天津市南开区八年级（上）期中数学试卷

八年级（上）期中数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）如图图案是轴对称图形的是（）A. B. C. D.如图，若AB=AD，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A.∠BAC=∠DAC

B.∠BCA=∠DCA

C.CB=CD

D.∠B=∠D=90∘

下列运算正确的是（）A.−a(a−b)=−a2−ab B.(2ab)2+a2b=4ab

C.2ab⋅3a=6a2b D.(a−1)(1−a)=a2−1在下列说法中，正确的是（）A.如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形

B.如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形

C.等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形

D.一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形如图AB=CD，AD=BC，过O点的直线交AD于E，交BC于F，图中全等三角形有（）

A.4对 B.5对 C.6对 D.7对如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）A.40∘

B.30∘

C.20∘

D.10∘

计算（23）2003×1.52002×（-1）2004的结果是（）A.23 B.32 C.−23 D.−32如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则下列结论：（1）AB=DE；（2）∠ABC+∠DFE=90°；（3）∠ABC=∠DEF中正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.0个如果x2+6x+k2恰好是一个整式的平方，那么常数k的值为（）A.3 B.−3 C.±3 D.9如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）

A.1：1：1 B.1：2：3 C.2：3：4 D.3：4：5如图，已知∠ACB=60°，PC=12，点M，N在边CB上，PM=PN．若MN=3，则CM的长为（）A.3

B.3.5

C.4

D.4.5

如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，下列结论：①BD=CD；②AD+CF=BD；③CE=12BF；④AE=BG．其中正确的是（）

A.①② B.①③ C.①②③ D.①②③④二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）若点P（a+2，3）与点Q（-1，b+1）关于y轴对称，则ab=______．计算：20182-2017×2019=______．如图，在△ABC中，AB=AC=10，△BEC的周长是17，DE垂直平分AB，交AB于点D，交AC于点E，则BC=______．

在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标______．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为______．

已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止当t=______时，△PBQ是直角三角形．

三、计算题（本大题共2小题，共18.0分）计算：

（1）（3x2y）2•（-15xy3）÷（-9x4y2）

（2）（2a-3）2-（1-a）2

（3）先化简，再求值：（2+x）（2-x）+（x-1）（x+5），其中x=32．

如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，点B的坐标为（0，1），∠BAO=30°．

（1）求AB的长度；

（2）以AB为一边作等边△ABE，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D．求证：BD=OE；

（3）在（2）的条件下，连接DE交AB于F．求证：F为DE的中点．

四、解答题（本大题共4小题，共28.0分）如图，在平面直角坐标系中，A（-3，2），B（-4，-3），C（-1，-1）．

（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；

（2）写出点C1的坐标（直接写答案）：C1______；

（3）△A1B1C1的面积为______；

（4）在y轴上画出点P，使PB+PC最小．

我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD．对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证OE=OF．

在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．

（1）求证：△ABE≌△CBF；

（2）若∠CAE=25°，求∠BFC度数．

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF=∠ADF．

（1）求证：△ADE≌△BFE；

（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；

B、不是轴对称图形，故本选项错误；

C、不是轴对称图形，故本选项错误；

D、不是轴对称图形，故本选项错误；

故选：A．

根据轴对称的定义，结合各选项所给图形进行判断即可．

本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】B

【解析】解：A、添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；

B、添加∠BCA=∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故C选项符合题意；

C、添加CB=CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故C选项不符合题意；

D、添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；

故选：B．

要判定△ABC≌△ADC，已知AB=AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA=∠DCA后则不能．

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3.【答案】C

【解析】解：A、原式=-a2+ab，错误；

B、原式=4a2b2+a2b，错误；

C、原式=6a2b，正确；

D、原式=-a2+2a-1，错误，

故选：C．

原式各项计算得到结果，即可作出判断．

此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4.【答案】B

【解析】解：A、全等的三角形不一定是成轴对称，而成轴对称的两个三角形一定是全等的；故A错误．

B、成轴对称的两个三角形一定是全等的；故B正确．

C、等腰三角形是以底边中线所在直线为对称轴的轴对称图形或者说等腰三角形被中线所在直线分成的两个三角形成轴对称；故C错误．

D、成轴对称的图形必须是两个，一个图形只能是轴对称图形；故D错误．

故选：B．

根据图形成轴对称和轴对称图形的定义逐一判断即可，全等的三角形不一定是成轴对称，而成轴对称的两个三角形一定是全等的．

本题考查了轴对称和轴对称图形的定义和性质，对于这两个概念要掌握其区别和联系．5.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查全等三角形的判定方法，由条件得到四边形ABCD为平行四边形是解题的关键．由条件可判定四边形ABCD为平行四边形，则可知O为AC、BD、EF的中点，可知△ABO≌△CDO，△ABC≌△CDA，△AEO≌△CFO，△EOD≌△FOB，△AOD≌△BOC，△ABD≌△CDB，共6组．

【解答】

解：在△ABD和△CDB中，

，

∴△ABD≌△CDB（SSS），

同理可得△ABC≌△CDA，

∵AB=CD，AD=BC，

∴四边形ABCD为平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD，

在△AOB和△COD中，

，

∴△AOB≌△COD（SAS），

同理可得△BOC≌△DOA，

由平行四边形的性质可得AD∥BC，

∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，

在△AEO和△CFO中，

，

∴△AEO≌△CFO（AAS），

同理可得△DOE≌△BOF，

所以共有六组．

故选C．

6.【答案】D

【解析】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，

∴∠B=90°-50°=40°，

∵将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠CA'D=∠A，

∵∠CA'D是△A'BD的外角，

∴∠A′DB=∠CA'D-∠B=50°-40°=10°．

故选：D．

由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠A′DB=∠CA'D-∠B，又折叠前后图形的形状和大小不变，∠CA'D=∠A=50°，易求∠B=90°-∠A=40°，从而求出∠A′DB的度数．

本题考查图形的折叠变化及三角形的外角性质．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．解答此题的关键是要明白图形折叠后与折叠前所对应的角相等．7.【答案】A

【解析】解：（）2003×1.52002×（-1）2004

=×[（）2002×1.52002]×（-1）2004

=×（×）2002

=×1

=．

故选：A．

将原式化为同底数幂的乘法解答．

本题考查了乘方、积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．8.【答案】C

【解析】解：∵在Rt△ABC和Rt△DEF中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．

则（1）AB=DE，正确；

（2）∠ABC+∠DFE=90°，正确；

（3）∠ABC=∠DEF．

故选：C．

利用HL证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质，可判断各结论．

本题考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是判断△ABC≌△DEF，注意掌握全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等．9.【答案】C

【解析】解：∵x2+6x+k2是完全平方式，

∴6x=2×|k|x，

解得k=±3．

故选：C．

本题考查完全平方公式的灵活应用，中间项为两平方项乘积的2倍，由此可得出k的值．

本题主要考查完全平方公式，比较简单，根据一个平方项及中间项确定这个数．10.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高时相等的，这点式非常重要的．

利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4．

【解答】

解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，

∵点O是内心，

∴OE=OF=OD，

∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD=AB：BC：AC=2：3：4，

故选C．

11.【答案】D

【解析】解：过点P作PD⊥CB于点D，

∵∠ACB=60°，PD⊥CB，PC=12，

∴DC=6，

∵PM=PN，MN=3，PD⊥OB，

∴MD=ND=1.5，

∴CM=6-1.5=4.5．

故选：D．

首先过点P作PD⊥CB于点D，利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长，再利用等腰三角形的性质求出CM的长．

此题主要考查了直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长以及等腰三角形的性质，得出CD的长是解题关键．12.【答案】C

【解析】解：∵CD⊥AB，∠ABC=45°，

∴△BCD是等腰直角三角形，

∴BD=CD，故①正确；

在Rt△DFB和Rt△DAC中，

∵∠DBF=90°-∠BFD，∠DCA=90°-∠EFC，且∠BFD=∠EFC，

∴∠DBF=∠DCA，

在△DFB和△DAC中，

，

∴△DFB≌△DAC（ASA）,

∴BF=AC，DF=AD，

∵CD=CF+DF，

∴AD+CF=BD；故②正确；

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，

∵BE⊥AC，

∴∠BEA=∠BEC=90°，

在Rt△BEA和Rt△BEC中，

，

∴Rt△BEA≌Rt△BEC（ASA）,

∴CE=AE=AC，

又由（1），知BF=AC，

∴CE=AC=BF；故③正确；

连接CG．

∵△BCD是等腰直角三角形，

∴BD=CD，

又DH⊥BC，

∴DH垂直平分BC，

​∴BG=CG，

在Rt△CEG中，

∵CG是斜边，CE是直角边，

∴CE＜CG，

∵CE=AE，

∴AE＜BG，故④错误．

故选：C．

根据∠ABC=45°，CD⊥AB可得出BD=CD，利用ASA判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF=AD，BF=AC．则CD=CF+AD，即AD+CF=BD；再利用ASA判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE=AE=AC，又因为BF=AC所以CE=AC=BF，连接CG．因为△BCD是等腰直角三角形，即BD=CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG=CG．在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE＜CG．即AE＜BG．

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．13.【答案】-2

【解析】解：∵点P（a+2，3）与点Q（-1，b+1）关于y轴对称，

∴a+2=1，b+1=3，

解得，a=-1，b=2，

则ab=-2，

故答案为：-2．

根据关于y轴的对称点的坐标特点分别求出a，b，根据有理数的乘法法则计算．

本题考查的是关于y轴的对称点的坐标特点，掌握关于y轴的对称点的坐标特点是横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．14.【答案】1

【解析】解：原式=20182-（2018-1）×（2018+1）=20182-20182+1=1，

故答案为：1

原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值．

此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．15.【答案】7

【解析】解：∵DE垂直平分AB，交AB于点D，交AC于点E

∴AE=BE，

∵AB=AC=10，

∴△BEC的周长是BE+CE+BC

=AE+CE+BC

=AC+BC=17，

∴BC=7，

故答案为：7．

求出AE=BE，求出△BEC的周长=AB+BC，代入求出即可．

本题考查了线段垂直平分线的性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．16.【答案】（1，5）或（1，-1）或（5，-1）

【解析】解：如图所示：有3个点，当E在E、F、N处时，△ACE和△ACB全等，

点E的坐标是：（1，5），（1，-1），（5，-1），

故答案为：（1，5）或（1，-1）或（5，-1）．

根据题意画出符合条件的所有情况，根据点A、B、C的坐标和全等三角形性质求出即可．

本题考查了全等三角形性质和坐标与图形性质的应用，关键是能根据题意求出符合条件的所有情况，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．17.【答案】6

【解析】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°

∴∠BCD=∠DBC=30°

∵△ABC是边长为3的等边三角形

∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°

∴∠DBA=∠DCA=90°

延长AB至F，使BF=CN，连接DF，

在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC

∴△BDF≌△CDN，

∴∠BDF=∠CDN，DF=DN

∵∠MDN=60°

∴∠BDM+∠CDN=60°

∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边

∴△DMN≌△DMF，

∴MN=MF

∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．

要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CDN，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．

此题主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键．18.【答案】1或2

【解析】解：根据题意得AP=tcm，BQ=tcm，

△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，

∴BP=（3-t）cm，

△PBQ中，BP=3-t，BQ=t，若△PBQ是直角三角形，则

∠BQP=90°或∠BPQ=90°，

当∠BQP=90°时，BQ=BP，

即t=（3-t），t=1（秒），

当∠BPQ=90°时，BP=BQ，

3-t=t，t=2（秒）．

答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．

故答案为：1或2．

本题涉及的是一道有关等边三角形的性质和勾股定理来解答的数形结合试题，根据等边三角形的性质可以知道这个直角三角形∠B=60°，所以就可以表示出BQ与PB的关系，要分情况进行讨论：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可．

本题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理等知识点．考查学生数形结合的数学思想方法．19.【答案】解：（1）（3x2y）2•（-15xy3）÷（-9x4y2）

=9x4y2•（-15xy3）÷（-9x4y2）

=15xy3；

（2）（2a-3）2-（1-a）2

=4a2-12a+9-1+2a-a2

=3a2-10a+8；

（3）（2+x）（2-x）+（x-1）（x+5）

=4-x2+x2+4x-5

=4x-1，

当x=32时，原式=4×32-1=6-1=5．

【解析】

（1）根据积的乘方和同底数幂的乘除法可以解答本题；

（2）根据完全平方公式可以解答本题；

（3）根据平方差公式和多项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．

本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．20.【答案】（1）解：∵在Rt△ABO中，∠BAO=30°，

∴AB=2BO=2；

（2）证明：连接OD，

∵△ABE为等边三角形，

∴AB=AE，∠EAB=60°，

∵∠BAO=30°，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D，

∴∠DAO=60°．

∴∠EAO=∠NAB

又∵DO=DA，

∴△ADO为等边三角形．

∴DA=AO．

在△ABD与△AEO中，

∵AB=AE∠EAO=∠NABDA=AO，

∴△ABD≌△AEO（SAS）．

∴BD=OE．

（3）证明：作EH⊥AB于H．

∵AE=BE，∴AH=12AB，

∵BO=12AB，∴AH=BO，

在Rt△AEH与Rt△BAO中，

AH=BOAE=AB，

∴Rt△AEH≌Rt△BAO（HL），

∴EH=AO=AD．

又∵∠EHF=∠DAF=90°，

在△HFE与△AFD中，

∠EHF=∠DAF∠EFH=∠DFAEH=AD，

∴△HFE≌△AFD（AAS），

∴EF=DF．

∴F为DE的中点．

【解析】

（1）直接运用直角三角形30°角的性质即可．

（2）连接OD，易证△ADO为等边三角形，再证△ABD≌△AEO即可．

（3）作EH⊥AB于H，先证△ABO≌△AEH，得AO=EH，再证△AFD≌△EFH即可．

本题主要考查全等三角形与等边三角形的巧妙结合，来证明角相等和线段相等．21.【答案】（1，-1）

132

【解析】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）由图象可知：C1（1，-1）；

故答案为（1，-1）．

（3）S=3×5-×1×5-×2×3-×2×3=；

故答案为．

（4）如图，连接BC1与y轴的交点为P，点P即为所求．

（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1即可．

（2）根据点C1的位置即可解决问题．

（3）利用分割法计算即可．

（4）连接BC1与y轴的交点即为所求的点P．

本题考查作图-轴对称变换，最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握对称作图，学会利用对称的性质，解决最短问题，属于中考常考题型．22.【答案】证明：∵在△ABD和△CBD中，AB=CBAD=CDBD=BD，

∴△ABD≌△CBD（SSS），

∴∠ABD=∠CBD，

∴BD平分∠ABC．

又∵OE⊥AB，OF⊥CB，

∴OE=OF．

【解析】

欲证明OE=OF，只需推知BD平分∠ABC，所以通过全等三角形△ABD≌△CBD（SSS）的