小波分析第1-2章课件

小波分析

WaveletAnalysis

第1章绪论一、课程的目的和任务二、小波分析的特点三、小波的应用领域四、小波分析的最新发展动态五、参考书一、课程的目的和任务掌握现代信号处理技术中的小波分析方法这一重要工具，适用于几乎所有专业。1.小波分析的基本概念（框架、Riesz基、正交、双正交小波、小波包、多小波及相互关系）。2．相互关系（小波分析与傅氏分析、多分辨分析与小波分析的关系、尺度函数）3.信号的小波分解和重构（基本方法,根据实际需要选择小波或小波滤波器）。4.典型小波及性质、计算（紧支撑正交小波、光滑紧支撑正交小波、Daubechies小波、对称性和正则性、消失矩，尺度函数与小波函数的数值计算方法）。二、小波分析的特点

1.什么是小波？2.小波最突出的特点

时频局部化和能量集中性。

三、小波应用领域数学其他分支中的应用（微分方程、积分方程、函数逼近、分形、混沌等）一维信号处理（检测、噪声消除、特征提取（语音识别）、语音数据压缩、声纳信号处理、雷达信号处理）多维信号处理（图象融合、噪声消除、特征提取、指纹识别、模式识别、数字水印、图象数据压缩—JPEG2000）通信(CDMA、自适应均衡括频通信、信道波形形成）生物医学、生物遗传（特征提取）四、小波分析的最新发展动态

1.第二代小波(提升小波与整数小波变换)2.二维超小波（方向小波、脊波变换、曲波变换）3.小波与其它手段的结合(人工神经网络、分形与混沌、主元素分析法（PCA）、独立分量分析法（ICA）、盲信号处理）——小波从自身用作滤波器进行信号处理发展到作为信号预处理方法来使用（应用范围扩展到几乎所有信号处理领域）11.(法)StéphaneMallat著，杨力华，戴道清，黄文良译，《信号处理的小波导引》

机械工业出版社，2003.6

12.StéphaneMallat著《AWaveletTourofSignalProcessing,SecondEdition

》(英文版),机械工业出版社，2003.9

13.

C.SidneyBurrus,RameshA.GopinathandHaitaoGuo,IntroductiontoWaveletsandWaveletTransforms:APrimer,机械工业出版社，2005.4

14.

[美]AlbertBoggess,FrancisJ.Narcowich,《AFirstCourseinWaveletswithFourierAnalysis》,电子工业出版社，2002.8

15.

张旭东，卢国栋，冯健编著《图像编码基础和小波压缩技术——原理、算法和标准》，清华大学出版社，2004.3

16.

胡昌华，张军波，夏军，张伟编著《基于MATLAB的系统分析与设计——小波分析》，西安电子科技大学出版社，1999.12

17.

楼顺天，李博菡编著《基于MATLAB的系统分析与设计——信号处理》，西安电子科技大学出版社，1998.9

21．张兆礼等《现代图像处理技术及Matlab实现》人民邮电出版社，2001.11

22.飞思科技产品研发中心编著《小波分析理论与MATLAB7实现》，电子工业出版社,2005.923.程正兴，杨守志，冯晓霞著《小波分析的理论算法进展和应用》，国防工业出版社，2007年24.闫敬文，屈小波著《超小波分析及应用》，国防工业出版社，2008.6一、距离空间二、赋范线性空间三、Hilbert空间四、投影与逼近五、傅立叶级数与傅立叶变换第2章数值泛函概要（2）连续函数空间C[a,b]距离：（最大绝对误差）（3）平方可积函数空间（能量有限）

距离：（平均误差）

（注意与前面一个距离定义的区别，谁更严格？）（4）平方可和离散序列空间

距离：（能量有限）

同一个集合,可以引入不同的距离（例如既连续又平方可积函数空间）3、收敛概念注意：1.不一定能推出序列的极限存在，即不一定有：2.叠代法中判别收敛的准则（实欧氏空间），其实质为两者的远序列数比较接近收敛点列：

（xxnn=¥®lim）（与极限点的距离越来越近）

R为距离空间，nx为R中点列，RxÎ，若¥®n时，数列

0),(®xxdn(xn与X的距离，

则称点列nx按距离0),(®xxn,d收敛于

x，记为：xxnn=¥®lim

或

xxn®，

¥®n；称nx为收敛点列，称

x为

nx的极限。

（注意这里的点与高等数学中的点的区别）

3.在实欧氏空间中，收敛点列与Cauchy点列相当。（说明它是完备空间）4.在一般距离空间中，收敛点列必为Cauchy点列，而Cauchy点列不一定是收敛点列。例如有理数点列：1,1.4,1.41,1.414,1.4142,…在有理数空间中，是Cauchy点列而不是收敛点列，因它在有理数空间中无极限。(极限为是无理数）5.线性空间（＝向量空间=元素＋代数运算）定义：数域K上的向量空间X是在其上定义了元素（向量）的两个代数运算的非空集合：（1）向量加法：中的映射（x,y)x+y且满足：

1）交换律x+y=y+x2）结合律(x+y)+z=x+(y+z)3）X中存在零向量x+θ=x4）存在逆元素使x+(-x)=θ（2）数乘：

1)结合律且仍在X中2)分配律3)回忆距离空间＝元素＋距离特点：1）线性空间=元素＋代数运算2）代数运算满足线性性质二、赋范线性空间1、定义

E为实（或复）线性空间,若对每个元素x∈E,都有一个非负实数‖x‖与之对应,对于x,y∈E,a∈K,有:(1)‖x‖＝0,当且仅当x＝0(2)‖ax‖＝｜a｜‖x‖(3)‖x＋y‖≤‖x‖＋‖y‖则称‖x‖是x的范数,称E为赋范线性空间。

注意：K为数域（实数域或者复数域）范数的物理意义：向量的长度2.线性赋范空间相关问题

由范数导出距离

d(x.y)＝‖x－y‖这时线性赋范空间也是距离空间。－－定义了范数的线性空间按范数收敛

线性赋范空间X中的序列收敛是指即按范数‖·‖收敛。距离空间不必是赋范空间——距离可不由范数引入。但赋范空间可以成为距离空间3、Banach空间（完备的赋范线性空间）

若赋范线性空间按距离

d(x.y)＝‖x－y‖是完备的，则称它为Banach空间。线性算子的例子积分算子注：小波变换也是积分算子微分算子

矩阵算子

空间上的每个线性算子，都能用矩阵来定义，这时T=A

几何意义：缩放＋旋转＋剪切（shear)Y=Ax注意：仿射线性变换不是线性算子Y=Ax+b,为什么？（多了一个平移）几种线性算子线性时不变算子

设T:X→Y

是线性算子，记

若，则称T为线性时不变算子

(回忆线性时不变系统）。有界算子

X,Y是线性赋范空间，线性算子T:X→Y称为是有界的，若存在实数k≥0使||Tf||≤k||f||，对每个X中的f成立，称k为算子T的界。

注意：算子的泛数有界表示：（注意f是指什么？）

连续算子算子T称为连续的,若任给ε＞0,存在δ使||u-v||≤δ，u,v属于X,能推出||Tu－Tv||≤ε。内积

设X为K(实或复)上的线性空间。在X上定义了内积是指，对于X中每一对元素f,g，都对应K中一个确定的数，记为<f,g>满足:

(1)对称性

表示a的复共轭。

(2)线性

(3)正性

，且当且仅当三、Hilbert空间Hilbert空间的例子例1空间是Hilbert空间，其内积定义为：

例2空间是Hilbert空间，其内积定义为：

两向量正交：

若，记为：。

内积空间性质Schwarz不等式平行四边形等式勾股定理若x与y正交，则规范正交基完全规范正交序列

在内积空间X中的一个规范正交序列称为是完全的，若对每个，有规范正交基

在内积空间X中的一个规范正交组S称为是规范正交基，若对每个X中的元素x都有唯一表示

其中是S中不同元素。内积空间X中的一个完全规范正交序列是X中的一个规范正交基。（反之不一定成立，注意双正交情况）规范正交