衡产量和利润；(2)当市场价钱降落为多少时，厂商一定停产？(3)厂商的短期供应函数。解答：(1)因为STC＝0.1Q3－2Q2＋15Q＋10，所以SMC＝f(dSTC,dQ)＝0.3Q2－4Q＋15。依据完整竞争厂商实现利润最大化的原则P＝SMC，且已知P＝55，于是有0.3Q2－4Q＋15＝552*整理得0.3Q－4Q－40＝0，解得利润最大化的产量Q＝20(已舍去负值)。*将Q＝20代入利润等式有π＝TR－STC＝P·Q－STC55×20－(0.1×203－2×202＋15×20＋10)1100－310＝790即厂商短期平衡的产量Q*＝20，利润π＝790。(2)当市场价钱降落为P小于均匀可变为本AVC即P≤AVC时，厂商一定停产。而此时的价钱P必然小于最小的均匀可变为本AVC。依据题意，有AVC＝f(TVC,Q)＝f(0.1Q3－2Q2＋15Q,Q)＝0.1Q2－2Q＋15令f(dAVC,dQ)＝0，即有f(dAVC,dQ)＝0.2Q－2＝0解得Q＝10f(d2AVC,dQ2)且＝0.2＞0故Q＝10时，AVC(Q)达到最小值。将Q＝10代入AVC(Q)，得最小的均匀可变为本AVC＝0.1×102－2×10＋15＝5于是，当市场价钱P＜5时，厂商一定停产。(3)依据完整竞争厂商短期实现利润最大化的原则P＝SMC，有0.3Q2－4Q＋15＝P整理得0.3Q2－4Q＋(15－P)＝0解得Q＝f(4±\r(16－1.2(15－P)),0.6)依据利润最大化的二阶条件MR′＜MC′的要求，取解为Q＝f(4＋\r(1.2P－2),0.6)考虑到该厂商在短期只有在P≥5时才生产，而在P＜5时必然会停产，所以，该厂商的短期供应函数Q＝f(P)为b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Q＝\f(4＋\r(1.2P－2),0.6)，,P≥5Q＝0，,P＜5)))已知某完整竞争的成本不变行业中的单个厂商的长久总成本函数LTC＝Q3－12Q2＋40Q。试