(横版)二次函数的几何变换和解析式的确定教案

二次函数的几何变换和解析式的确定

适用学科初中数学适用年级初中三年级

适用区域新人教版课时时长（分钟）60

二次函数的平移

二次函数的翻折

知识点二次函数图像的旋转

二次函数解析式的确定

二次函数的三种形式的互化

1、会根据几何变换前后二次函数图像的特征量，求函数解析式。

教学目标2、能灵活的根据图像变化恰当的选取适当的方法求解析式，体会二次函数的图像变化与解析式变化之

间的关系；

3、会用多种方法求函数解析式

函数解析式的确定；

教学重点

求二次函数图像经过几何变换后的解析式

教学难点选择适当的方式求二次函数的解析式

教学过程

一、复习预习

我们逐步地学习了二次函数的特殊形式和一般形式的解析式以及图像和性质：

1.二次函数基本形式：yax2（b、c为0时）的性质：

2.yax2c的性质：上加下减。

3.yaxh2的性质：左加右减。

4.yaxh2k的性质：

二次函数yax2bxc

今天学习二次函数图像的变换以及解析式的确定

二、知识讲解

考点1二次函数图象的平移变换

（1）具体步骤：

先利用配方法把二次函数化成ya(xh)2k的形式，确定其顶点(h,k)，然后做出二次函数yax2的图像，

将抛物线yax2平移，使其顶点平移到(h,k).具体平移方法如图所示：

（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”；“上加下减”。

考点2二次函数图象的对称变换

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1.关于x轴对称

yax2bx关于cx轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxh2k关于x轴对称后，得到的解析式是yaxh2k；

2.关于y轴对称

yax2bx关于cy轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxh2k关于y轴对称后，得到的解析式是yaxh2k；

3.关于原点对称

yax2bx关于原点对称后，得到的解析式是cyax2bxc；

yaxh2关于原点对称后，得到的解析式是kyaxh2k；

4.关于顶点对称

b2

yax2bx关于顶点对称后，得到的解析式是cyax2bxc；

2a

yaxh2k关于顶点对称后，得到的解析式是yaxh2k．

5.关于点m，n对称

yaxh2k关于点m，n对称后，得到的解析式是yaxh2m22nk

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称

抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛

物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

考点3二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，

选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

三、例题精析

【例题1】

【题干】抛物线y=﹣2x2经过平移到y=﹣2x2﹣4x﹣5，平移方法是（）

A．向左平移1个单位，再向上平移3各单位

B．向左平移1个单位，再向下平移3个单位

C．向右平移1个单位，再向上平移3个单位

D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位

【答案】B

【解析】试题分析：把y=﹣2x2﹣4x﹣5转化为顶点式形式并写出顶点坐标，然后根据顶点的变化确定出平移方法是

解题的关键．

∵y=﹣2x2﹣4x﹣5=﹣2（x+1）2﹣3，

∴y=﹣2x2﹣4x﹣5的顶点坐标为（﹣1，﹣3），

∴抛物线y=﹣2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到y=﹣2x2﹣4x﹣5．

故选B．

考点:二次函数图象与几何变换.

【例题2】

【题干】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所

围成的阴影部分的面积为（）

A．2B．4C．8D．16

【答案】B

【解析】试题分析：如图，过点C作CA⊥y，

∵抛物线y=x2−2x=（x2-4x）=（x2-4x+4）-2=（x-2）2-2，

∴顶点坐标为C（2，-2），

对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2=4，

考点：二次函数图象与几何变换．

【例题3】

【题干】如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，其中A•点坐标为（－1，0），点C

（0，5），点D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点．求

（1）抛物线的解析式；

（2）求△MCB的面积．

【答案】（1）y=-x2+4x+5．（2）15．

【解析】试题分析：（1）由A、C、D三点在抛物线上，根据待定系数可求出抛物线解析式；

（2）把BC边上的高和边长求出来，就可以得出面积．

（1）∵A（-1，0），C（0，5），D（1，8）三点在抛物线y=ax2+bx+c上，

则有0=a-b+c5=c8=a+b+c

解方程得a=-1，b=4，c=5所以抛物线解析式为y=-x2+4x+5．

（2）∵y=-x2+4x+5

=-（x-5）（x+1）

=-（x-2）2+9

∴M（2，9），B（5，0）

即BC=．

由B、C两点坐标得直线BC的解析式为：l：x+y-5=0，

则点M到直线BC的距离为d=，

则S△MCB=×BC×d=15．

考点：1．二次函数综合题；2．二次函数图象与系数的关系；3．待定系数法求二次函数解析式

【例题4】

【题干】如图，抛物线y=x2通过平移得到抛物线m，抛物线m经过点B（6，0）和O（0，0），它的顶点为A，

以O为圆心，OA为半径作圆，在第四象限内与抛物线y=x2交于点C，连接AC，则图中阴影部分的面积为

【答案】﹣12．

【解析】试题分析：先求出抛物线m的解析式，得到顶点A的坐标，求出OA的长度，根据抛物线的对称性，可知

阴影部分的面积=半圆的面积﹣△AOC的面积．

试题解析：∵抛物线m经过点B（6，0）和O（0，0），

∴抛物线m的对称轴为直线x=3，

∵抛物线y=x2通过平移得到抛物线m，

∴设抛物线m的解析式为y=（x﹣3）2+k，

将O（0，0）代入，得（0﹣3）2+k=0，

解得k=4，

∴抛物线m的解析式为y=（x﹣3）2+4，顶点A的坐标为（3，4），

由勾股定理，得OA=5．

连接OA、OC，由圆的对称性或垂径定理，可知C的坐标为（3，﹣4），

阴影部分的面积=半圆的面积﹣△AOC的面积=•π•52﹣×8×3=﹣12．

考点:二次函数图象与几何变换．

四、课堂运用

【基础】

1、在平面直角坐标系中，将抛物线y=3x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（）

A．y=3（x+1）2+2B．y=3（x+1）2﹣2

C．y=3（x﹣1）2+2D．y=3（x﹣1）2﹣2

【答案】C

【解析】试题分析：∵抛物线y=3x2的对称轴为直线x=0，顶点坐标为（0，0），

∴抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，2），

∴平移后抛物线的解析式为y=3（x﹣1）2+2．

故选C．

考点：二次函数图象的变换

2、将函数变形为的形式，正确的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C.

【解析】试题分析：；

故选C.

考点:二次函数的三种形式.

3、.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-x-6向上（下）或向左（右）平移m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原

点，则|m|的最小值（）

A．1B．2C．3D．6

【答案】B.

【解析】试题分析：当x=0时，y=-6，故函数图象与y轴交于点C（0，-6），

当y=0时，x2-x-6=0，即（x+2）（x-3）=0，

解得x=-2或x=3，

即A（-2，0），B（3，0）；

由图可知，函数图象至少向右平移2个单位恰好过原点，

故|m|的最小值为2．

故选B

考点:二次函数图象与几何变换．

【巩固】

1、已知二次函数的图象经过点A（2，－3），B（－1，0）．

（1）求二次函数的解析式；

（2）观察函数图象，要使该二次函数的图象与轴只有一个交点，应把图象沿轴向上平移几个单位？

【答案】(1)y=x2-2x-3；(2)4.

【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入二次函数解析式求出a、b的值，即可得解；

（2）先求出原二次函数图象的顶点点坐标，然后根据向上平移横坐标不变，纵坐标加解答．

试题解析：（1）∵二次函数y=ax2+bx-3的图象经过点A（2，-3），B（-1，0），

∴，

解得，

故二次函数解析式为y=x2-2x-3；

（2）∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4

∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）

故要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点，应把图象沿y轴向上平移4个单位.

考点:1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数图象与几何变换.

2、若二次函数配方后为，则.

【答案】.

【解析】试题分析：∵，

∴

考点：配方法

3、抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式是．

【答案】.

【解析】试题分析：∵抛物线的开口向上，顶点坐标为（0，），

∴根据关于x轴对称的性质，抛物线关于x轴对称的抛物线开口向下，顶点坐标为（0，1），

∴抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式是.

考点：1.二次函数的性质；2.关于x轴对称的点的坐标特征

【拔高】

1、如图，已知抛物线与x轴分别交于O、A两点，它的对称轴为直线x=a，将抛物线向上平移4个

单位长度得到抛物线，则图中两条抛物线、对称轴与y轴所围成的图形（图中阴影部分）的面积为

A．4B．6C．8D．16

【答案】C.

【解析】试题分析：先求出l的顶点坐标，再根据平移的性质求出l的顶点坐标，C的坐标，求出平行四边形OFEC

12

的面积即可．

在抛物线l：y=x2-2x中，

1

l的顶点F的坐标为（2，-4），

1

由于抛物线l向上平移4个单位长度得到抛物线l，

12

故E点坐标为（2，0），

C点坐标为（0，4）．

故平行四边形OFEC的面积为4×2=8．

故选C.

考点:二次函数图象与几何变换．

2、在平面直角坐标系中，抛物线经过点（0，），（3，4）．

（1）求抛物线的表达式及对称轴；

（2）设点关于原点的对称点为，点是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在，之间的部分为图象（包含，

两点）．若直线与图象有公共点，结合函数图像，求点纵坐标的取值范围．

【答案】(1)抛物线的表达式为，对称轴(2)t的取值范围是

【解析】试题分析：（1）将所给的点的坐标代入就可求得解析式，利用对称轴公式就可以

（2）先确定点C的坐标，当D点为抛物线的顶点时，此时t最小，当D为BC与对称轴的交点时，此时的t最大

试题解析：(1)∵经过点A（0，-2），B（3，4）．

代入得：

∴抛物线的表达式为

对称轴

(2)由题意可知C（-3，-4）

二次函数的最小值为-4

由图象可以看出D点纵坐标最小值即为-4，最大值即BC与对称轴交点

直线BC的解析式为

当X=1时，

所以t的取值范围是

考点：1、二次函数；2、中心对称；3、数形结合

3、已知关于x一元二次方程有两个不相等的实数根

（1）求k取值范围；

（2）当k最小的整数时，求抛物线的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；

（3）将（2）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你

画出这个新图象，并求出新图象与直线有三个不同公共点时m值．

【答案】（1）k＞-1；（2）（1，-4）；（-1，0），（3，0）；（3）画图见解析，1或．

【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可知根的判别式△

＞0，即可求出k的取值范围.

（2）根据k的取值范围可得当k=0时，为k最小的整数，进而可求出顶点坐标以及它与x轴的交点坐标.

（3）由（2）画出此函数图象后，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：

①直线经过原二次函数与x轴的交点A（即左边的交点），可将A点坐标代入直线的解析式中，即可求出m的值；

②原二次函数图象x轴以下部分翻折后，所得部分图象仍是二次函数，该二次函