第一章 12 充分条件与必要条件

nn第一章常用逻辑用语§1.2充分条件与必要条件【学习目标】1.理解充分条件、必要条件与充要条件的概念2掌握判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的方法.问题导学知识点一充分条件与必要条件思考用恰当的语言表述下列语句的意义一个人如果骄傲自满，那么就必然落后；只有同心协力，才能把事情办好.答案①如果不骄傲自满，那就可能不落后，也可能落后，骄傲自满是落后的充分条件.同心协力是办好事情的必要条件.梳理（1）一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说,由p可推出q，记作p=q，并且说P是q的充分条件,q是P的必要条件.⑵若p=q,但qV*p,称Q是Q的充分而不必要条件,若q=p,但p*q,称p是q的必要而不充分条件.知识点二充要条件思考在ZiABC中，角A、B、C为它的三个内角，则“A、B、C成等差数列”是“B=60。”的什么条件？答案因为A、B、C成等差数列，故2B=A+C,又因A+B+C=ti,故B=60°,反之，亦成立，故“A、B、C成等差数列”是“B=60。”的充分必要条件.梳理（1）一般地，如果既有p=q,又有q=p，就记作p=q，此时，我们说，P是q的充分必要条件,简称充要条件.（2）充要条件的实质是原命题“若p,则q”和其逆命题“若q,则p”均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p=q，那么p与q互为充要条件.知识点三充分条件、必要条件和充要条件的联系与区别充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要是用来区分命题的条件p和结论q之间的关系.从逻辑关系上看.若p=q，但q»p，则p是q的充分不必要条件；若q=p，但pFq，则p是q的必要不充分条件；若p=q，且q=p，则p是q的充分必要条件，简称充要条件：若pFq，旦q涉p,则p是q的既不充分也不必要条件.从集合与集合之间的关系上看.如果p，q分别以集合A、集合B的形式出现，那么p,q之间的关系可以借助集合知识来判断.若AQB,则p是q的充分条件；若A湛B,则p是q的必要条件；若A=B,则p是q的充要条件；若AZB,且BZA,则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件，即p是q的既不充分也不必要条件.从传递性角度看.由于逻辑联结符号“=”“仁” 具有传递性，因此可根据几个条件之间的关系，经过若干次的传递，判断所给的两个条件之间的关系.从等价命题角度看.当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系时，可利用原命题与其逆否命题的等价性来判断，即等价转化为判断其逆否命题是否成立.题型探究..•四边形的对角统相等K四边形是矩形；四边形是矩形n四边形的对角统相等，•.•p是q的必要不充分条件・Vx=l°fcx=2=>x-1 ；x.1二yjx-l=>x=1sfcx=2,.\p是q的充要条件・若方程x2-x-m=0无实根，则J=1+4nK0,1-4-n11一1-4-1-4-n11一1-4--m<即・.・p是q的充分不必要条件.由ab/O,即a尹0且bAO,此时直统ax+by+c=0与两坐标轴都相交；又当ax+by+c=0与两坐标轴都相交时，a#=0且b^O,即ab尹0，故p是q的充要条件.反思与感悟对于两个命题：p与q.若有“p=q,但qTp”，则称p是q成立的充分不必要条件.若有“q=p,但p^q”，则称p是q成立的必要不充分条件.若有“p=q,且q=p”，则称p是q成立的充要条件.若有“pV>q,且qf”，则称p是q成立的既不充分也不必要条件.跟踪训练1设a,b是实数，则“a>b”是ua2>b2w的()充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案D解析可采用特殊值法进行判断，令a=1,b二-1,满足a>b，但不满足a2>b2条件"a>b”不能推出结论“a'b?”；再令a=-1,b二0,满足a2>b2,但不满足a>b,即结论“a'b?”不能推出条件“a>b”.故选D.类型二递推法判断命题间的关系例2己知p,q都是1•的必要条件，s是1•的充分条件，q是s的充分条件，那么：s是q的什么条件？r是q的什么条件？p是q的什么条件？

解方法一(l)Vq是s的充分条件，.••q=s.Vq是r的必要条件，."nq.•「s是1•的充分条件，As=>r,As=>r=>q.即s是q的充要条件.⑵由r=q,q=>s=>r，知r是q的充要条件・⑶七是r的必要条件，・"=p,/.q=>r=>p.•.•p是q的必要不充分条件・方法二如图所示・由图可知q=s,s=r=q,所以s是q的充要条件.因为r=q,q=s=r,所以r是q的充要条件・因为q=s=r=p,而p>q,所以p是q的必要不充分条件.反思与感悟解决传递性问题的关键是画出结构图，也可以考虑命题之间的关系.跟踪训练2如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么()丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件丙是甲的充要条件丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件答案a (2)—®解析如图所示，..•甲是乙的必要条件，...乙=甲.又I.丙是乙的充分条|1道)件，但不是乙的必要条件，..•丙=乙，但乙3丙.综上，有丙=乙=甲，甲”丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.类型三充要条件的证明例3求证：一元二次方程ax2+bx+c=O(a,b,c是常数旦a^O)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.证明必要性：由于方程ax2+bx+c=O(a^O)有一正实根和一负实根，° cAJ=b2-4ac>0,且xjx2=-<0,aAac<0.充分性：由ac<0可推出J=b2-4ac>0及x®,a:.方程ax2+bx+c=0(aAO)有一正一负两实根.因此一元二次方程ax2+bx+c=OCa^O)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.反思与感悟根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明,首先分清哪个是条件，哪个是结论然后确定推出方向，即充分性是证明“条件”=“结论”，必要性是证明“结论”=“条件”.跟踪训练3己知abAO,求证：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab—a2—b2=0.证明必要性：Va+b=l,EPa+b-1=0,Aa3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2+b2-ab)=(a+b-l)(a2-ab+b2)=0.充分性：Va3+b3+ab-a2-b2=0,A(a+b-l)(a2-ab+b2)=O,又Vab^O,.'.a尹0且b尹0,:.a2+b2-ab=(a-^)2+|b2>0,.'•a+b-1=0./•a+b=1.综上可知，当ab尹0时，a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.类型四利用充分条件、必要条件求参数的取值范围例4己知p：X2—8x—20>0,q：x2—2x+1—a^O.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围.解设p对应的集合为A,q对应的集合为B.解不等式x2-8x-20>0,得A={渤>10或x<-2).解不等式x2-2x+1-a2>0，得B={x]x>l+a或x<l-a,a>0).依题意知p=>q,q^*p,a>0,说明AB.于是有〈1+aWlO,(说明："1+aWlO”与“1-aN-2”中等号不能同时取、1-aN-2,到)解得OvaW3.・.・正实数a的取值范围是0VaW3.反思与感悟充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.要注意区间端点值的检验.x—]跟踪训练4己知p：11——厂|W2,q：x2—2x+1—m20(m>0),且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.X-1 X-1解由题意知p：|1-二一|W2=-2£刀一・1W2=x-1-lW-y-W3=-2WxW10.q：x2・2x+1-m’WOn[x-(l-m)]-[x-(l+m)]^O.(*)•.・p是q的充分不必要条件，X-]...不等式|1-—|^2的解集是x2-2x+l-m2^0(m>0)的解集的真子集・Vin>0,不等式(*)的解集为{x|l-mWxWl+m},且1・m=・2与1+m=10不同时成立・1-mW・2， fm^3,「•I .•.mN9.1+mN10 lmN9.实数m的取值范围是[9,+8).当堂训练

人们常说“无功不受禄”，这句话表明“受禄”是“有功”的()A,充分条件 B.必要条件C,充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A解析无功不受禄可写为命题：若无功，则不受禄・逆否命题为：若受禄，则有功・显然受禄是有功的充分不必要条件，因为有功不一定受禄.2.设命题p：X2—3X+2V0,q：七WO,则p是q的(XL2.B.必要不充分条件DB.必要不充分条件D・既不充分也不必要条件C.充要条件答案A解析命题p:l<x<2；命题q:1WxV2，故p是q的充分不必要条件.<<x2-4x-5=0w是“x=5”的()A,充分不必要条件 B.必要不充分条件C,充要条件 D.既不充分也不必要条件答案B解析根据方程得x2-4x-5=0,解得x=・1或x=5,故*・4乂・5=0”是“x=5”的必要不充分条件，故选B.记不等式妒+x—6<0的解集为集合A,函数y=lg(x—a)的定义域为集合B.若“x€A”是“xEB”的充分条件，则实数a的取值范围为.答案(一8,-3]解析由于A=(x|x2+x-6<0)=(x|-3<x<2),B=(x|y=lg(x-a)}={x|x>a),而“xWA”是“xEB”的充分条件，则有AB,则有aW・3.试说明0vm<?是方程mx?—2x+3=0有两个同号且不等实根的什么条件.解(1)若方程11次・2乂+3=0有两个同号且不等的实根，则〈m尹0,3->0,Im反之，若0<mv?,TOC\o"1-5"\h\z2 3则M>0,—>0,-4<-12m<0,0<4-12m<4,2 3即J>0,且二X),—>0.mm因此0Vm<?是方程mx?-2x+3二0有两个同号且不等实根的充要条件.( 规律与方法.. )充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法：定义法：分清条件p和结论q,然后判断“p=q”及“q=p”的真假，根据定义下结论.等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题.集合法：写出集合A={x|p(x)}及集合B={x|q(x)},利用集合之间的包含关系加以判断.40分钟课时作业 强化训练拓展提升解析由直线与圆相切得-^==1,即a2+b2=c2;a2+b2=c2时也有〒同一二1成立，W+b? -^ya2+b2即直统与圆相切.设x,y是两个实数，命题“x,y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是()A.x+y=2 B.x+y>2C.必+寸>2 D.xy>l答案B解析若xWl且yWl时，可得x+yW2,反之不成立(用特殊值即可判定)；故xWl且yWl是x+yW2的充分不必要条件，那么根据逆否命题的等价性可得x+y>2是“当x、y中至少有一个数大于1”的充分不必要条件.己知a,"表示两个不同的平面,m为平面a内的一条直线，则“a_LyT是“皿侦”的()A,充分不必要条件 B.必要不充分条件C,充要条件 D.既不充分也不必要条件答案B解析由平面与平面垂直的判定定理知，如果m为平面a内的一条直统，m_L,，则alfi,反过来则不一定，以“a_L.”是“m_L/T的必要不充分条件.设aGR,则"a=—2”是“直线h：ax+2y—l=0与直线h：x+(a+l)y+4=0平行”的()A,充分不必要条件 B.必要不充分条件C,充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案A解析若a=-2,则直统h:-2x+2y-1=0与直统b:x-y+4=0平行，若“直统h：ax+2y-1=0与直线12：x+(a+l)y+4=0平行”,= ,解得a=-2或a=1,“a1a+1=-2”是“直统h:ax+2y-1=0与直统1?:x+(a+l)y+4二0平行”的充分不必要条件.“OWmWl”是“函数Rx)=sinx+m—1有零点"的( )A,充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A解析函数f(x)=sinx+m-1有零点=方程sinx=1・m有根=・1W1-mWl=0WmW2,所以“OWmWl”是“函数Rx)=smx+m・l有零点”的充分不必要条件.二、 填空题若函数f(x)=2x-(lr-3)-2-x,则k=2是函数Rx)为奇函数的条件.(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析当k二2时，照0=2匚(订-3)2-x=2x-2-x,此时函数Rx)为奇函数；反之，当函数lx)为奇函数时，有Rx)+R-x)=2*-&-3)2-*+2-*-(k2-3)2X=(4-©(2、-2-x)=0,则有k2=4,即k=±2；故k=2是函数Rx)为奇函数的充分不必要条件.“sina=cosa”是“cos2a=0”的条件.答案充分不必要解析由cos2a=cos2a-sin、知，当sma=cosa时，有cos2a=0,反之，由cos、=siira不一定有sina=cosa,从而“sing=cosa”是“cos2a=0”的充分不必要条件.故选A.给出下冽三个命题：“a>b”是“3苛”的充分不必要条件;％>或”是“cosaVcos/T的必要不充分条件；“a=0”是“函数Rx^x'+aHxER)为奇函数”的充要条件.其中正确命题的序号为.答案③解析①•.•函数y=3x是R上的增函数，..・“a>b”是"3a>3b"的充分必要条件，故①错误；②片>0，则cos0②片>0，则cos0；Vcos^<cos2015ti..・"肾是“cosavcos#'的既不充分也不必要条件，故②错误；③“a=0”是“函数Rx)=x3+ax2(XER)为奇函数”的充要条件.正确.三、 解答题己知条件p：A=(x|2a^x^a24-1},条件q：B={x|¥—3(a+l)x+2(3a+l)W0},若p是q的充分条件，求实数a的取值范围.解化简B={x|(x-2)[x-(3a+l)]W0},当a>|时，B={x|2WxW3a+l}；当av?时,B=(x|3a+1WxW2}.因为p是q的充分条件，a毛， a<-,所以AUB,于是有〈a?+1W3a+1, 或<a?+1W2,解得1WaW3或a=-1.、2a》2, 〔2a33a+1,综上，a的取值范围是{a|lWaW3或a=-1).己知函数Rx) 3—(x+2)(2—x)的定义域为A,g(x)=lg[(x—a—l)(2a—x)](a<l)的定义域为B.⑴求A：(2)记p：x€A,q：xEB,若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范序|.解⑴要使Rx)有意义，则3・(x+2)(2・x)本0,化简整理得(x+l)(x-1)30,解得xW-1或x》l,「•A={xjxW-1或x》l}.⑵要使g(x)有意义，则(x-a-l)(2a-x)>0,即(x-a-l)(x-2a)<0,又Va<l,Z.a+l>2a,:.B=(x|2a<x<a+1}.•.・p是q的必要不充分条件，ABA,A2a>1或a+1W-1,解得?Wavi或aW-2.・.・a的取值范围为(-8,-2]U[|,1).设a,b,c是的三个内角A,B,C所对的边.求证：a2=b(b+c)的充要条件是A=2B.证明充分性：VA=2B,AA-B=B，贝Usin(A-B)=siiiB，贝UsinAcosB-cosAsmB=sinB,a2+c2-b2b2+c2-a2 ,结合正弦、余弦定理得a・一/一-b・一瓦一=b,化简整理得a~=b(b+c)；必要性：由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,且a2=b(b+c),得b2+bc=b2+c2-2bccosA,csinC.