化学计量学的相关基础

化学计量学的相关基础第1页，共72页，2023年，2月20日，星期三第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-2

数学：化学计量学的理论基础

数学将实际问题中的背景省略，抽提其在数字或几何方面的共性特点进行研究。抽象数学十分实用：很多学科中的研究对象可以用向量、矩阵表示。利用数学中抽象符号及其相关理论可以建立描述研究对象的数学模型，从而进一步发现其内在规律。第2页，共72页，2023年，2月20日，星期三数学对化学家有用吗？数据的挖掘数据的处理从测试数据提取化学信息信息技术的革命计算机的发展与应用

第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-3第3页，共72页，2023年，2月20日，星期三§2-1数学基础回顾-线性代数部分

化学中的数据类型第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-4单变量数据：一次测量得到一个值（如：温度、压力、单波长的吸光度等）；多变量数据：分析仪器的高性能化，使得一次测量可以获得多变量、多通道的数据（如：UV-VisL吸收光谱、IR、NIR、荧光光谱、GC、LC、MS、NMR及联用仪器等）；

第4页，共72页，2023年，2月20日，星期三

分析化学中的矢量★任何一个光谱、色谱等谱图可以用一个向量表达；★一组描述研究对象的变量也可用一个向量表达第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-5第5页，共72页，2023年，2月20日，星期三第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-6第6页，共72页，2023年，2月20日，星期三联用仪器HPLC-DAD,GC-MS,GC-IR,HPLC-MS二维数据既含有色谱信息又含有光谱信息数据矩阵大于10兆大量化合物数据库第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-7第7页，共72页，2023年，2月20日，星期三根据Lambert-Beer定律做出的

两个不同化合物a与b的混合物光谱第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-8第8页，共72页，2023年，2月20日，星期三向量加法的几何意义第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-9第9页，共72页，2023年，2月20日，星期三向量减法的几何意义第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-10第10页，共72页，2023年，2月20日，星期三向量的方向与长度

向量的方向：由构成向量的所有元素所决定，因为任意两元素间的不同比率会确定向量在线性子空间中的方向;向量的长度：由构成向量的所有元素的平方和所决定：第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-11第11页，共72页，2023年，2月20日，星期三向量分量之间的不同比例决定了向量在线性子空间中的方向第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-12第12页，共72页，2023年，2月20日，星期三两向量间的减法决定了n维空间中两点间的距离第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-13第13页，共72页，2023年，2月20日，星期三向量的数乘第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-14第14页，共72页，2023年，2月20日，星期三

向量的数乘相当于不同浓度的光谱第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-15向量的数乘满足结合律、分配律第15页，共72页，2023年，2月20日，星期三向量的内积与外积第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-16向量间的内积或点积生成一个数第16页，共72页，2023年，2月20日，星期三两向量间内积的几何意义第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-17第17页，共72页，2023年，2月20日，星期三

两向量外积生成一个双线性矩阵第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-18其在多元分辨中有重要的意义第18页，共72页，2023年，2月20日，星期三矩阵代数相关概念简介1、矩阵的相等：矩阵A和B相等，当且仅当对于所有i和j均有Aij=Bij时才成立！2、矩阵的加减：只有相同维数的矩阵才可以加减

Aij

Bij＝Cij第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-193、矩阵乘法：矩阵A、B，仅当A的列数等于B的行数是，才可以相乘：C＝AB第19页，共72页，2023年，2月20日，星期三第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-20第20页，共72页，2023年，2月20日，星期三4、矩阵“除法”：只能通过一个逆过程来完成，凡是矩阵A具有非零行列式：det(A)≠0（称非奇异矩阵），而且仅对于这种矩阵，才能按照下列等式定义其逆矩阵A-1:AA-1=A-1A=E第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-21A、B不对易第21页，共72页，2023年，2月20日，星期三第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-22

或：如果两个方阵A、B满足AB=E，则称B矩阵是A矩阵的逆矩阵，计为B=A-1;

如果矩阵A的逆矩阵A-1存在，则称A是非奇异矩阵（或满秩矩阵）！否则成为奇异矩阵！第22页，共72页，2023年，2月20日，星期三第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-235、零矩阵和单位矩阵：

全部元素为0的矩阵为零矩阵，计作：0

对n阶方阵，对角元均为1、非对角元均为0称单位矩阵；计作：E6、矩阵的转置：将矩阵行与列互换称为矩阵的转置，转置矩阵有如下性质：第23页，共72页，2023年，2月20日，星期三第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-247、矩阵的行列式：方阵的行列式是一个实数，计为detA：

其中：Akj是(n-1)(n-1)阶矩阵，是划去第k行和第j列所得的A的子阵。第24页，共72页，2023年，2月20日，星期三第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-258、正交矩阵：如果一个方阵A满足：AtA=E；称A为正交矩阵。显然：At=A-1；9、方阵的迹：定义为矩阵A主对角线上元素的和，计为trA；第25页，共72页，2023年，2月20日，星期三第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-2610、方阵的秩：第26页，共72页，2023年，2月20日，星期三第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-27

方阵秩的化学意义

联用色谱法测量样本，获得一个数据矩阵：矩阵中每行就是一个在某保留时间点上的光谱（MS,NMR）；每一列就是一个在某一波长（或质荷比等）上的色谱。如果没有量测噪声，且每个不同化学物质都具有不同的光谱或色谱，则矩阵的秩就是体系的组分数！

如果化合物测量体系没有化学反应发生（即各物质相互独立），这是与矩阵秩的意义相同！第27页，共72页，2023年，2月20日，星期三中药肉桂的一部分二维数据第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-28第28页，共72页，2023年，2月20日，星期三

Lambert-BeerLaw的矩阵表达

单组分在某下的Lambert-Beer定律:A＝

bC

p个混合物构成的体系在j处的吸光度Aj

第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-29第29页，共72页，2023年，2月20日，星期三在分析化学中经常遇到多组分含量确定的问题

在分光光度法中，各组分在同样的显色条件下于同一显色剂生成有色物，但是各组分特征吸收峰常出现干扰情况。如果试验符合以下两个条件：比尔定律：A=kbc；吸光度具有加和性Ai=Ai1+Ai2+…+Ain

如：现有一样品含有Mo,Ti,V三种组分，显色后在400、540、610nm处进行了吸光度测定，并对以上三组分的独立标准溶液进行了同样显色条件的测定，数据如下，求Mo,Ti,V三种组分的含量,第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-30nmMoTiV样品14000.4160.1300.0000.24825400.0480.6080.1480.85736100.0020.4100.2000.718第30页，共72页，2023年，2月20日，星期三

p个混合物构成的体系在n个波长处的吸光度可用一行向量表示：第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-31第31页，共72页，2023年，2月20日，星期三

p个混合物构成的m个样本在波长j处的吸光度可用一列向量表示：第2讲第2章化学计量学的相关基础知识32第32页，共72页，2023年，2月20日，星期三p个混合物构成的m个样本在n个波长处的吸光度可用一矩阵表示：第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-33第33页，共72页，2023年，2月20日，星期三

可见，矩阵的应用之一就是可用简洁形式表示线性方程组，例如：第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-34可写成：或第34页，共72页，2023年，2月20日，星期三上三角阵与下三角阵上三角矩阵 下三角矩阵对角矩阵 恒等矩阵第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-35第35页，共72页，2023年，2月20日，星期三逆矩阵的运算性质（1）若A可逆，则A-1亦可逆，且（A-1)-1=A

第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-36证明第36页，共72页，2023年，2月20日，星期三证明第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-37第37页，共72页，2023年，2月20日，星期三第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-38第38页，共72页，2023年，2月20日，星期三(6)

若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.若设和是的逆矩阵，则有可得所以的逆矩阵是唯一的，即第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-39第39页，共72页，2023年，2月20日，星期三证明若可逆，定理1

矩阵可逆的充要条件是，且

第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-40对任意n

阶矩阵A

，称A*

为A

的伴随矩阵，其中，Aij

是A

中元素aij的代数余子式。

第40页，共72页，2023年，2月20日，星期三第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-41第41页，共72页，2023年，2月20日，星期三按逆矩阵的定义得证毕.1AA*A1-=第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-42第42页，共72页，2023年，2月20日，星期三逆矩阵的求解第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-43

定义

对于阶矩阵，如果有一个阶矩阵

则说矩阵是可逆的，并把矩阵称为的逆矩阵.,使得例设:第43页，共72页，2023年，2月20日，星期三例1

设解设是的逆矩阵,则利用待定系数法第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-441、利用待定系数法第44页，共72页，2023年，2月20日，星期三又因为所以第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-45第45页，共72页，2023年，2月20日，星期三例2求方阵的逆矩阵.解三、逆矩阵的求法第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-462、逆矩阵充要条件法：

第46页，共72页，2023年，2月20日，星期三故第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-47第47页，共72页，2023年，2月20日，星期三解例3第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-48a2i-a1i2a3i-a1i第48页，共72页，2023年，2月20日，星期三第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-49A21=3;A22=0;A23=-1;A31=1;A32=4;A33=-3;第49页，共72页，2023年，2月20日，星期三第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-50第50页，共72页，2023年，2月20日，星期三例4设解第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-51第51页，共72页，2023年，2月20日，星期三于是第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-52第52页，共72页，2023年，2月20日，星期三第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-53例5第53页，共72页，2023年，2月20日，星期三解给方程两端左乘矩阵第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-54第54页，共72页，2023年，2月20日，星期三给方程两端右乘矩阵得第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-55第55页，共72页，2023年，2月20日，星期三给方程两端左、右乘相应逆矩阵第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-56得第56页，共72页，2023年，2月20日，星期三解

例6,1AA*A1-=第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-57第57页，共72页，2023年，2月20日，星期三第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-58第58页，共72页，2023年，2月20日，星期三四、小结3、初等变换法—矩阵的初等变换（1）互换矩阵的两行，常用rirj表示第i行与第j行互换。（2）用一个非零数乘矩阵的某一行，常用kri

表示用数k乘矩阵的某i行。（3）将矩阵的某一行乘以数k后，加到另一行，常用rj＋kri

表示第i行的k倍加到第j行。这样的过程称为矩阵的初等行变换！（4）将定义中的“行r”

换成“列c”，即得到矩阵的列变换。

矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换法！

第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-59互换；表示用数k乘以第i行；第59页，共72页，2023年，2月20日，星期三在给定的n阶方阵的右边放一个n阶单位矩阵E形成初等行变换求逆矩阵一个n×2n的矩阵

，然后对矩阵

实施初等行变换，直到将原矩阵A所在部分变成单位矩阵E，原单位矩阵部分经同样的初等变换后，所得到的矩阵就是A的逆矩阵，即第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-60第60页，共72页，2023年，2月20日，星期三例7我国某地方为避开高峰期用电，实行分时段计费，鼓励夜间用电。某地白天(AM8:00～PM11:00)与夜间(PM11:00~AM8:00)的电费标准为P，若某宿舍两户人某月的用电情况如下：白天夜间一二第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-61所交电费F=(90.29101.41)，问如何用矩阵的运算表示当地的电费？第61页，共72页，2023年，2月20日，星期三可以得到当地的电费标准为

下面用初等变换求

解

令，因为等式两边同时左乘以矩阵

第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-62第62页，共72页，2023年，2月20日，星期三即

第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-63第63页，共72页，2023年，2月20日，星期三所以即白天的电费标准为0.462元/度，夜间电费标准为0.2323元/度.第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-64第64页，共72页，2023年，2月20日，星期三例8、[转动矩阵]机器人手臂的转动常用矩阵表示，其中的元素为转动角的三角函数值，求下面转动矩阵R的逆阵。第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-65【解】因为第65页，共72页，2023年，2月20日，星期三所以第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-66第66页，共72页，2023年，2月20日，星期三

矩阵的本征值方程

设A

是n阶方阵，如果存在数和非零n维列向量X，使得AX=X成立，则称是A的一个特征值(characteristicvalue)或本征值(eigenvalue)。非零n维列向量X称为矩阵A的属于（对应于）特征值的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。第2讲第2章化学计量学的相关基础知识2-67第67页，共72页，2023年，2月20日，星期三求矩阵特征值的方法

AX=X，等价于求

，使得(A-E)X=0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。

|E-A|=0，求得的