三角恒等变换(一)学生用

暑期复习第十三讲 三角恒等变换（一）一、基本内容串讲本章主干知识：两角和与差的正弦、余弦和正切公式，运用相关公式进行简单的三角恒等变换。1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：sin( ) sin cos cos sin ; cos( ) cos cos sin sin ;tan( )

tan tan1 tan tan对正切的和角公式有其变形： tanα＋tanβ=tan(α+β)(1-tan αtanβ)，有时应用该公式比较方便。这 6个公式的联系为：C(α－β) C(α＋β)T(α＋β)(α－β)TS(α－β)S(α＋β)2．二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：sin2sincos.cos2cos2sin22cos2112sin2.2tan.tan221tan要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形，cos21cos2,sin21cos2这两个形式常用。223．简单的三角恒等变换1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。（4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。二、考点阐述考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式。1、sin20cos40cos20sin40的值等于（）A.1B.3C.1D.3422412、若tan3，tan4)等于（），则tan(311A.3B.3C.D.33考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式3、coscos2的值等于（）55A．1B．1C．2D．4424、已知0A，且cosA3），那么sin2A等于（25471224A.B.C.D.25252525考点3运用相关公式进行简单的三角恒等变换5、已知tan()2,tan()1,则tan()的值等于（）5444（A）13（B）3（C）13（D）3182222186、已知sinsin1,coscos1,则cos()值等于（）23（A）717（C）59109（B）72（D）7212187、函数f(x)cos2(x)sin2(x)1是（）1212（A）周期为2的奇函数（B）周期为2的偶函数（C）周期为的奇函数（D）周期的偶函数三、解题方法分析1．熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻找切入点例1设a132tan13sin50）cos6sin6,b,c,则有（221tan2132cos25A.abcB.abcC.acbD.bca2．明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口（1）运用转化与化归思想，实现三角恒等变换 `例2．已知π＜β＜α＜3π，cos（α－β）=12，sin（α+β）=－3，求sin2α的值．2 4 13 52例3．化简：［2sin50°+sin10°（1+ 3tan10°）］·sin280 ．（2）运用函数方程思想，实现三角恒等变换例4：已知sin（α+β）=2，sin（α－β）=3，求tan()tantan的值．。34tan2tan()（3）运用换元思想，实现三角恒等变换例5：若sin sin 2,求cos cos 的取值范围。23．关注三角函数在学科内的综合，从知识联系上寻找结合点例6：已知：向量a(3,1)，b(sin2x,cos2x)，函数f(x)ab（1）若f(x)0且0x，求x的值；（2）求函数f(x)取得最大值时，向量a与b的夹角．3四、课堂练习1．sin165o=（）136262A．B．C．D．42242．sin14ocos16o+sin76ocos74o的值是（）A．3B．1C．31222D．23．已知x(,0)，cosx4，则ant2x（）A．7B．7C．24D．24252424774．化简2sin（π－x）·sin（π+x），其结果是（）44Ａ．sin2xＢ．cos2xＣ．－cos2xＤ．－sin2x5．sin—3cos的值是（）1212A．0B．—2C．2D．52sin126．1tan275的值为()A．23B．23C．23D．23tan75337．若cos3，sin4，则角的终边一定落在直线（）上。2525A．7x24y0B．7x24y0C．24x7y0D．24x7y08．coscossinsin_________.9．1tan15＝1tan1510．tan20 tan40 3tan20tan40的值是 .11．求证：cos21．sin2cottan4224112．已知tan2 ，求tan 的值．313．已知0x,sin(x)5,求cos2x的值。4413cos(x)414．若A0,,且sinAcosA7,求5sinA4cosA的值。1315sinA7cosA15．设f(x) asin x bcosx( 0)的周期为T ,最大值f( ) 4.12求,a,b的值;(2)若 , 为方程 f(x) 0的两根,且 , 的终边不共线 ,求tan( )的值.5第13讲三角恒等变换参考答案1-7DBDBBCD7提示：∵cos3，sin4∴sin=24，cos=7，则角的终72425252525边上一点为P（，24x7y0上。25），它在直线258、cos；9、3；10、3322211．证明：左边coscoscoscoscottancossin21222sinsincos2221cos2·sin1sincos1sin2右边，原式得证．2cos2412．解：由tan21得2tan1．这是一个关于tan的方程，解此方程可求得31tan23tan=310．13．解：(x)(x),cos(x)sin(x)5244，4413而cos2xsin(2x)sin2(x)2sin(x)cos(x)1204441692cos2x12012。169cos(x)5131347sinA1212sinAcosA13cosA14．解法一：由13或13sin2Acos255A1cosAsinA1313cosA1213舍去，故5sinA4cosA8∵A0,知sinA515sinA7cosA4313解法二：由sinAcosA7①得(sinAcosA)249，∴1sin2A4913169169∴sin2A120，∴(sinAcosA)21sin2A289，∵A0,，∴sinAcosA>0，从169169sinA1217135sinA4cosA8而sinAcosA②，联立①、②解得135故7cosA43cosA15sinA13615．解：(1)f(x)a2b2sin(x)，T，2，又f(x)的最大值f()4，4a2b2①，且4a