概率论与数理统计第四章

§3.协方差及相关系数§3协方差第四章随机变量的数字特征1、定义

称COV(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)为随机变量X,Y的协方差.

返回主目录特别COV（X，X）=DX注意1:COV（X，Y）=E(XY)-E(X)E(Y)注意2:D(aX+bY)=特别称为随机变量X,Y的相关系数。§3协方差第四章随机变量的数字特征定理：若X，Y独立，则X,Y不相关。返回主目录证明：由数学期望的性质有

E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)E(Y-EY)

又E(X-EX)=0,E(Y-EY)=0

所以E(X-EX)(Y-EY)=0，即注意4：若E(X-EX)(Y-EY)0,即EXY-EXEY0，则X，Y一定相关，且X，Y一定不独立。第四章随机变量的数字特征§3协方差返回主目录但是，X，Y不相关，不一定有X，Y相互独立。则X，Y不相关，但X，Y不相互独立。例1：设（X，Y）的概率密度为证明：同理2、协方差的性质第四章随机变量的数字特征§3协方差返回主目录即X，Y不相互独立。即X，Y不相关。但第四章随机变量的数字特征§3协方差例2返回主目录()，记，，，是二个随机变量，已知，设1cov41===YXDYDXYXYXYX-=-=22hx，．试求：，hxr解：()YXDD2-=x()YXDYDX，cov44-+=14441´-´+=()YXDD-=2h()YXDYDX，cov44-+=14414´-+´=4=13=第四章随机变量的数字特征§3协方差返回主目录()()YXYX--=22covcov，，hx()()()()YYYXXYXX，，，，cov2covcov4cov2+--=()DYYXDX2cov52+-=，421512´+´-´=5=所以，()hxhxrhxDD，，cov=4135=26135=3、相关系数的性质证明：令：第四章随机变量的数字特征§3协方差第四章随机变量的数字特征§3协方差返回主目录第四章随机变量的数字特征返回主目录所以

从而

故

即

即

由上式得:第四章随机变量的数字特征第四章随机变量的数字特征说明总之：相关系数的性质的量．之间线性关系紧密程度与量相关系数是表征随机变YX存在着线性关系；之间以概率与时，当，11YXYX=r之间的线性关系越弱；与时，越接近于当，YXYX0r()．不相关之间不存在线性关系与时，当，YXYX0=rX与Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系。例3：证明：Z的概率密度为由于所以因此X和Y不相关，但有第四章随机变量的数字特征§3协方差例4返回主目录将一枚硬币重复抛掷

n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数为(A)–1,(B)0,(C),(D)121XnYnYX-==+，即Q解：01<-=\b.1-=\XYr）正确。故（A第四章随机变量的数字特征§3协方差返回主目录例5设(X,Y)服从二维正态分布，求：

由上述知：

第四章随机变量的数字特征§3协方差返回主目录第四章随机变量的数字特征返回主目录第四章随机变量的数字特征则X，Y独立=0X，Y不相关。返回主目录4、二维正态分布的性质§3协方差例6设A和B是试验E的两个事件，且P(A)>0，P(B)>0，并定义随机变量X，Y如下：解X，Y的边缘分布列为X01P(A)Y01P(B)由X，Y的定义，XY只能取0，1两个值。且P{XY=1}=P(X=1,Y=1)=P(AB)，于是得XY的分布律为XY01P(AB)即得于是§4矩协方差矩阵1、定义§4矩第四章随机变量的数字特征返回主目录协方差矩阵定义§4矩第四章随机变量的数字特征返回主目录则矩阵协方差矩阵§4矩第四章随机变量的数字特征返回主目录则协方差矩阵5、n维正态分布的性质第四章随机变量的数字特征返回主目录4)

相互独立的一维正态随机变量的线性组合服从正态分布第四章随机变量的数字特征§5矩例1解第四章随机变量的数字特征例2解：返回主目录第四章随机变量的数字特征§4矩例3返回主目录第四章随机变量的数字特征返回主目录第四章随机变量的数字特征§4矩返回主目录第四章随机变量的数字特征§4矩返回主目录1阐述了数学期望、方差的概念及背景，要掌握它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望和方差。2要熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布的数学期望