天津市重点中学2021-2022学年高三上学期第一次月考数学试题及参考答案

-2022学年第一学期高三第一次月考数学姓名：___________班级：___________考号：___________总分：150分第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共60分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知全集U={1,2,3,4}，若A={1,3}，则∁UA=(

)A.{1,2} B.{1,4} C.{2,3} D.{2,4}2.设a∈R，则“a2>a”是“a>1 ”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.如图所示是y=f(x)的导函数y=f’(x)的图象，下列四个结论：①f(x)在区间(−3,1)上是增函数；②x=−1③f(x)在区间(2,4)上是减函数，在区间(−1,2)④x=2是f(x)的极小值点．其中正确结论的序号是(

)A.①②③ B.②③ C.③④ D.①③④4.已知fʹ(x)是函数f(x)的导数．若y=fʹ(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有可能是(

)

A. B.

C. D.5.2020年10月1日是中秋节和国庆节双节同庆，很多人外出旅行或回家探亲，因此交通比较拥堵．某交通部门为了解从A城到B城实际通行所需时间，随机抽取了n台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间(单位：分钟)都在[30,55]内，按通行时间分为[30,35),[35,40)，[40,45),[45,50)，[50,55]五组，频率分布直方图如图所示，其中通行时间在[30,35)内的车辆有235台，则通行时间在[45,50)内的车辆台数是(

)A.450 B.325 C.470 D.5006.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3=2，且A.{an}为递增数列

B.当且仅当n=5时，Sn有最大值

C.不等式Sn>0的解集为7.数列{an}满足an=1+2+3+⋯+nn，则数列A.nn+2 B.2nn+2 C.nn+18.如图，在直三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，若CA=a，CB=A.a+b−c B.a−b9.已知在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=2，AC=23，若该棱柱的外接球的表面积为32πA.4 B.43 C.8 D.10.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=12，bsinA=asinB2A.38 B.316 C.32411.将函数f(x)=cos  x的图象先向右平移56π个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在(πA.(0,29]∪[23,89]12.已知函数g(x)={−4x2+8x,x∈(0,2]4x−8,x∈(2,+∞),f(x)=|kx−2|−g(x)在(0,+∞)上有3个不同的零点，则实数A.(42−8,+∞) B.(42−8,1)∪(1,+∞)

C.第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共36分）13.已知复数z=3+i1+i，则Z=_____________14.已知x−13xn的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等，则含x10项的系数是15.过直线2x−y+4=0与x−y+5=0的交点，且垂直于直线x−2y=0的直线方程是___．16.已知点A−3,4，B2,2，直线mx+y+m+2=0与线段AB相交，则m的范围为__________．17.2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A，B，C三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲、乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率

．18.已知向量AB与AC的夹角为120∘，且|AB|=3,|AC|=2，若AP=λAB+AC三、解答题（本大题共4小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.(本小题12分)在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且3a(1)求角A的大小；(2)求cos5π2−B20.(本小题13分)已知函数fx(1)求函数fx(2)求函数fx在x∈(3)若2π3是函数fx的一个零点，求实数a的值及函数fx21.(本小题13分)如图所示，在四棱锥P−ABCD中，BC//平面PAD，BC=12AD，E(1)求证：BC//AD；(2)求证：CE//平面PAB；(3)若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使MN//平面PAB？说明理由．(本小题16分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=an+2(n∈N∗)，a3+a4=12，数列{bn}为等比数列，且b1=a2，b2参考答案选择题D

2.B

3.B

4.C

5.C

6.C

7.B

8.C

9.B

10.D

11.A

12.D

填空题13.5

14.−4

15.2x+y−8=0

16.(−∞,−417.56

18.7解答题解：(1)由正弦定理可得，3sinAcosC=2sinBcosA−3sinCcosA，

从而可得3sin(A+C)=2sinBcosA,

3sinB=2sinBcosA，

又B为三角形的内角，

所以sinB≠0，于是cosA=32(2)cos(5π2−B)−2sin2C2=sinB+cosC−1

=sinB+cos(5π6−B)−1

=sinB+cos5π6cosB+sin5π6sinB−1

=32sinB−20.解：(1)f(x)=4cosxcos(x−π3)+a=4cosx(cosxcosπ3+sinxsinπ3)+a

=2cos2x+23sinxcosx+a=cos2x+1+3sin2x+a=2sin(2x+π6)+a+1，

T=2π2=π;

(2)法一：

令z=2x+π6;x∈[0,π2]则z∈[π6,7π6]∵y=sinz，z∈[π6,7π6]的单调增区间为[π6,π2]

∴π6≤2x+π6≤π2，解得∴0≤x≤π6∴函数f(x)在x∈[0,π21.证明：(1)在四棱锥P−ABCD中，BC//平面PAD，BC⊂平面ABCD，

平面ABCD∩平面PAD=AD，

∴BC//AD，

(2)取PA的中点F，连接EF，BF，

∵E是PD的中点，

∴EF//AD，EF=12AD，

又由(1)可得BC//AD，且BC=12AD，

∴BC//EF，BC=EF，

∴四边形BCEF是平行四边形，

∴CE//BF，

∵CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，

∴CE//平面PAB．

(3)取AD中点N，连接CN，EN，

∵E，N分别为PD，AD的中点，

∴EN//PA，

∵EN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，

∴EN//平面PAB，

又由(2)可得CE//平面PAB，CE∩EN=E，CE、EN⊂平面CEN，

∴平面CEN//平面PAB，

∵M是CE上的动点，MN⊂平面CEN，

∴MN//平面PAB，

∴线段AD上存在点N，使得22.解：