三角形的证明试题

三角形的证明试题三角形的证明

（本试卷满分：150分，时间：120分钟）一、选择题（每小题4分，共48分）1.

具备下列条件的两个三角形可以判定它们全等的是（）A．一边和这边上的高对应相等B．两边和第三边上的高对应相等C．两边和其中一边的对角对应相等

D．两个直角三角形中的一条直角边、斜边对应相等2.已知MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，则∠CAD和∠CBD之间的大小关系是（

）A．∠CAD＜∠CBDB．∠CAD=∠CBDC．∠CAD＞∠CBDD．无法判断3.

如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于（）A．30°B．40°C．45°D．36°4.下列命题：8.如图，已知∠BAC=∠DAE=90°，AB=AD，下列条件能使△ABC≌△ADE的是（）A.

∠E=∠C

B.AE=AC

C.BC=DE

D.ABC三个答案都是9.如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A.2个B.3个C.4个D.5个10.已知一个直角三角形的周长是，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积为（

）A.5

B.2

C.D.111.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（

）A.6cmB.7cm

C.8cmD.9cm12.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A．PA=PB

B．PO平分∠APBC．OA=OB

D．AB垂直平分OP二、填空题（每小题4分，共24分）13.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC,

∠BAC=50°,

∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点

C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是

.

14.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是___

___三角形.15.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE=40°，则∠DBC=________°.16.如图，在△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20cm，则点M到AB的距离是_______.17.如图，在等边△ABC中，F是AB的中点，

FE⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则AE=_________，AE:EC=_________.18.在△ABC中，AB=4,AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是

.三、解答题（共78分）19.如图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合），MD⊥BC，且交∠BAC的平分线于点D，求证：MA=MD.

20

已知：如图，AB=AC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F.求证：△ADF是等腰三角形．

21.

如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E.求证：AD=CE.

22.

如图所示，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE，B，E在C，D的同侧，若AB=，求BE的长.

23.

如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．

24.

如图，在△ABC中，AB=AC，DE是边AB垂直平分线交AB于E，交AC于D，连结BD．（1）若∠A=40°，求∠DBC的度数．（2）若△BCD的周长为12cm，△ABC的周长为18cm，求BE的长．

25.

联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念.定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.举例：如图（1），若PA=PB，则点P为△ABC的准外心.(1)应用：如图（2），CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度数.

(2)探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探PA的长.

26.

如图：在△ABC中，∠C=90°

AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．

27.△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作一直线交AB、AC于E、F．且BE=EO．（1）说明OF与CF的大小关系；（2）若BC=12cm，点O到AB的距离为4cm，求△OBC的面积．参考答案一、选择题1.D．2.B.3.D.4.B.5.C.6.C.7.D.8.D.9.D.10.B.11.D.12.D.

二、填空题13.100°；14.直角；15，15°；16.20cm；17.；1:3；18.4:3；三．解答题19.

证明：∵MD⊥BC，∠B=90°，∴AD∥MD，∴∠BAD=∠D

.又∵AD为∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠MAD，∴∠D=∠MAD

，∴MA=MD

.20.

∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵DE⊥BC于点E，∴

∠FEB=∠FEC=90°．∴

∠B+∠EBD=∠C+∠EFC=90°．∴

∠EFC=∠EDB．∵

∠EDB=∠ADF，∴∠EFC=∠ADF．∴△ADF是等腰三角形.21.∵

AE∥BD，∴

∠EAC=∠ACB.∵

AB=AC，∴

∠B=∠ACB.∴

∠EAC=∠B.又∵

∠BAD=∠ACE=90°，∴

△ABD≌△CAE（ASA）.∴

AD=CE.22.

因为△ABD和△CDE都是等边三角形，所以AD=BD,CD=DE，∠ADB=∠CDE=60°.所以∠ADB-∠CDB=∠CDE-∠CDB，即∠ADC=∠BDE.在△ADC和△BDE中，因为AD=BD,CD=DE,

∠ADC=∠BDE所以△ADC≌△BDE，所以AC=BE.又AC=BC，所以BE=BC.在等腰直角△ABC中，AB=,所以AC=BC=1，故BE=1.23.

，BE⊥EC.证明：∵

，点D是AC的中点，∴

.∵

∠∠45°，∴

∠∠135°.∵

，∴

△EAB≌△EDC.∴

∠∠.∴

∠∠90°.∴

⊥.24.(略)25.

应用：若PB=PC，连接PB，则∠PCB=∠PBC.∵

CD为等边三角形的高，∴

AD=BD，∠PCB=30°，∴

∠PBD=∠PBC=30°，∴PBN=2PD∴∴与已知PD=AB矛盾，∴

PB≠PC.若PA=PC，连接PA，同理，可得PA≠PC.若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD，∴

∠BPD=45°，∴∠APB=90°.探究：若PB=PC，设PA=x，则x2+32=(4-x)2，∴

x

=，即PA=.若PA=PC，则PA=2.若PA=PB，由图（2）知，在Rt△PAB中，这种情况不可能.故PA=2或.26.

证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC，∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，

，∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．∴CF=EB；

（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=DE．在△ADC与△ADE中，∵∴△ADC≌△ADE（HL），∴AC=AE，∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．27.

（1）OF=CF．理由：∵BE=EO，∴∠EBO=∠EOB，∵△ABC中