2022数学第3章导数及其应用第3节利用导数解决函数的极值最值教案理

在某点取得极值的必要条件和充分求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次）。3.会求闭区间上函数的、最小值(其中多项式函数一般最大值不超过三次)．f′（x0)＝0x0附近的左侧f′(x）＞0，x0附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′(x)＜0右侧f′（x)＞0条件图象形如山峰形如山谷极值f（x0）为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点提醒：（1)函数f(x）在x处有极值的必要不充分条件是f′（x0）0＝0,极值点是f′(x）＝0的根,但f′（x）＝0的根不都是极值点(例如f(x)＝x3，f′(0）＝0，但x＝0不是极值点）．(2)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极值点是函数在区间内部的点，不会是端点．2．函数的最值与导数（1)函数f（x)在［a，b］上有最值的条件如果在区间［a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f（x)在［a，b]上的最大（①求函数y＝f(x)在（a，b）内的极值；②将函数y＝f(x）的各极值处的函数值f（a）,f（b）,最小的小）值的步骤与端点比较，其中最大的一个是最大值一个是最小值．错误!1．若函数f(x）的图象连续不断，则f（x)在[a，b]上一定有最值．2．若函数f（x）在［a，b］上是定在区间端点3．若函数f(x）在区间（a，b）内只有一个极值点单调函数，则f（x）一处取得最值．,则相应的极值点一定是函数的最值点．（2）对可导函数f(x）,f′(x0）＝0是x0点为极值点的充要条1。函数f(x）的定义域为R，导函数f′(x）的图象如图所示，则函数f(x)（）A．无极大值点、有四个极小值点B．有三个极大值点、一个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点C[设f′（x)的图象与x轴的4个交点从左至右依次为x1，x2，x3，x4.当x＜x1时，f′(x）＞0,f(x）为增函数,当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，f（x)为减函数，则x＝x1为极2022教版33大值点,同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点，故选C．］2．设函数f(x）＝＋lnx，则()错误!A．x＝为错误!f(x）的极大值点B．x＝为错误!f(x)的极小值点C．x＝2为f（x)的极大值点D．x＝2为f（x）的极小值点D[f′(x）＝－＋＝错误!错误!错误!(x＞0）,当0＜x＜2时，f′（x)＜0，当x＞2时，f′(x)＞0，所以x＝2为f(x）的极小值点．］3．函数f（x)＝lnx－x在区间(0，e］上的最大值为________．－1［f′（x）＝－1，令f′(x)＝0得x＝1。错误!当x∈(0，1)时，f′(x）＞0；当x∈（1，e]时，f′（x）＜0.∴当x＝1时，f（x）取得最大值，且f（x)max＝f(1）＝ln1－1＝－1。］4．函数f（x)＝x3－12x的极小值为________，极大值为________．－1616[f′(x)＝3x2－12，令f′（x）＝0，即3x2－12＝0解得x＝±2，当x＜－2时,f′(x）＞0，当－2＜x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时，f′(x)＞0，

因此x＝－2是极大值点，x＝2是极小值点，f（x）＝f（－2）－12×（－2）＝16，f(x)＝f（2）＝23－12×2＝3[典例1－1]函数f（x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象如图所示,则x＋x等于（）21错误!A．B．C．D．错误!错误!错误!错误!C[因为函数f(x)的图象过原点,所以d＝0.又f（－1)＝0且f（2)＝0,即－1＋b－c＝0且8＋4b＋2c＝0,解得b＝－1,c＝－2，所以函数f（x）＝x3－x2－2x，所以f′(x）＝3x2－2x－2。由题意知x1，x2是函数f(x)的极值点，所以x1，x2是f′(x）＝0的两个根，所以x＋x＝,xx＝－，所以x＋x＝（x1＋12错误!2错误!错误!错误!点评：可导函数在极值点处的导数一定为零,是否为极值点以及是极大值点还是极小值点要看在极值点左、右两侧导数的符号．求已知函数的极值［典例1－2］已知函数f（x)＝(x－2）（ex－ax)，当a＞0时，讨论f（x）的极值情况．[解］∵f′(x）＝（e－ax）＋(x－2)(ex－a）x＝（x－1）（ex－2a），由f′（x）＝0得x＝1或x＝ln2a(a＞0)．①当a＝时，f′(x)＝（x－1)(ex－e)≥0，错误!∴f(x)在R上单调递增，故f(x)无极值．②当0＜a＜时，ln2a＜1,当x变化时,f′(x)，f(x）的变化错误!情况如下表：x(－∞，ln2a）ln2a(ln2a,1）1（1，＋∞)f′（x）＋0－0＋f（x)↗极大值↘极小值↗故f(x）有极大值f(ln2a）＝－a（ln2a－2)2，极小值f(1)＝a－e。③当a＞时，ln2a＞1，当x变化时,f′（x），f(x）的变化错误!x(－∞,1)1(1,ln2a)ln2a(ln2a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f（x）↗极大值↘极小值↗故f(x)有极大值f(1)＝a－e，极小值f（ln2a)＝－a（ln2a－2）。2综上，当0＜a＜时,f（x)有极大值－a（ln2a－2），极2错误!小值a－e；当a＝时,f（x)无极值；错误!当a＞时，f（x）有极大值a－e，极小值－a（ln2a－2)2.错误!点评:求极值时，要注意f′(x）＝0的根是否在定义域内．已知函数极值求参数的值或范围［典例1－3](1）已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.（2）设函数f（x)＝[ax2－（3a＋1)x＋3a＋2]ex。若f(x）在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．（1）－7[由题意得f′（x）＝3x2＋6ax＋b，则错误!解得或错误!错误!2022教版33经检验当a＝1，b＝3时，函数f（x)在x＝－1处无法取得极值,而a＝2,b＝9满足题意，故a－b＝－7.］（2）[解]由f（x）＝［ax2－（3a＋1)x＋3a＋2]ex，得f′(x）＝[ax2－(a＋1）x＋1]ex＝（ax－1)(x－1）ex。若a＞1,则当x∈错误!时,f′(x）＜0；当x∈（1，＋∞)时，f′（x)＞0.所以f(x)在x＝1处取得极小值．若a≤1，则当x∈（0,1）时，ax－1≤x－1＜0,所以f′(x）＞0.所以1不是f(x）的极小值点．综上可知,a的取值范围是（1,＋∞）．点评：已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2）验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．错误!

1．已知函数f(x)＝x(x－c）在x＝2处有极小值,则实数c的2值为()A．6B．2C．2或6D．0B[由f′（2）＝0可得c＝2或6。当c＝2时,结合图象（图略)可知函数结合图象（图略）可知，函数在x＝2处取得极2．已知三次函数f（x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则＝________.先增后减再增，在x＝2处取得极小值；当c＝6时，大值．故选B．]1［f′(x)＝3ax2＋2bx＋c,由图象知，方程f′（x）＝0的两根为－1和2，则有错误!即＝＝＝1.］错误!错误!f′13．(2019·江苏高考节选）设函数f(x）＝(x－a）(x－b）(x－c），a,b，c∈R，f′(x）为f（x)的导函数，若a≠b，b＝c,且f（x）和f′(x）的零点均在集合｛－3,1,3｝中，求f(x）的极小值．［解]因为b＝c，所以f(x）＝（x－a)（x－b)2＝x3－（a＋2b)x2＋b(2a＋b）x－ab2，从而f′(x）＝3(x－b)错误!.令f′（x)＝0,得x＝b或x＝。错误!{－3，1，3}中，且a≠b，错误!所以＝错误!1,a＝3，b＝－3.此时，f(x）＝（x－3）（x＋3)2，f′(x)＝3（x＋3)（x－1）．令f′（x）＝0,得x＝－3或x＝1。x（－∞，－3）－3(－3，1)1（1，＋∞）f′(x）＋0f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x）的极小值为f(1）＝（1－3)×(1＋3)2＝－32。－0＋考点二利用导数求函数的最值1．求函数f(x）在[a，b］上的最大值和最小值的步骤2．求函数在无穷区间(或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．2022教版33［典例2］(2020·青岛模拟）已知函数f（x)＝excosx－x。(1)求曲线y＝f(x)在点（0，f（0）)处的切线方程;（2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．错误![解]（1)因为f(x)＝excosx－x，所以f′（x)＝ex(cosx－sinx）－1，f′（0)＝0。又因为f(0）＝1,所以曲线y＝f（x）在点（0，f(0）)处的切线方程为y＝1。(2)设h（x）＝ex(cosx－sinx）－1,则h′（x）＝ex(cosx－sinx－sinx－cosx)＝－2exsinx。当x∈时,h′（x)＜0,所以h(x）在区间上单调递减．错误!错误!所以对任意x∈，有h(x）＜h(0)＝0，即f′(x）＜0。错误!所以函数f(x）在区间上单调递减．错误!因此f（x）在区间上的最大值为f(0）＝1，最小值为f错误!＝－。错误!错误!点评：当导函数y＝f′(x)无法判断正负时，可令g（x）＝f′(x）再求g′（x),先判断g（x）＝f′(x)的单调性，再根据单调性确定y＝f′（x)的正负号．错误!已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1）求函数f(x)的单调区间；

2022教版33(2)当a＞0时,求函数f（x)在[1,2]上的最小值．［解](1)f′（x)＝－a（x＞0），错误!①当a≤0时，f′（x)＝－a＞0，即函数f（x）的单调递错误!增区间为（0，＋∞)．②当a＞0时，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝，错误!错误!当0＜x＜时，a1f′(x）＝＞0；错误!当x＞时，1af′（x)＝＜0，错误!故函数f(x)的单调递增区间为，错误!单调递减区间为.错误!综上可知,当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为（0，＋∞)；当a＞0时，函数f（x)的单调递增区间为，错误!单调递减区间为.错误!（2)①当0＜≤1，即a≥1时，函数f（x）在区间［1，2］错误!上是减函数,所以f（x）的最小值是f（2)＝ln2－2a。1a②当≥2，即0＜a≤错误!时,函数f（x)在区间［1,2］上是增函数,所以f（x)的最小值是f（1)＝－a。1a③当1＜＜2，即＜a＜1时，函数f(x）在上是增函错误!错误!数，在上是减函数．又f（2）－f(1)＝ln2－a，所以当＜a＜ln2时，最小值是f(1）＝－a;错误!当ln2≤a＜1时，最小值为f（2）＝ln2－2a.综上可知，当0＜a＜ln2时，函数f(x）的最小值是f(1)＝－a；当a≥ln2时,函数f（x）的最小值是f(2）＝ln2－2a.考点三利用导数解决生活中的优化问题利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤(1）分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)．(2)求函数的导数f′（x)，解方程f′(x）＝0.（3）比较函数在区间端点和f′(x）＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大（小）值．(4)回归实际问题,结合实际问题作答．)某地准备在山谷中建一座桥梁，［典例3］（2020·江苏高考桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行,OO′为铅垂线(O′在AB上)．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1（米）与D到OO′的距离a(米）之间满足关系式h1＝错误!a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2（米）与F到OO′的距离b（米）之间满足关系式h2＝－b错误!3＋6b。已知点B到OO′的距离为40米．（2）计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF，且CE为80米,其中C，E在AB上（不包括端点)．桥墩EF每米造价k（万元），桥墩CD每米造价k（万元）(k＞0)，问O′E为多少错误!［解](1)如图，设AA1，BB1，CD1，EF1都与MN垂直，A1，B1，D1，F1是相应垂足．由条件知,当O′B＝40时，BB1＝－×40错误!3由O′A2＝160,错误!得O′A＝80。2022教版33所以AB＝O′A＋O′B＝80＋40＝120（米）．(2）以O为原点，OO′为y轴建立平面直角坐标系xOy（如图所示)．设F（x，y2），x∈(0，40)，则y2＝－错误!x3＋6x,EF＝160－y2＝160＋错误!x3－6x.因为CE＝80，所以O′C＝80－x.设D（x－80，y1），则y＝（80－x），21错误!所以CD＝160－y1＝160－（80－x)2＝－x2＋4x。错误!错误!记桥墩CD和EF的总造价为f(x)，则f（x)＝k错误!＋k错误!错误!＝k错误!（0＜x＜40)．f′（x)＝k＝x(x－20),错误!错误!令f′（x)＝0，得x＝20.x(0，20)20(20，40）f′（x）－0＋f(x）↘极小值↗所以当x＝20时,f（x)取得最小值．答：（1）桥AB的长度为120米；(2)当O′E为20米时,桥墩CD和EF的总造价点评：实际生活中用料最省、费用最低、损耗