人教版数学九年级上册同步讲义第06课一元二次方程的应用（平均变化率、握手、面积问题）（原卷版）

第06课一元二次方程的应用（平均变化率、握手、面积问题）目标导航目标导航课程标准课标解读1.通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤；2.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.通过分析实际问题，建立准确的数学模型，从而解决实际问题。知识精讲知识点01列一元二次方程解应用题的一般步骤知识精讲1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）答(写出答案，切忌答非所问).要点诠释：列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.知识点02一元二次方程应用题的主要类型1.数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.2.常见模型问题常见的类型应用公式进行解答，就会解题就会方便很多，下表就是常见基本公式：(1)增长率问题： a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.“共”或“累计问题” (2)降低率问题： (3)传染问题 (4)握手问题 (5)送礼问题 (6)枝干问题 （1）平均增长率：设原价为a，连续增长两次，价格变为b，每次增长的百分率为x，那么：增长第一次价格为： ；增长第二次在上一次价格的基础上再乘 ，即 最终价格SKIPIF1<0，得出等量关系；（如果增长三次，就将指数2变换为3即可）“累计问题”：设第一个月为a，连续增长两个月，累计总数为b，设平均增长率为x，则：第一个月为a，第二个月为 ，第三个月为 ，所以三个月累计 （2）平均降低率：设原价为a，连续降价两次，价格变为b，每次降价的百分率为x，那么：增长第一次价格为： ；增长第二次在上一次价格的基础上再乘 ，即 最终价格 ，得出等量关系；（3）传染问题：设开始挈带病毒的人数为a，一个病人一轮传染x个病人，两轮传染之后一共有b个人挈带病毒，则：传染轮数挈带病毒人数传染人数第一轮 第二轮 两轮结束后一共挈带病毒数 （4）握手问题：这个问题和求多边形对角线的个数类似，以6个人举例：首先A站起来，和其余5个人一次握手，共握手5次；然后B站起来，和其余5个人一次握手，共握手5次；以此类推，每个人都站起来和其余人握手，一共握手：SKIPIF1<0次，但是握手完成后发现，任意两人之间握手2次，重复了一次，因此需要乘以SKIPIF1<0去重复；也就是一共握手SKIPIF1<0次。由此推广。当人数为x时，一共握手 次；送礼问题，与之有相似的推导过程：因为甲送给乙礼物和乙送给甲礼物，含义不同，故不需要去重复，因此送礼问题的公式为： =总次数；3.形积问题此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.面积类问题内挖类型 外扩类型 开路类型 SKIPIF1<0开门问题 要点诠释：列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.能力拓展能力拓展考法01数字问题【典例1】已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少．【即学即练1】有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字少2，求这个两位数.考法02平均变化率问题【典例2】随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率．【即学即练2】某产品原来每件是600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两次降价的百分数相同，求平均每次降价率.考法03形积问题【典例3】如图，有长为48米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度25米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD．（1）当AB的长是多少米时，围成长方形花圃ABCD的面积为180SKIPIF1<0?（2）能围成总面积为240SKIPIF1<0的长方形花圃吗?说明理由.【即学即练3】如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？【即学即练4】如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．（1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为米；（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽．【即学即练5】改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（SKIPIF1<0）16SKIPIF1<0，宽（SKIPIF1<0）9SKIPIF1<0的矩形场地SKIPIF1<0上修建三条同样宽的小路，其中两条与SKIPIF1<0平行，另一条与SKIPIF1<0平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112SKIPIF1<0，则小路的宽应为多少？考法04动点问题【典例4】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=5cm，点Q从点A开始沿AB边向点B以lcm/s的速度移动点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s速度移动，两点同时出发，连接PQ．（1）经过多长时间后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）△PBQ的面积能否等于7cm2？试说明理由．【即学即练6】如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，现有两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的分别从点SKIPIF1<0和点B同时出发，沿边SKIPIF1<0，BC向终点C移动．已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的速度分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点移动时间为SKIPIF1<0．问是否存在这样的SKIPIF1<0，使得四边形SKIPIF1<0的面积等于SKIPIF1<0？若存在，请求出此时SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由．分层提分分层提分题组A基础过关练1．一个两位数比它的十位上的数字与个位上的数字之积大SKIPIF1<0，已知十位上的数字比个位上的数字大SKIPIF1<0．则这个两位数是（）A．64 B．75 C．53或75 D．64或752．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80 C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=1003．国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为SKIPIF1<0，根据题意列方程得（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．某校九年级（1）班在举行元旦联欢会时，班长觉得快要毕业了，决定临时增加一个节目：班里面任意两名同学都要握手一次．小张同学统计了一下，全班同学共握手了465次．你知道九年级（1）班有多少名同学吗？设九年级（1）班有x名同学，根据题意列出的方程是（）A．SKIPIF1<0=465 B．SKIPIF1<0=465 C．x（x﹣1）=465 D．x（x+1）=4655．肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，依题意可列方程（）A．1+x＝225 B．1+x2＝225C．（1+x）2＝225 D．1+（1+x2）＝2256．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是SKIPIF1<0，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（）A．100×80﹣100x﹣80x=7644B．（100﹣x）（80﹣x）+x2=7644C．（100﹣x）（80﹣x）=7644D．100x+80x=3568．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人形通道，设人行道的宽度为xm，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题组B能力提升练1．某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有()A．9人 B．10人 C．11人 D．12人3．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为米．4．如图，某农家拟用已有的长为8m的墙或墙的一部分为一边，其它三边用篱笆围成一个面积为12m2的矩形园子．设园子中平行于墙面的篱笆长为ym（其中y≥4），另两边的篱笆长分别为xm．（1）求y关于x的函数表达式，并求x的取值范围．（2）若仅用现有的11m长的篱笆，且恰好用完，请你帮助设计围制方案．5．如图，要建一个面积为150平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙平行的一边，要开一扇3米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库与墙垂直的一边应长多少米？6．如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB,BC边足够长,点P从点B开始沿BA边向点A以1厘米/秒的速度移动,同时,点Q也从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动,几秒后,△BPQ的面积为36平方厘米?7．“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有121人受到感染，（1）问每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？题组C培优拔尖练1．一块长为SKIPIF1<0，宽为SKIPIF1<0的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为SKIPIF1<0）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．（1）设通道的宽度为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______________________；（用含SKIPIF1<0的代数式表示）；（2）若塑胶运动场地总的占地面积为SKIPIF1<0，请问通道的宽度为多少？2．（2016内蒙古包头市）一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的SKIPIF1<0，求横、竖彩条的宽度．3．如图，在矩形ABCD中，BC＝20