《高等数学》第十二章复习要点

学习好资料 欢迎下载学习好资料 欢迎下载第十二章微分方程复习要点：一、了解微分方程的基本概念微分方程：表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。微分方程的阶：方程中未知函数的导数或微分的最高阶数。微分方程的解：满足微分方程的函数。通解:含有与微分方程阶数相同个数的任意常数微分方程的解。特解：满足初始条件的微分方程的解。二、会解一阶微分方程.可分离变量的微分方程定义：若一阶微分方程可整理成：g(y)dy=f(x)dx,则称该微分方程为可分离变量的微分方程。解法：方程两端同时求积分，即Jg(y)dy=Jf(x)dx.齐次微分方程定义：若一阶微分方程可整理成：y'=T(y)，则称其为齐次微分方程。x解法：做变量代换，令u=y，即y=ux，则y'=u+xu'将原方程化为可分x离变量的微分方程：一1—du=-dx，求得其通解后再把u=y代回即可得原叭u)-uxx微分方程的通解。.一阶线性微分方程定义：形如y'+P(x)y=Q(x)的方程称一阶线性微分方程。求解公式：y=e-JP(x)dx[JQ(x)eJP(x)dxdx+C].全微分方程定义：若微分方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0的左端恰好是某二元函数u(x,y)的全微分，即P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y)则称该微分方程为全微分方程。判断方法：P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0的是全微分方程OQ-=—d.xdy全微分方程通解为：u(x,y)=C

二、会解高阶微分方程.(n)=f(%)型的微分方程特点：该方程中不显含y,y〃,•••》(n-1)解法：连续积分n次，得其通解>=3%,C，。，…。)12 n.〃=f(%,y')型的微分方程特点：该方程中不显含未知函数y解法：令y'=p(%)，将方程化为：p'=f(%,p)，这是一阶微分方程，解之得其通解p=叭%,C)，代回y'=p(%)得y♦叭%,C)，又是一阶微分方程，方程11两端同时求积分即可得原方程的通解y〃=f(y,y')型的微分方程特点：该方程中不显含自变量%解法：令y'=p(y)，则y〃=p(y)dp，原方程化为:pdp=f(y,p)，这是一dy dy阶微分方程，解之得其通解为p=叭y,C)，代回y'=p(y)得y，=叭y,C)，这是11一阶可分离变量的微分方程，再解之就可得原方程的通解。.二阶常系数线性齐次微分方程重点：会求形如y〃+pyr+qy=P(重点：会求形如y〃+pyr+qy=P(%)e大%的通解解法：特征方程法，其通解如下表：特征方程：r2+pr+q=0y"+py'+qy=0的通解有两个不相等的实数根r,r1 2y=Ceri%+Cer2%1 2有两个相等的实数根ry=(C+C%)er%1 2有一对共轭复根a±iPy=ea%(CcosP%+CsinP%)1 25.二阶常系数线性非齐次微分方程m定理：微分方程y〃+py'+qy=P(%)e版的通解y=Y+y*，其中Y是对应齐m次方程y"+py'+qy=0的通解，y*是原方程y〃+pyr+qy=P(%)e大x的一个特m解。y*=xkQ(x)e大%=xk(a+axH Faxm)e标，其中a,a，…，a为待定常数，m 0 1 m 0 1 mk取0 1当九不是特征方程r2+pr+q=0的根，k=0当九是特征方程r2+pr+q=0的单根，k=1当九是特征方程r2+pr+q=0的二重根，k=2求y"+pyr+qy=p(x)e版的通解步骤为：m()先求对应齐次方程y〃+py'+qy=0的通解K()再求原方程y〃+py'+qy=P(x)e大x的一个特解y*，m方法：先设出y*=xk(a+ax+…+axm)e.，再求出(y*)',(y*)"，将它们