广东省东莞市第四高级中学2022-2023学年高三下学期数学第8周周测试题及参考答案

东莞四中高三数学周测试题（第8周）一、单选题1.若集合，，满足：，则（）A. B. C. D.2.设在复平面内对应的点为，则“点在第四象限”是“”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件3.设，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.4.函数的最小正周期不可能是（）A. B. C. D.5.过抛物线的焦点作直线l，l交C于M，N两点，若线段中点的纵坐标为2，则（）A.10 B.9 C.8 D.76.甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有A，B，C三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区，且每个小区至少有一名志愿者.则甲不在A小区的概率为(

)A.193243 B.100243 C.23 7.函数恒有，且在上单调递增，则的值为（）A. B. C. D.或8.双曲线的下焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，若过A，B和点的圆的圆心在x轴上，则直线l的斜率为（）A. B. C. D.二、多选题9．已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与不垂直的是（

）A． B． C． D．10.记正项等比数列的前n项和为，则下列数列为等比数列的有（）A. B. C. D.11.已知正实数x，y满足，则（）A.的最小值为 B.的最小值为8C.最大值为 D.没有最大值12．已知函数的定义域D关于原点对称，且，当时，；且对任意且，都有，则（

）A．是奇函数 B．C．是周期函数 D．在上单调递减三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知空间中三点，则点A到直线的距离为__________．14.以下为甲、乙两组按从小到大顺序排列数据：甲组：14，30，37，a，41，52，53，55，58，80；乙组：17，22，32，43，45，49，b，56．若甲组数据的第40百分位数和乙组数据的平均数相等，则__________．15.写出一个同时满足下列三个性质的函数__________．①若，则；②；③在上单调递减．正方体的棱长为2，O为底面ABCD的中心．P为线段的中点，则过A，P，O三点的平面截此正方体外接球所得的截面的面积为.四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知正项数列前n项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）将数列和数列中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求的前50项和．18.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求；（2）已知，求的面积．19.如图，在直三棱柱中，，E，F分别为的中点，且平面．（1）求的长；（2）若，求二面角的余弦值．20.在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层抽取的样本量分别.第1层和第2层的平均值分别为，样本总平均值为.第1层和第2层的方差分别为，样本总方差为.我们可以证明.（1）在对某校高三年级学生身高的调查中，采用分层随机抽样的方法，抽取了40名男生和60名女生，得到男生身高的平均数为172.3，方差为12.31.女生身高的平均数为161.8，方差为37.36.求该样本的总方差。用表示第1层样本的各个个体的变量值，用表示第2层样本的各个个体的变量值.（）求证：；（）证明公式成立（提示：）Ⅰ21.已知椭圆的离心率为，其左焦点为．（1）求的方程；（2）如图，过的上顶点作动圆的切线分别交于两点，是否存在圆使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由．22.已知函数．（1）讨论的极值点个数；（2）若有两个极值点，且，当时，证明：．参考答案1.B2.A3.D4.C5.C6.C7.B8.B9．ABC10.AB11.AC12.ACD1.【详解】由集合，，满足：，，如图所示：，，3.解：易知，，，所以.4.解：当，时，函数，最小正周期为，故选项A可能；当，时，函数，最小正周期为，故选项B可能；当，时，函数，最小正周期为，故选项D可能；5.解：由抛物线方程知焦点坐标为，设直线的方程为，联立得，设，，则，，则，解得，则，6.解：先计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，

5人被分为3，1，1或2，2，1，

当5个人被分为3，1，1时，情况数为C53×A33=60，

当5个人被分为2，2，1时，情况数为C51×C42A22×A33=90，∴共有60+90=150．

∵所求甲不去A，情况数多，反向思考，求甲去A的情况数，最后用总数减即可，

当5人被分为3，1，1时，且甲去A，甲若为1，则C43×A22=8，

甲若为3，则C42×A22=12，

共计8+12=20种，

当5人被分为2，2所以，得.因为在上单调递增，所以,即，得.因为，所以.因为在上单调递增，所以,得.所以，且，，解得，.故.8.解：由题意可知：，设，，的中点为，过点的圆的圆心坐标为，则，由题意知：直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为：，联立方程组，消元可得：，则，，由韦达定理可得：，，所以的中点的坐标，则，由圆的性质可知：圆心与弦中点连线的斜率垂直于弦所在的直线，所以，整理可得：（*），则圆心到直线的距离，由弦长公式可得：，由垂径定理可得：，也即，将（*）代入可得：，即，整理可得：，则，因为，所以，则，故选：.10.解：由题意可得：等比数列的首项，公比，即，对A：，且，即为等比数列，A正确；对B：，且，即为等比数列，B正确；对C：∵，则有：，均不为定值，即不是等比数列，C错误；对D：，均不为定值，即不是等比数列，D错误；11.解：因为x，y为正实数，且，所以.所以，当时，的最小值为，故A正确；，当且仅当时等号成立，故B错误；，当且仅当时等号成立，故，即的最大值为，故C正确；，，当且仅当，即时等号成立，所以.所以有最大值，故D错误.12.解:对于A，令，则，所以函数是奇函数，故A正确；对于B，由，得，所以，则，所以，故B错误；对于C，由，得，则，则，即，所以函数是以为周期的周期函数，故C正确；对于D，令，则，则，所以，，所以，所以，，因为，所以，所以，即，所以在上单调递减，故D正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.14.10015.（答案不唯一）16.14.解：因为，甲组数据的第40百分位数为第四个数和第五个数的平均数，乙组数据的平均数为，根据题意得，得，故15.解:比如，，故，又，也即成立，又在上单调递减．故答案可为：.16.取的中点，因为P为线段中点，连接交与点，所以，又，所以，故过A，P，O三点的平面为平面，取的中点，过作，垂足为，又平面，平面，所以，，平面，所以平面，过球心作，则平面，所以正方体的外接球的球心到截面的距离为的长，又，所以，因为为的中点，所以故截面圆的半径为，所以截面圆的面积17.（1）依题意，当时，，解得，由，当时，有，作差得：，所以，因为，所以，所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以.（2）由（1）得，，又，同时，所以所以．所以的前50项和为2150．18.（1）已知，代入余弦定理，，化简得：，所以．（2）由正弦定理知即，又，故，即，得，故（舍），此时，，，则的面积.19.（1）∵面，又面，∴，又∵F为的中点，∴，又在、中，，易证得，故．，，又，，故．（2）以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可知，则，不妨设是平面的一个法向量，那么，即，令，则．又面，故是平面的一个法向量．设为二面角所成平面角，则，即二面角的余弦值为．（1）由已知高三年级学生身高总平均数为，所以（2）（3）==21.（1）由题意设焦距为，则，由离心率为，所以，则，的方程为．（2）不存在，证明如下：假设存在圆满足题意，当圆过原点时，直线与轴重合，直线的斜率为0，不合题意．依题意不妨设为：，：，，，圆的半径为，则圆心到直线的距离为，即是关于的方程的两异根，此时，再联立直线与椭圆方程得，所以，即，得所以，同理由，得，由题意，，即，此时，所以，因为，所以方程无解，命题得证．22.（1）已知，则，令，则，当时，，所以在上单调增减，在上单调递增，则，①当时，恒成立，故在上无极值点；②当时，，显然，则在上有一个极值点，又，令，故在上单调递