人教版数学九年级上册同步讲义第28课弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图（原卷版）

第28课弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图目标导航目标导航课程标准1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长SKIPIF1<0和扇形面积S扇形SKIPIF1<0的计算公式，并应用这些公式解决问题；

2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；3.能准确计算组合图形的面积.知识精讲知识精讲知识点01弧长公式半径为R的圆中

360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：

n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分);要点诠释：

(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即SKIPIF1<0=；

(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；

(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

知识点02扇形面积公式1.扇形的定义

由组成所围成的图形叫做扇形.

2.扇形面积公式

半径为R的圆中

360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：

n°的圆心角所对的扇形面积公式：S扇形=

要点诠释：

(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即SKIPIF1<0；

(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

(3)扇形面积公式S扇形=SKIPIF1<0，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式SKIPIF1<0有点类似，可类比记忆；

(4)扇形两个面积公式之间的联系：S扇形.

知识点03圆锥的侧面积和全面积连接圆锥和的线段叫做圆锥的母线.

圆锥的母线长为l，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则

圆锥的侧面积，圆锥的全面积：S全=S侧+S底.

要点诠释：

扇形的半径就是圆锥的，扇形的弧长就是圆锥底面圆的.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.

能力拓展能力拓展考法01弧长和扇形的有关计算【典例1】如图所示，一纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC的夹角为120°，的长为20πcm，那么AB的长是多少?【即学即练1】一个圆柱的侧面展开图是相邻边长分别为10和16的矩形，则该圆柱的底面圆半径是．【典例2】如图所示，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，以BC的中点E为圆心的与AD相切于点P，则图中阴影部分的面积是多少?【即学即练2】若圆锥经过轴的截面是一个正三角形，则它的侧面积与底面积之比是（）．A． B． C． D．考法02圆锥面积的计算【典例3】如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形．（1）求这个扇形的面积（结果保留）．（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．（3）当⊙O的半径为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．【即学即练3】已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的全面积是．考法03组合图形面积的计算【典例4】如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A=30°，BC=2，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P，过点P作PF⊥AC于点F．（1）求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求阴影部分的面积．（结果保留π）．分层提分分层提分题组A基础过关练1．一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（）A．5πB．4πC．3πD．2π2．如图，边长为l2m的正方形池塘的周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一棵树，且AB=BC=CD=3m．现用长4m的绳子将一头羊拴在其中一棵树上．为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在()A．A处 B．B处 C．C处 D．D处3．劳技课上，小颖将一顶自制的圆锥形纸帽戴在头上，已知纸帽底面圆半径为10cm，母线长50cm，则这顶纸帽的侧面积为（）cm2．A．250π B．500π C．750π D．1000π4．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（）A． B． C． D．5．一个圆锥的高为4cm，底面圆的半径为3cm，则这个圆锥的侧面积为（）.A．12πSKIPIF1<0B．15πSKIPIF1<0C．20πSKIPIF1<0D．30πSKIPIF1<06．如图，半径为1的圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，劣弧AC的长度为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知扇形的圆心角为60°，弧长为10π，则扇形的面积为（）A．30 B．30π C．150π D．150题组B能力提升练1．如图，扇形AOB中，∠AOB=150°，AC=AO=6，D为AC的中点，当弦AC沿扇形运动时，点D所经过的路程为（）A．3π B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．4π2．如图，有一圆心角为120°、半径长为6cm的扇形OAB，若将OA、OB重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是cm.3．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____．4．如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10cm．图中阴影部分的面积为__________________cm2．5．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于点D，则阴影部分面积为____________．6．如图所示，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，且∠EAF=80°，则图中阴影部分的面积是．7．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是_.8．矩形ABCD的边AB=8，AD=6，现将矩形ABCD放在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置A1B1C1D1时（如图所示），则顶点A所经过的路线长是_____．9．如图，用一张半径为24cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果圆锥形帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是．题组C培优拔尖练1．如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在-起，连接AC、BD．2．如图，已知圆锥的底面半径为10，母线长为40.（1）求圆锥侧面展开图的圆心角；（2）若一小虫从点A出发沿圆锥侧面绕行到母线CA的中点B处，求它所走的最短路程是多少？3．有一个直径为1m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角是90°的扇形CAB，被剪掉的阴影部分的面积是多少？4．如图，AB为⊙O的直径，弦AC=2，∠ABC=30°，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求：（1）BC、AD的长；（2）图中两阴影部分面积的和．5．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中