最优化方法练习题答案修改建议版本-删减版

12311231213131231123121313234i4561、建立化模型应考虑哪些要素答：决策变量、目标函数和约束条件。2、讨论化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停止准则。minf(x)答：针对一般优化模s

gihj

讨论解的可行D假设存在一点X*，对D均有fX*)(X)则称*为优化模型最优解，最优解存在；迭代算法的收敛性是指迭代所得到的序列

,

,

(K)

，满足f(X

(K

(

(K)

，迭代法收敛；收敛的停止准则有

(k()

，

x

(x

()

(k)

，

(k)

，

f

(f

(k)

，

()

等等。练习题二1、某公看中了例中厂家所拥有的3种资源R、R、和R，欲出价收购〔可能用于生产附加值更高的产品如果你是该公司的决策者，对这3种资源的收购报价是多少？〔该问题称为例的对偶问题解：确定决变量确定目函数确定约条件

对3资源报价yy作为本问题的决策变量。123问题的目标很清楚——“收购价最小资源的报价至少应该高于原生产产品的利润，这样原厂家才可能卖。因此有如下线性规划问题minwy10015013yy13syyy12y1*2、研究线性规划的对偶理论和方法〔包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法答：略。3、用单形法求解以下线性规划问题：min

xxx

minx〔1〕

t.

xxxxxxx

；〔2〕

st

xx2xx2xxx0(i1,2,,5)解1〕引入松弛变x，，x

jBjj2224jBjj3335jBjjj14523ijminzxjBjj2224jBjj3335jBjjj14523ij1st

xx=212x5=3136=4xx3,4,x5,x000

→基-

b234

1121

[1]10

1111

01000

00100

00010因检验数，故确定x为换入非基变量，以x的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量作为换出的基变量。00

→基-

b214

1112

1000

1[3]1

0101

00100

00010因检验数，故确定x为换入非基变量，以x的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量作为换出的基变量。10

→基-

b8/31/311/3

15/31/37/3

1000

10103

01/31/32/3

02/31/31/3

00010因检验数σ>0，说明已求得最优解：X*(0,8/3,1/去除添加的松弛变量，原问题的最优解为：*(0,8/。〔2〕根据题意选，，x，为基变量：minxst

x2xx2xxx

x0(i

,5)

0-110

Bjj2224jBjj3315jBjjj121Bjj2224jBjj3315jBjjj1213ijijijij000

基

b225

1000

[1]1

111

0100

0010因检验数σ<0最小，故确定为换入非基变量，以的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量作为换出的基变量。00

基

b623

01000

0100

1[3]

0211

00010因检验数σ<0最小，故确定为换入非基变量，以的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量作为换出的基变量。01

基

b941

01000

0100

10010

011/32/3

012/31/31/3因检验数σ>0，说明已求得最优解：X

*

4,1,0,0)。8、某地有AB三个化肥厂，供给本地甲、乙、丙、丁四个产粮区。已知各化肥厂可供给化肥的数量和各产粮区对化肥的需要量，以及各厂到各区每吨化肥的运价如表所示。试制定一个使总运费最少的化肥调拨方案。1运价/

产粮区

(元/吨)

甲

乙

丙

丁

各厂供给量/万吨化肥厂AAA各区需要量/万吨

5486

8946

71023

3793

783解：设A、、C三个化肥厂为A、A、A，甲、乙、丙、丁四个产粮区为、B、B、B；c为由A运化肥至B的运价，单位是元；x为由A运往B的化肥数量〔〕单位

ij是吨；z表示总运费，单位为元，依题意问题的数学模ijminz

3ij

cijijst

21x122232233324x1112132324x32该题可以用单纯形法或matlab自带工具箱命令〔linprog〕求解。*9求解以下不平衡运输问题〔各数据表中，方框内的数字为单位价格，框外右侧的一列数为各发点的供给ai，底下一行数是各收点的需求j〔1〕5171064803215752050

要求收点3需求必须正好满足。〔2〕

5132107515961551015

要求收点1需求必须由发点4给。解答略。练习题三1

(t)

t的近似最优解，已t)

t的单谷区间要求最后区间精

答：；最小值-〔调用golds.m数〕2、求无约非线性规划问题

12312302)112)2112312302)112)21111231

4

22

x3

x1的最优解解一：极值存在的必要条件求出稳定点：1

x，，，则x得x，x，02再用充分条件进行检验：f1

ff，，2

ff123

0f080为正定矩阵得极小点x*(1,0,0)

，最优值为-1。解二：标函数改写成minfxx)=x13

易知最优解为〔最优值为-13、用最下降法求解无约束非线性规划问题。(x2121其中Xx,T，给定初始点XT。1

21解一：标函数f(x梯(x)

12

X)令搜索方向(1))再从X(0)出发，d方向作一维寻优，令步长变量

，最优步长，则有X

(0)

(1)

故fx)(

(0)

(1)

)

2

1

(0可(0)(1)111

求出点之后，与上类似地，进行第二次迭代(

(1)

)(2)X)令步长变量

，最优步长

，则有

11.2X

故

f)f(

(1)

(2)

)

2(

2(

2

令(2

可得

X

(2)

X

(1)

2

(2)

(X)

0.2

此时所到达的精度((2))此题最优解

，

练习题四1、石油送管道铺设最优方案的选择问题：考察网络图，设A为出发地，为目的地，，C，D，分别为四个必须建立油泵加压站的地区。图中的线段表示管道可铺设的位置，线段旁的数字表示铺设这些管线所需的费用。问如何铺设管道才能使总费用最小？1解：第五阶段：E1—4；E2—F3；第四阶段：D1——F；D2—E2—F5—E1—F5；第三阶段—D1——F12C2———10C3—D2——；D3——F；第二阶段：B1—D2—E2—F13；——E2—F15第一阶段：A—B1—C2———17；最优解：A—C2—D2—E2—最优值：172、用动态规划方法求解非线性规划f(x)xx12

x27123x1

解：x9,，最13、用动规划方法求解非线性规划maxx11xx11,1解：用顺序算法阶段：分成两个阶段，且阶段1、分别对,。1决策变量：x,1状态变量vw分别为第j阶段第一、第二约束条件可供分配的右段数值。iif*

(vw)max{7

x}

v,721

w}x*min{v}111f*(v,w)x222

f*

(vx,)}22x

)

vx),7(wx)22

)}}2由vw，f*(vw)*(10,9)max{min{33x2x760,68x23962222220可解的x，最优值为。124设四个城市之间的公路网如图两点连线旁的数字表示两地间的距离使用迭代法求各地到城市4的最短路线及相的最短距离。

2城市公路解：城市1到城市4线——1-3-4距离10；城市2城市4线——2-4距离8城市3城市路线——3-4距离45某公司打算在3不同的地区设置4个销售点根据市场部门估计在不同地区设置不同数量的销售点每月可得到的利润如表4-19所示。试问在各地区如何设置销售点可使每月总利润最大。

kkkk1kkkkkk1kkkkkkk地

1销售点区

解：将问题分为3阶段，k=12，3；决策变量x表示分配给第k地区的销售点数；状态变量为s表示分配给第k个至第个地区的销售点总数；状态转移方程：s=－x，其中=4；允许决策集合：D〔s〕=｛x|0≤≤｝阶段指标函数：g〔〕表示x个销售点分配给第k地区所获得的利润；最优指标函数f〔表示将数量为的销售点分配给第k个至第3地区所得到的最大利润动态规划基本方程为：

f()[g()f(s)]kf()4

kk时，f(s)g(x)]330

1

g（x323

f()3

3

*01

0

10

01012

14

14

23

16

16

34

17

17

4k时，f(s)[()f()]22

***1231k1k，kkk***1231k1k，kkkkk2f(sx)=0.005+s544424444401

000+10

g(fs)21312+0

f(s)012

x*01234

0+140+1617+1021+00+1712+1622+0

222731

122,3k时，f(s)g(x)f(s)]，f(s())]1112210最优解为：x，x，x，f(4)=47即在第个地区设置2个销售点，第2个地区设置1个销售点，第3地区设置1个销售点，每月可获利润。6、设某计划全年生产某种产A。其四个季度的订货量分别600斤700斤，500斤和1200斤。已知生产产品A的生产费用与产品的平方成正比，系数为厂内有仓库可存放产品，存储费为每公斤每季度1。求最正确的生产安排使年总成本最小。解：四个季度为四个阶段，采用阶段编号与季度顺序一致。设s为第k季初的库存量，则边界条件为ss=0设x为第k的生产量，设y为第的订货量；xy都取实数，状态转移方程为s=sx-y仍采用反向递推，但注意阶段编号是正向的目标函数为：f()min1,,

4i

x)ii第一步：(第四季度)总效果

44由边界条件有：–y，解得：x*=1200–将x*入f()得：

4f*(s)=0.005(1200–s)+=7200–

2

2333444333222233323334443332222333222221112221111123344111

f(sxx+s+*()将s=–代入

f

(x)得：f(s)0.0052333

7200x500)30.005(3

2xxs3333(s)3s3

3解得

800s,33

代入(s,)得333f

3

()7550ss233第三步：(第二、三、四季度)总效果f(sxs+f*()将s=代入

f(sx)得：f(,x)0.005x2x222220.0025(x700)22(x)2220.015x0.005(s2

x2

700s2

入f(,x)得22f

2

(s)10000(0.005s2

22第四步：(第一、二、三、四季度)总效果f(sxs+f*()将s=––

代入

f

(sx)得：f(sx)11

100001(0.00521(s)113)1

x1

入f(,x)得11f)1180012由此回溯：得最优生产–库存方案x，s*=0；x，s*=0；x*=800，s*=300；x*=900。7、某种器可在高低两种不同的负荷下进行生产。设机器在高负荷下生产的产量函数为g=8u，其中为投入生产的机器数量，年完好率a；在低负荷下生产的产量函数为=5y，其中为投入生产的机器数量，年完好率为。假定开始生产时完好机器的数量试问每年如何安排机器在

kkkkkkkk5kkk555高、低负荷下的生产，使在5年内生产kkkkkkkk5kkk555解：构造这个问题的动态规划模型：设阶段序数k表示年度。状态变量s为第k年度初拥有的完好机器数量，同时也是第k−1年度末时的完好器数量。决策变量为第k度中分配高负荷下生产的机器数量，于是−u为该年度中分配在低负荷下生产的机器数量。这里s和均取连续变量它们的非整数值可以这样理解如就表示一台机器在k年度中正常工作时间只占；u，就表示一台机器在该年度只有3/10的时间能在高负荷下工作。状态转移方程为s

k

aus0.70.9(),1,2,kkkk

,5k段允许决策集合为：D(s)k

,为第k年度的产量，kkkkkk故指标函数为(su)kk令最优值函数f(s)表示由资源量s出发从第k年开始到第5年结束时所生产的产品的总产量最大值。因而有逆推关系式：

f()6f()us)f0.9(kkku()k4,5

从第5年度开始，向前逆推计算。当k=5时，有：f()maxs)f0.9(s)555650max5550maxs50因f是u的线性单调增函数，故得最大解u*，相应的有：f(555当k=4时，有：

4411f(s)max))444441105())444013.6u12.2(s)401.4s440故得最大解，u*=s，相应的有fs44

4依此类推，可求得,相的f(s)17.5s33,相应的f(s)20.8s2*,相应的f(s23.7s11因s故：s)1计算结果说明：最优策略为u*

*

*

,

*

u

*

即前两年应把年初全部完好机器投入低负荷生产后三年应把年初全部完好机器投入高负荷生产这样所得的产量最高，其最高产量为台。在得到整个问题的最优指标函数值和最优策略后还需反过来确定每年年初的状态即从始端向终端递推计算出每年年初完好机器数。已知=1000台，于是可得：u*s*)900()111u

*

s

*

)0.9s台)u*s*)0.7s567()330.7

*

0.9(s

*

)0.7s397(台)u*

s*

)s278(台)8、有一最大货运量为的卡车，用以装载3种货物，每种货物的单位重量相应单位价值如表所示。应如何装载可使总价值最大？2货物编号i单位重量〔〕单位价值

解建模三种物品装x,,件13

Amax(4xxx)12A

312xxI,jjj利用动态规划的逆序解法求此问题。s,D{|x}11111s(x|}22222s,Dx}323状态转移方程为：

s

k

(s,kkkk该题是三阶段决策过程，故可假想存在第四个阶段，而x

，于是动态规划的基本方程为：

f(s)[xf(s)],kkkkkxD()fs)4kf(s)3k

maxx,[s/5]

3f()[5xf()]23,[]maxxf(x)]2,[]kf(s[4xf(s)]12x0,1,2,3[4x(sx)]1x0,1,2,3计算最终结果为1

2,

2

x3

最大价值为。9、设有A，C三部机器串联生产某种产品，由于工艺技术问题，产品常出现次品。统计结果说明，机器AB，C产生次品的概率分别为p=30%,P=40%,=20%,而产品必须经过三部机器顺序加工才能完成。为了降低产品的次品率，决定拨款万元进行技术改造，以便最大限度地提高产品的成品率指标。现提出如下四种改良方案：方案1：拨款，机器保持原状；方案2：装监视设备，每部机器需款1万元；方案3：装设备，每部机器需款2万元；方案4：时加装监视及控制设备，每部机器需款万元；采用各方案后，各部机器的次品率如表。