正弦定理教案全

培养孩子良好为习惯1.1.1

正弦定理教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问.教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应.教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个.教学过程：一复引：在意三角形行中有大边对大角，小边对小的边角关系？是否可以把边、角关系准确量化？在

ABC

中，角A、、的正弦对边分别是

a,b,c

，你能发现它们之间有什么关系吗？结论★：。二讲新：探一在直角三角形中，你能发三边和三边所对角的正弦的关系吗？直角三角形中的正弦定理：=

ab=cc

abC=1即=.Asin探二能否推广到斜三角形？（研究锐角三角形，再探究钝角三角形）当是锐角三角形时，设边

上高，根据三角函数的定义，有CDA则ab.AsinBC

aA

a.同，（思考如何作高？），而Asin探三你能用其他方法证明吗？1．证一积）在任意斜ABC当

C

a11S=sinacBA.2

bA

Oc

D

B两边同除以即得：

=.sinsin2．证明二接圆法）如图所示，A＝D，页脚内容

aaCDR，Asin

培养孩子良好为习惯同理

bc=2R，＝.BsinC3．证明三量法）过A作位向量j垂于AC，AC+CB=AB边乘以单位向j得..正定：一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

cC

=2R[理解理1公的变形：(1)2sinA,bRsin,c2sin(2)A

ac,sinB,2R22R(3)a:b:csinA:sin:sin正定理的基本作用为：

(4)

abab,,BsinCsinB①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a

bsinAB

；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如A一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角.利正弦定理解三角形使经用:

。①

B

②

sin(Asincos(A③

12

sin三教学题例已知中，c10,A45

0

,

0

,求a,和B.分析已知条件→讨论如何利用边角关系→示范格式→小结：已知两角一边解：A

0

,

0B180

0

)

0由

ac得sin

a

sinC0

0

2页脚内容

培养孩子良好为习惯由

sinB

得

c10bsinC

0

20sin

0

6评述此问题结果为唯一解学较易掌握，如果已知两角和两角所夹的边，也是先利用内角和°出第三角，再利用正弦定.例ABC中6,45,a2,求和,解：

asinAsinAsinCa

64532200或20当C0时，75b

sinB

67560

0

，当C

0

B6时，B0b600

0

3b300或bB,练习：P4——1.2题

例3,60

,cAC解：∵

ccsinB60sinBCb

,B

0

CC为锐角

0

,

0∴ab2【变式】

A,B四、小结：五、课作业1

在△ABC中，

ack,则k为(2A)sinsinBsinCA2R

BR

C4R

D

12

(为△外接圆半径)页脚内容

培养孩子良好为习惯2

在

中，已知角

B，

433

，则角的值是A.

15

D.75或

15

3在△中,若A3060::c

:3:24、在中若

76,

，则

。5在△中，6,角形ABC的面积为5、在

ABC

中，已知

3,2,

，解三角形。六、心反思1.1.1正弦定理学案学目：①发现并掌握正弦定理及其证明方法；②会用正弦定理解决三角形中的简单问题。预自正定理的数学表达式一地把角的三个角A,B,C和它们的对边

叫做三角形的元已三角形的几个元素求其他元素的过程叫做3．利用正弦定理可以解决两类三角形的问题(1)页脚内容

.

00培养孩子良好为习惯00(2)问引：1、在任意三角形行中有大边对大角，小边对小角的边角关是否可以把边、角关系准确量化？2、在

ABC

中，角AB、的正弦对边分别是

a,b,c

，你能发现它们之间有什么关系吗？结论★：。二合探：1、探一在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？2、探二能否推广到斜三角形？（研究锐角三角形，再探究钝角三角形）3、探三你能用其他方法证明吗？4、正弦定理的变形：5、正弦定理的应用（能解决哪类问题三题解例已知中，c10,A45C,和页脚内容

培养孩子良好为习惯例ABC中6,45

,a2,求和BC例3,60

,cAC【变式ABC中，aA135,b3,求B思：过上面的问题，你对使用正弦定理有什么想法？四课练：修5课P4T1、五课作：1

在△ABC中，

ack,则k为()sinsinBsinCA2R

BR

C4R

1DR(为△外接圆半径)22△中，sinA=sin+sin2C，则△为()A直角三角形

B等腰直角三角形

C等边三角形

D腰三角形3在ABC中已知角B45

，c2,

433

，则角的值是A.

15

B.

75

105

75

或

15

4、在ABC中若5、在ABC中已知a

76,3,2,

，则，解三角形。

。页脚内容

培养孩子良好为习惯六心反．12解三形的进一讨论教目掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时两解或一解或无解等情形角形各种类型的判定方法。教重在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法。教过Ⅰ课导[创设景思考：在中已知a

cm

，b

，

0

，解三角形。（由学生阅读课本第9页解答过程）从此题的分析我们发现在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时某条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。Ⅱ讲新[探索究探一在中已知aA

，讨论三角形解的情况分析：先由s

A

可进一步求出B；则C

0

，从而

c

aCsin1．当A为钝角或直角时，必须a才有且只有一解；否则无解。2．当A为锐角时，如果a

≥

，那么只有一解；如a

，那么可以分下面三种情况来讨论：（）sinA，有两解；（）（）

bb

sinsin

AA

，则只有一解；，则无解。页脚内容

0培养孩子良好为习惯0（以上解答过程详见课本第10页评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为角且

sin

时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。探二你画出图来表示上面各种情形下的三角形的解吗？三题解例1根下列条件，断解三角形的情况(1)a＝，b＝28，＝°无(2)a，＝20，＝°一解(3)＝，＝，＝°一解(4)b＝，a＝20，＝30°；两解[随堂习1]（）中已知a，b

，，试断此三角形的解的情况。（）中若a

，c

，，则符合题意的b的值有_____个。（）中a

xcm

，b

，，果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。（答案有解0）22）例2.中已知

c,cosAcoscosC

判断ABC的形状．页脚内容

培养孩子良好为习惯解令

sinA

由弦定理得

asin

，

bsinB

，

csin

代已知条件，得

sinAsinB

，即

tanBC

．又A

，B

，

(0,

)

，所以

，从而

为正三角形．说判三角形的形特征入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？还要研究角与角的大小关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？（）类题用正弦定理（或将学习的余弦定理）进行代换、转化、化简、运，揭示出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断．[随堂习2]△ABC中

sin

2Asin2

，则△ABC为（

）A.直三角形C.等边三角形

B.等直角三角形等腰三角形已知满条件a

，判断的型。答案：是腰或直角三角形Ⅳ课小（）已知三形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（）角形各类型的判定方法；Ⅴ课作根下列条件，判断解三角形的情况(1)、b1645(a12c120

(3)、,16

()、,

2

在ABC

中，a=b=1060°，则A－

2

B

223

C－

D

3已a,b,c分是的三个内角A,B,C所对的边a=,b=,A+C=2B,则sinC=.页脚内容

培养孩子良好为习惯根条件解三角形：（1）cA45

,C

,求边,.(2)30B求边.()163,A30求和边c(4)30

,解这三角形。（）b4020解个三角(6)c1，

，

，求a。六得思1.1.2

解三角形进一步讨论案【习标掌已知三角形的两边及其中一边的对角时对解个数的讨论；三形各种形状的判断方法；【习难】已知三角形的两边及其中边的对角时对解个数的讨论三角形各种形状页脚内容

培养孩子良好为习惯的判断方法。一情问：我们在解三角形时可以会出现一些我们预想不到的结果，现在请大家思考下面问题：在

ABC

中，已知

a22cmcm133

，解三角形。二探研：探一在ABC中已知aA

，讨论三角形解的情况结：探二你画出图来表示上面各种情形下的三角形的解吗？三题解例1根下列条件，断解三角形的情况(1)a＝，b＝28，＝°无(2)a，＝20，＝°一解(3)＝，＝，＝°一解(4)b＝，a＝20，＝30°；两解页脚内容

00[变式习1]（）中已知a

，b

培养孩子良好为习惯，，判断此三角形的解的情况。（）中若a

，c

，

0

，则符合题意的b的值有_____个。（）中a

xcm

，b

，

，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。例2.

中已

c,cosAcoscosC

判断

的形状．[变式习2]△ABC中

sin

2Asin2

，则△ABC为（）A.直三角形C.等边三角形

B.等直角三角形等腰三角形已知满条件a

，判断的型。四.尝试结五课作根下列条件，判断解三角形的情况、a14,A、12c15A120、8,,A、c20B页脚内容

62培养孩子良好为习惯622在

中，a=b