(一)数学系一数学分析期末考试题

#/9（一）数学系一年级《数学分析》期末考试题姓名姓名学号一、（满分0分，每小题2分）单项选择题：b和c是三个数列，且存在Vnn时有a<b<c，则(

nnna{

nb｝都收敛时，nc｝收敛；n和b都发散时，c发散;a{

nb｝都有界时，nc｝有界；n｛有界时，c｝都有界；nsinkxx<0,、f(x)=<x

k,2+x,x=0,x>0,（k为常数）.函数f（x）在A.左连续;B.右连续C.连续D.不连续、f''(x0）在点x0=0必A.A.左连续;B.右连续C.连续D.不连续、f''(x0）在点x0=0必A.limAx-0于2(x0+心)-f2(x0)AxB.limAx.01(x0+心)-f(x0)1'AxC.(lim、Ax—00 AxD.limAx—0f’(x。+心)-f’(x0)Ax4、设函数f（x）在闭区间a,b上连续，在开区间（a,b）内可微，但f（a）丰f（b）。则（3S(3S(a,b)，使f'也)=0；B.35g（a,b），使f化）牛0；C.VxgC.Vxg(a,b)，使f'(x)丰0；D.当f(b)f(a)时，对Vxg(a,b)有f'(x)5、设在区间5、设在区间I上有Jf(x)dx=F(x)+cJg(x)dx=G(x)+c。则在I上有(Jf(x)g(x)dxJf(x)g(x)dx=F(x)G(x)；Jf(x)g(x)dx=F(x)G(x)+c；J[f(x)G(x)dx+g(x)F(x)]dx=F(x)G(x)+c；J[f(x)F(x)dx+g(x)G(x)]dx=F(x)G(x)+c；、(满分15分，每小题3分)填空题：limX-4wf(x)=sgn(cosx)。f(x)在区间—兀，兀上的全部间断点为；兀f(X)=sin2x,f(11)()= ；64函数f(X)在R内可导，且在(一8,1)内递增，在(1,+8)内递减,F(X)=f(xex),F(x)的单调递减区间为 三、(满分36分，每小题6分)计算题：1、limf——-1-x—Ix2sin2x)1、2、把函数shx=exex展开成具Peano型余项的Maclaurin公式；、Jex+1arctgJex_1dx；、f(x2)=ex，计算积分J于dx；〈xx一3TOC\o"1-5"\h\z5、J dx；x2-3x+26、斜边为定长c的直角三角形绕其直角边旋转，求所得旋转体的最大体积；… 「2n2+n-32四、(满分7分)验证题：由有“£-N”定义验证数列极限lim———--=-；h.03n2-25 3五、(满分32分，每小题8分)证明题：1设函数f(x)和g(x)都在区间I上一致连续，证明函数f(x)+g(x)在区间I上一致连续；\o"CurrentDocument"设函数f(x)在点x可导且f1(x)丰0,试证明：Ay〜df(x)|，其中0 0 x=x0Ay=f(x+Ax)一f(x)；003设函数f(x)在点a具有连续的二阶导数，试证明：

limf（a+h）+f（a-h）一2f（a）=r（a）；TOC\o"1-5"\h\zh-0 h2 八兀 2x4试证明：0x<7时，有不等式 smx——2 兀（二）一年级《数学分析》考试题一、（满分10分，每小题2分）判断题：1、无界数列必发散； （ ）、若对Vs，函数f在a+8,b-e上连续，则f在开区间（a,b）内连续；（ ）3、初等函数在有定义的点是可导的； （ ）4f二中甲，若函数中在点x可导，V在点x不可导，则函数f在点x00 0必不可导； （ ）5、设函数f在闭区间a,b上连续，在开区间（a,b）内可导，但f（x）丰f（b），则对Vxg(a,b)，有f'(x)牛0； ( )二、(满分20分，每小题4分)填空题：(n2+2)6(2n-1)8ilim = = ；nT8 (%2n2+1)102曲线y=xInx的所有切线中，与直线x+2y-2=0垂直的切线是,/ 、dy3y=ln(x+11+x2), ,二 ；dxd2y4函数f(x)二阶可导，y=ef(x),则广= ；dx2、把函数f（x）=e-x2展开成具Peano型余项的Maclaurin公式，f(x)=三、(满分30分，每小题6分)计算题:J4+xln(1+x2)-2ilim- ； ；xf0x(ex-1)lim2v13x、f、f(x°x0,f'(x0x3,求limf(x0-2Ax)Axf0 Axsinx-xcosx、y= ：-,求dy；cosx+xsinx、y、y=x2sinx,求y(80) ；limx、-1、lim( )x2xt0x四、(满分40分，每小题8分)证明题：、设函数f、设函数f(x)在区间I上满足条件：3L oVx「x2gI,有|f(xi)-f(x2)<Lx1-x2，证明f在区间1上一致连续;、证明函数f(x)=|x—1在点x=1不可导；、设函数f(x)在内连续且limf(x)=+8，试证明f(x)在有最小值;xt8、设0ab,f(x)在a,b上可导，在(a,b)内可导，证明3^g(a,b)，使得21f(b)-f(a)]=(b2-a2)f«)；常数、设函数f和g可导且f丰0,又f(x)g(x)

f1(x常数、设函数f和g可导且f丰0,又f(x)g(x)

f1(x)g,(x)=0，证明g(x)=cf(x),其中c为(三)一年级《数学分析》考试题对错判断题：、设｛x｝小｝为两个数列，若xAy(n=1、2、 )则limxnn nnnt8Alimy；( )nn—82、若函数f(x)以A为极限，则f(x)可表为f(x)=A+o(1)；3、设f(x)定义于a,b上，若f(x)取遍f(a)与f(b)之间的任意值则f(x)比在4、若f(x)在la,+8)连续，且limf(x)存在，则f(x)在la,+8)有界xt+85、若y=f(x)的导数f'(x)在a,b上连续，则必存在常数使|f(x1)-f(x2)|<Lx1-x2,Vx,xgLa,b]；

126、①当xt0时，o(xm)+o(xn)=o(xm+n) (mAnA0)；②|at0(nt8)=at0(nt8)；n n7、若f(x)和g(x)在x点都不可导，则f(x)+g(x)在x点也不可导8、fa)为I上凸函数的充要条件为，对I上任意三点「X2^X3有:TOC\o"1-5"\h\zfX上f功<f(XJ_f(XJ2 1 3 1 ( )\o"CurrentDocument"X一X X一X21 319、若f(x)在X二阶可导，则(x,f(X))为曲线y=f(x)的拐点的0 00充要条件为广(可二0；、若为无上界的数集，则存在一个递增数列&}uS使得nX―8, (n-⑹；n单项选择题：X丰0在x=0处连续，则k=(x=0A.1eA.1eLX2、设f(X)=，LX— —eXY0x=1当X=0是不连续是因为(x>0limf(X)不存在X-0左，右极限不相等limf(x)丰f(0)左，右极限不相等X-0、设f(X)=(X一a和(X)，其中①(X)在x=a处连续但不可导，则f1(a)=(不存在。(。) ①(a) -D'(a)TOC\o"1-5"\h\z4当|X很小时，下列近似公式正确的是 ( )ex氏x lnx^x n1+.p1+x sinx-.5若f(X)和g(x)对于区间(a,b)内每一点都有f1(X)=g1(x)，在(a,b)内有 ( )f(x)=g(x) f(x)=c,g(x)=c,(c,c为常数)1 2 12f(X)=cg(X)(为任意常数) f(X)=g(X)+c (为任意常数)

三证明题：证明limn1n+2n+—\-9n=9；n-8h证明不等式： <arctanhYh；1-h2a+b 13对任意实数a,b有e2<-(ea+eb)；4证明：方程X3-3x+c=0(c为常数)在hi］内不可能有两个不同的实根;5设函数f(x)在点x存在左，右导数，试证f(x)在x连续；006证明：若极限lim存在，则它只有一个极限；x-x0四计算题：1写出f(x)=sinx的其拉格朗日型余项的马克劳林公式；2求下列极限：lim(n1+於+—+n10)；n-8arctanxTOC\o"1-5"\h\zlim ；x-0 xxm-1lim ；xf1xn—1求J=esinM+b)的微分;dJ(0<tYdJ(0<tY兀)所确定，求一dx设函数J=J(x)的参量方程］ .Ij=bsint(四)一年级《数学分析》考试题叙述题：用£-b语言叙述limf(x)=A (A为定数)xfx-0叙述 中值定理，并举出下列例子：第一个条件不成立，其它条件成立，结论不成立的例子；第二个条件不成立，其它条件成立，结论不成立的例子；第三个条件不成立，结论成立的例子；、计算题：求极限lim(Jn+2-2%：n+1+x/n)；nf8

2TOC\o"1-5"\h\z求极限hm(1一 )rnf8 x公式;求f(x)=ln(1+x)的带 型余项的公式;tanx-x求lim ——；n-0x-sinx三、研究函数2xxa0f(x)=j0 x=0在x=0处的左，右极限和极限;1+x2 XY0四、研究函数求数集S=(|x2Y2｝的上、下确界，并依定义加以验证；五、证明题：用定义证明：limt'x2+5=3；nf2证明：o(gQ方+o(gQ))=o(gQ)) x—x0设f(x)定义在区间I上，若存在常数，Vx'x''GI有f(x,)—f(x")<Lx,一x"证明：f(x)在I上一致连续;设函数f(x)在点a的某个邻域内具有连续的二阶导数，证明limf(a+h)+f(ai)一2f(a)二广(a)hf0 h2(五)一年级《数学分析》考试题判断题：(满分10分，每小题2分)i若lima=0,贝Ulim—=8； ( )nanf8 nf8n、有限开区间(a,b)内一致连续的函数f(x)必在开区间内有界；( )、设函数y=f(x)在点X的某领域内有定义，若存在数A,使0AyAy=f(x+Ax)一f(x)=AAx+o(Ax),00(Ax-0),则f(x)在点x0可导且A=f'(x0)；f(x)在点/可导、设函数f定义在区间I上，且满足条件，z>0,使对VTf(x)在点/可导、设函数f定义在区间I上，且满足条件，z>0,使对VTx有|f(x1)—f(x2)|<L\x1—x2连续但未必一致连续;必一致连续；I，则f(x)在区间I上一致连续但未必连续;必不一致连续；D、f''(x0)定义为：limf(x0+-)—f(x0)Ax-0 AxlimBAx-0f'(x+Ax)—f'(x)0Axlim(Ax-0f(x。十摄)一"x0))’；Ax(limAx-0Ax)-f(x°))′、f=T+W，若函数f在点X可导，则函数①和W都在点X可导；00( )、设函数f在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，若对Vxg(a,b),f'(x)牛0，则必有f(x)丰f(b)；二单项选择题：(满分20分，每小题4分)1函数f(x)在点x连续的充要条件是0f(x—0)和f(x+0)中至少有一个存在;f(x—0)和f(X+0)存在且相等;f(x—0)f(x+0)f(x)、设函数。(x)和w(x)在区间I内可导6'(x)=v'(x)，则在该区间内有其中C其中C为常数;。(x)=Cw(x)其中C为常数为使f在点x=3可