高中数学同步讲义分册选修2-22.归纳法

数学归纳预习P92～95，思考并完成下列问数学归纳法的概念是什么？适用范围是什么数学归纳法的证题步骤是什么[新知初探一般地，证明一个与正整数n有关题，可按下列步骤进只要完成这两个步骤，就可以断定命题对n0开始的所有正整n都成立．这种证明数学归纳法的框图表[点睛 数学归纳法证题的三个关键数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明n＝kn＝k＋1时，等式的两边会增加在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”f(k＋1)f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项这是数学归纳法的不用归纳假设的证明就不是数学归纳法[小试身手判断(正确的打“√”，错误的打(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( (2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.( (3)数学归纳法的两个步骤 答案：(1)×(2)×如果命题p(n)对所有正偶数n都成立，则用数学归纳法证明时须先证 成立答案已知

1(n∈N*)，计算得

n＞2时，

＞2，由此推测，2答案2用数学归纳法证明等[典例]用数学归纳法证明等12＋

* (n∈N*

[证明 (1)当n＝1时， 1×3＝2×3成立假设当12＋

n＝k＋1时，

＋

＝2(2k＋3)n＝k＋1可得对于任意的用数用数学归纳法证明恒等式应注意的nn0时等式两端项的情况；二是弄n＝kn＝k＋1n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形．[活学活用求证

1

1 1

1 11

＋＋＋2＋…＋2n(n∈Nn1n证明：(1)n＝1时，左边n1n 右边＝1＝1，左边＝ (2)假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即1－1＋1－1＋…＋ －1＝1＋1 ，1，

n＝k＋11－1＋1－1＋…＋ －1

－

1＋1＋…＋1 － ＝1＋1＋…＋ ＋

n＝k＋1用数学归纳法证明不等用数学归纳法证明不等[典例]已知＋求证：1＋1 1 1＋

> [证明 (1)当n＝3时，左边＝1＋1＋1，右边 假设当即1＋1＋1＋…＋1 n＝k＋11＋1＋1＋…＋1

因 所以1＋1＋1＋…＋1

n＝k＋1由(1)，(2)知对一切n∈N*，n＞2[一题多变1．[变条件，变设问]将本题中所要证明的不等式改为 1 1 1 1 ＋…＋(n≥2，n∈N)，如何证明

证明：(1)当n＝2时，1＋1＋1＋1＞5 假设当即1＋1＋…＋1

则当n＝k＋1时 ＋…＋1＋ ＋ ＝1

1＋…＋1＋ ＋1 ＋1 －1＞5＋1 ＋1 ＋1 －1＞5＋

＝ 1 ＝ n＝k＋1可知，原不等式对一切2．[变条件，变设问]将本题中所要证明的不等式改为

1

＋＋

(n≥2，n∈N)，如何证明证明：(1)n＝2时，左边＝1＋1＝4，右边＝ 2左边＞右边，所以原不等式成立假设当2即1＋11＋1…1＋2 n＝k＋1左边＝1＋11＋1…1＋ 2k＋12k＋2> >

2n＝k＋1可知，对一切用数学归纳法证明不等式的四个关(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n＞k(k为正整数)，则n0＝k＋1.(2)n＝kn＝k＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，取前n个值的情况分别验证比较，以免出现判断，最后猜出从某个n值开始都成立的归纳—猜想—证[典例]下列各你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想[解 由题意得，2＝2×1,3×4＝4×1×3,4×5×6＝8×1×3×5,5×6×7×8证明：(1)n＝1(2)n＝k时等式成立，即(k＋1)(k＋2)(k＋3)…2k＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，那么当n＝k＋1时，n＝k＋1(1)“(1)“归纳—猜想—证明”的一般环(2)“归纳—猜想—证明”的主要题①已知数列的递n②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在③给出一些简题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n[活学活用数列{a}中，a

的表达 加以证明

2＝4，

解：∵a2＝4，且

4

1

猜想：an＝ 当n＝1,2猜想正确假设当即ak＝ n＝k＋1(k－1)· ＝k－ ＝＝＝＝1 ∴n＝k＋1由(1)(2)n∈N*层级一学业水平达＋设S＝1 1＋1＋

1

为 3 3

k＋…＋2k

Sk＋ B．Sk＋ 1 ＋

1 C．Sk＋ －

解析选 因式子右边各分数的分母是连续正整数则由Sk＝1＋1＋…＋1 ①得Sk＋1＝1＋1＋…＋1＋

由②－①，得Sk＋1－Sk＝ － ＝ .故Sk＋1＝Sk＋

利用数学归纳法证明不等式 1＜n(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了 B．kC．2k－1 D．2k解析：选 当n＝k时，不等式左边的最后一项为1，而当n＝k＋1时，最后一 ，并且不等式左边和式的分母的变化规律是每一项比前一项加1， 2kn＝k＋2时命题也成立，则 该命题对于n＞2的自n都成Ck取值无关解析选 由n＝k时命题成立可推出n＝k＋2时命题也成立又n＝2时命题成立对于不等 n2＋n＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下当n＝1时 12＋1＜1＋1，不等式成立假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立， k2＋k＜k＋1，则当n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2＜(k2＋3k＋2)＋k＋2＝∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( n＝1n＝kn＝k＋1的推理不正解析：选 在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，故选设f(n)＝5n＋2×3n－1＋1(n∈N*)，若f(n)能被m(m∈N*)整除则m的最大值为 解析：选 f(1)＝8，f(2)＝32，f(3)＝144＝8×18，猜想m的最大值为用数学归纳法证明“对于足够大的自然数，总有2＞3”时，验证第一步不等成立所取的第一个值0最小应当是 ．最小应为答案7

1．用数学归纳法证明

，假设n＝k时，不等式成立2当n＝k＋1时，应推证的目标不等式 解析：观察不等式中分母的变化便知 1

1答案

对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数 解析：n＝1时，36＋a314a＝35a＝3n＝2时，310＋35不能被14整除，故a＝5.答案已知n∈N*，求证证明：(1)n＝1时，左边＝4－18＝－14＝－1×2×7＝n＝k＋1即当n＝k＋1时成立．由(1)(2)n∈N*用数学归纳法证明

＋2≤证明：(1)n＝1时，3≤1＋1≤3 n＝k＋1

1 1

1

1＋

＋…＋

2又1＋1＋1＋…＋1＋1＋1＋…＋ ＜1＋k＋k12

n＝k＋1可知，命题对所有层级二应试能力达标1.n边形f(n)条对角线，则n＋1边形对角线的条＋1)为 解析：选 线，故故应选设 1 (n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于 ＋＋

1 1 ＋ ＋ 1 ＋

1 1 1

.解析：选 f(n＋1)－f(n)＝1＋ ＋ . 个数为f(k)，则f(k＋1)与f(k)的关系是( 解析：Cn＝k＋11llkf(k)lk条直线都相交(k个交点)k个交点两两不相同，且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同，从而n＝k＋1时交点的个数是f(k)＋k＝f(k＋1)．若命题A(n)(n∈N*)n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有( 命题对所有正整数都命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0解析：选C 由题意知n＝n0时命题成立能推出n＝n0＋1时命题成立，由n＝n0＋1时命题成立，又推出n＝n0＋2时命题也成立…，所以对大于或等于n0的正整数命题都成立，而对小于n0的正整数命题是否成立不确定．用数学归纳法证明时，左边所得的项

(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1成解析：n＝1时，n＋1＝2，所以左边答案用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)①当n＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，等式成立②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，等式成立n＝k＋1所以当n＝k＋1时，等式也成立

解析：由证明过程知，在证从n＝k到n＝k＋1时，直接用的等比数列前n项和答案：没有用归纳假平面内有n(n∈N*)个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这nn2－n＋2部分．证明：(1)n＝1时，n2－n＋2＝2(2)n＝k(k≥1，k∈N*)kk2－k＋2n＝k＋1k＋1kk2－k＋2k＋1个圆增加2k个部分，故k＋1个圆把平面分成k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2