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文档简介
#/12性微分方程,简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,微分方程的幂级数解法,微分方程的简单应用问题。(二)基本要求.了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念.掌握可分离变量方程及一阶线性方程的解法.会求解齐次方程、伯努利方程和全微分方程,会用简单的变量代换求解某些微分方程。.理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。.掌握二阶常数齐次线性微分方程的解法,并会求解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。四、教案方式与考核方式补充说明:教案方式与考核方式教案方式:面授辅导、平时作业考核方式:考勤、作业和考试五、参考书目.同济大学应用数学系.高等数学(五版)(上、下).北京:高等教育出版社,.殷锡鸣等.高等数学.上海:华东理工大学出版社,.马知恩.工科数学分析基础(第二版).北京:高等教育出版社,.萧树铁.大学数学.北京:高等教育出版社,.安徽大学数学系.高等数学.合肥:安徽大学出版社,安徽工程大学成人高等教育年第学期高等数学专复习大纲两个重要极限sinx 1lim=1,lim(1+_)%=exf0x xTB x求导法则[u(x)±v(x)]'=u'(x)±vf(x);[u(x)・v(x)]'=uf(x)v(x)+u(x)vf(x);(3)[u(x)
(3)[u(x)
v(x)r=u'(x)v(x)-L/u(x)vf(x)
v2(x)(v(x)丰0).设y=f(u),u=。(V),V=W(x),则复合函数y=f{机甲(x)]}的导数为dydydudv=••.dXddVdX常用导数 (cy=0(sinx)'=cosx(xn)'=Nxnt(cosx),=一sinx(ex)=ex. ,1(lnx)=xdy=f(x)dx.不定积分和定积分微积分基本公式Jkdx=kx+C1xndx=x+C.+1=lnlxI+CxJcosxdx=sinx+cJsinxdx=-cosx+cJexdx=ex+cJbf(x)dx=F(b)-F(a)a典型例题lim一x一=3a,贝Ua=x-0sin(3x)解:lim—x—=lim3x 1=1a=1x-0sin(3x)x-0sin(3x)3 3 9若f(\沃)=x2+sinx,则f(x)=解:令京=t,即x=t2,贝ijf(t)=14+sint2,所以f(x)=x4+sinx2曲线y=ex在x=1处的切线方程是dy解:当x=1时y=e,且dx=ex,所以V⑴=e,所求切线方程为曲线y=ln(1+x2)的拐点为/、 2x /、2—2x2解:Mx)=E2,y'(x)"而乔,令》(x)=o得x=±i,所以拐点为(-1,ln2)和(1,ln2)Jcos(2x)dx=解:Jcos(2x)dx=1Jcos(2x)d2x=
212sm(2x)+C1lim(1+ )x=x—g 2x解:1lim(1+一)xx—g 2x1 1一=lim[(1+一)2x上=eex—g 2x若f(2x)=ex,贝1Jf(x)=。1 1 1解:令2x=t,即x=2t,则f(t)=e2t,所以f(x)=e2x兀曲线y=sinx在x=不处的切线方程是dy 兀、解:当x=1时y=1,且不=cosx,所以y(-)=0,所求切线方程为y=1函数y=ln(1+x2)的定义域为只需1+x2大于即可,所以可去一切实数,即(-g,+g)Je3xdx= 。11解:e3xdx=3Je3xd3x=3e3x+C计算limx—0tanxsinx解:解:sinx1
lim x―0cosxsinx=lim1=1x―0cosx计算11mx-0tanx-xsinx-xcosxsinx-xcosx解:lim 二lim 二lim ・x-0x-sinx x-0cosx(x-sinx) x-0 x-sinxxsinx x2=lim 二lim=2x-01—cosxx-01” x22y=(x2-2x+5)10,求dydx解阜: _=1 x2 —(x+ 219 — j5+ )=(x1— 2c+ 25x-)■x190(设x2J—e2y=siny,求dydxdydydy22xy+x2 —2e2y =cosy解:ddd所以dy2xyd2e2y+cosy—x2.计算不定积分Je5x+1dxJe5x+idx=Je5x+id(5x+1)=解: 51e5x+i+C5计算定积分Jexlnxdx11111-Je_x2_dx
12x解:JexInxdx=JeI7 1I_lnxdx2=_x2Inx2 24(e2+1)
求函数y二12ln%的单调区间和极值解:d=2%ln%+%=0得%=e,,在(0,飞)上函数的导数小11于,而在(jea)上函数的导数大于,所以在(0,-je)上函数单调11递减,在(丁a)上函数单调递增,函数在%=等处取得极小值i2e求由曲线y=%2及直线y=0,%=1,所围成的平面图形的面积解:所围图形的面积A=J1%2d%=1%30 30求由曲线y=%3及直线y=1,%=0,所围成的平面图形的面积。解:所围图形的面积A=[J1%3d%=1-340 4计算lim%-0tan3计算lim%-0tan3%sin4%解:lim%-0tan3%sin4%tan3%4%33=lim =_%-03%sin4%44计算lim%计算lim%-0e%—%—1%2解:lim%-解:lim%-0e%—%—1%2=lim%告0e%—1y=(sin2%)10,求dyd%
解:"=10(sin2x)9(sin2x)′=20(sin2x)9cos2xdX解:设x2+y2—4y=sinx,求dydx2-2、dy-4办二解:两边同时对x求导可得2x+2ydx4dx^^x所以2x+2ydy-4dy二coxsdxdxdycox—xdx-2y-4Jxexdx.计算不定积分 .Jxexdx-Jxdex-xex-Jexdx-xex-ex+C解:JeInxdx计算定积分1解:原式吧x22sin2e」ex1dx-e-iix解:原式吧x22sin2e」ex1dx-e-iixxe-11若隐函数y-y(x)由方程ln(x2+y2)-arctany确定,求y,(1);x即2x+2yy'-xy'-y,即2x+2yy'-xy'-y,x2+y2将x-1代入原方程得,y-0,代入上式,得y<=2求曲线y=excosx在x:处的切线方程和法线方程。解:y'=
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