第1章 11 111 空间向量及其线性运算

第一章空间向量与立体儿何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算学习目标核心素养理解空间向量的概念.(难点)掌握空间向量的线性运算.(重点)掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用.(重点、难点)通过空间向量有关概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养.借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核心素养.情景导学D探新知.侦迓蕉亟感新令搪境引入・助学助教国庆期间，某游客从上海世博园(0)游览结束后乘车到外滩0)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(8)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？DA A图1 图2如果游客还要登上东方明珠顶端(Q)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？匚^新知初探_J空间向量定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量.长度或模：空间向量的大小.表示方法：几何表示法：空间向量用有向线段表示；字母表示法：用字母a，b,c,…表示；若向量a的起点是A,终点是8,也可记作："，其模记为ai或i届i.几类常见的空间向量名称方向模记法零向量任意00单位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：一a届的相反向量：BA相等向量相同相等a=b3.空间向量的线性运算⑴向量的加法、减法空间向量的运算加法一一.一.一OB=OA+OC=a+b0 a减法一一一 一CA=OA-OC=a~b加法运算律交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(2)空间向量的数乘运算定义：实数X与空间向量a的乘积&仍然是一个回量，称为向量的数乘运算.当X>0时，Xa与向量a方向相同;当X<0时，Xa与向量a方向相反;当X=0时，Xa=0；Xa的长度是a的长度的囚倍.运算律结合律：Xfaa)=〃(Xa)=(泌)a.分配律：(X+〃)a=Xa+以a，X(a+/)=Xa+泌.思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？［提示］没有关系.共线向量定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a,都有0〃a.共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(时0)，a〃b的充要条件是存在实数X使a=Xb.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点尸，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数X，使得OP=Xa.共面向量定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量.共面向量定理：若两个向量a,b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯的有序实数对(x，y)，使p=xa+yb.(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使AP=xAB±yAC或对空间任意一点。，有OP=OA+xAB+yAC.思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗?(2)若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,满足OP=3OA+：OB+3OC,则点P与点A,B,C是否共面?［提示］(1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量.,一1一.1一.1一一一1一一.1一一(2)由OP=3OA+3OB+3OC得OP-OA=3(OB—OA)+3(OC—OA)一~>1-^,1->一即AP=3AB+§AC,因此点P与点A,B,C共面.I初试身手曰思考辨析(正确的打“寸'，错误的打“X”)TOC\o"1-5"\h\z空间向量a，b，c，若a〃b，b〃c，则a〃c. ( )相等向量一定是共线向量. ()三个空间向量一定是共面向量. ()零向量没有方向. ()［提示］(1)x若b=0时，a与c不一定平行.寸相等向量一定共线，但共线不一定相等.x空间两个向量一定是共面向量，但三个空间向量可能是共面的，也可以是不共面的.x零向量有方向，它的方向是任意的.2.如图所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1所有的棱中，可作为直线A1B1的方向向量的有(A.1个B.2个C.3个D.4个D[共四条AB,A1B1,CD,C1D1.]3•点C在线段AB上，且IABI=5，IBCI=3,aB=XBC，则X=,

5 -,-> 5一§［因为C在线段AB上，所以AB与BC万向相反，又因IABI=5,IBCI=3,故入=一亍］一1一3一一....4.在三棱锥A-BCD中，若逐①是正三角形，E为其中心，贝iAB^^BC一2DE—AD化简的结果为.->.1-> -> 3-> .-> -> .-> -> 八->0[延长DE交边BC于点F,连接AF,则有AB^^BC=AF,,^DE+AD=AD^DF=AF,故AB^1--3-- --2bC_2dE_aD=0.]欧性坐鱼合作探究$春疑赃熟"邛成迭型1迭型1【例1】(1)给出下列命题:①若IaI=IAI，则a=b或a=—b；②若向量a是向量b的相反向量，则IaI=IbI；③在正方体ABCD-A1B1C1D1中，Ac=A-C1；④若空间向量m，n，p满足m=n，n=p，则Vm=p.其中正确命题的序号是.琪 C琪 C1⑵如图所示，在平行六面体ABCD-ABCD中，顶点连接的向量中，与向量A-'相等的向量有；与向量"，相反的向量有..；与向量"，相反的向量有..(要求写出所有适合条件的向量)⑴②③④一⑴②③④一一一一一一一(2)BB'，CC，DD'BA'，BA，CD，CD'［(1)对于①，向量a与b的方向不一定相同或相反，故①错;对于②，根据相反向量的定义知IaI=IbI，故②正确;对于③对于③，根据相等向量的定义知，Ac=a-C1，故③正确;对于④，根据相等向量的定义知正确.(2)根据相等向量的定义知，与向量AA'相等的向量有晶，CCf,DD.与向量ACBb相反的向量有JTAa,一一一BA,CD,CD'.］ 规法……・* *解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向.(2)注意点：注意一些特殊向量的特性.零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性.单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等，方向相反,则它们为相反向量.［跟进训练］下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是()长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；平行且模相等的两个向量是相等向量；若&坊，则a护|bi；两个向量相等，则它们的起点与终点相同.A.0 B.1 C.2 D.3B［根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a=~b时，也有lal=lbl,③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，④不正确.综上可知只有①正确，故选B.］史$型2空间向量的线性运算【例2】(1)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量^］的有()①(Ab+bc)+cc1；-.->.->(AA1+A1D1)+D1C1；->,->.->(AB+BB1)+B1C1；函]+"])+疝.A.1个B.2个C.3个D.4个(2)已知正四棱锥P-ABCD,O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中尤，y,z的值.①O)Q=pQ+ypC+zPA；②P4=xPO+yPQ+PD.［思路探究］(1)合理根据向量的三角形和平行四边形法则，以及在平行六面体中，体对角线向量等于从同一起点出发的三条棱向量的和.^uAC]=AB+AD+AA].(2)根据数乘向量及三角形或平行四边形法则求解.D[对于①，(AB+Bq+Cc1=Ac+CC1=Ac1；一.一.一一.一一又对于②(AA-kAD)+DC=AD-kDC=AC-于,(^A^A1A1^^1) ^D1C1A^^】 ^D】C】-^a^^],-，->，-七 -，-七r对于③，(AB+BB1)+B1C1=AB1+B1C1=AC1;一.一.一一.一一q士午〃Tl(AA-J-A口R厂—4D_LD—同厂】对于④，(AA]+A]B1)+B]C1—AB]+B]C]—AC】.]—-—-—-—-1—>—-[解]①如图，OQ=PQ—PO=PQ—2(PA+PC)TOC\o"1-5"\h\z・ 1・・y=z=_2.②・「O为AC的中点，Q为CD的中点，-.-- ---.-- --:.FA+PC=2PO,PC+PD=2PQ,—- —-—-—- —-—-・PA=2PO—PC,PC=2PQ—PD,—- —- —>.—-・・・P4=2PO—2PQ+PD,/.x=2,y=—2.f i…规律t方法 1.空间向量加法、减法运算的两个技巧巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.利用数乘运算进行向量表示的技巧数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.［跟进训练］2.已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,设M,G分别是BC,CD的中点，则MG-AB+AD等于()3-> -> -> ->A.^DB B.3MGC.3GMD.2MG—-—>.—-—-—-—-—-—-B[MG-AB+AD=MG~(AB~AD}=MG~DB--.---.-- --=MG+BD=MG+2MG=3MG.]上娄型3_ 共线问题【例3】(1)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知AB=e1^ke2,BC=5e1+4e2，DiC=—e1—2e2，且A,B,D三点共线，实数k=.⑵如图所示，已知四边形ABCD,ABEF都是平行四边形且不共面，M,N分别是AC,BF的中点，判断CE与MN是否共线.［思路探究］(1)根据向量共线的充要条件求解.(2)根据数乘向量及三角形法则，把舫力表示成aCE的形式，再根据向量共线的充要条件求解.—-—-.—-.—-⑴1[aD=aB+bC+cD=(e1+ke2)+(5e1+4e2)+(e1+2e2)=7e1+(k+6)e2.i^AD=XAB，则7e1+(k+6)e2=A(e1+ke2),

所以X=7M=所以X=7M=k+6，解得k=1.］(2)［解］法一：因为M,N分别是AC,BF的中点，且四边形ABCQ,四边形ABEF都是平行四-^ -> .-> . -> 1-> . -> . 1->边形，所以MN=MA+AF+FN=2CA+AF+2FB.以上两式才目加得CE以上两式才目加得CE=2MN,…-…->一-,->所以CE//MN,即CE与MN共线.法二：因为四边形ABEF为平行四边形，所以连接AE时，AE必过点N.一一一一一・.・CE=AE-AC=2AN-2AM—>—> —>=2(AN-AM)=2MN.所以CE//MN,即CE与MN共线.厂 规律<方法 证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P,A,B可通过证明下列结论来证明三点共线.(1)存在实数兀使PA=iPB成立.(2)对空间任一点(2)对空间任一点O,有OP=OA+ABQER).(3)对空间任一点O,~>(3)对空间任一点O,~> - ->有OP=xOA+yOB(x+y=1).［跟进训练］3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且荐=2以］,F在对角线A1C上，且硅=23Fc.求证：E，F，B三点共线.［证明］设AB=a,AD=b,AA1=c,—> —>—>2->因为A1E=2ED1,A1F=^FC,

TOC\o"1-5"\h\z2^^± 2-^所以A1E=3A1D1,A1F^5A1C,..->2->2.所以A1E^3AD=i3b,一一2 4 2 2F—A一一2 4 2 2F—AiE=5a—15b—5c=5A1F=5(AC-AA1)=5(AB+AD-AA1)=萼+5b-§c，所以EF=A1a-T^b-cj.~>-,->,-^ 2_ , 2_又EB=EAi+A^A+AB=-3b-c+a=a-3b-c,.--2--.所以EF=$EB，所以E,F,B三点共线.七类型4/ 向量共面问题［探究问题］什么样的向量算是共面向量？［提示］能够平移到同一个平面内的向量称为共面向量.能说明P,A,B,C四点共面的结论有哪些？—- —> —-［提示］(1)存在有序实数对3,y),使得人尸=以8+仍6(2)空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数组3,y,z)使得Op=xdA+ydB+zdC(其中x+y+z=1).(3)四点中任意两点的方向向量与另外两点的方向向量共线，如PA〃BC.已知向量a,b,c不共面，且p=3a+2b+c,m=a-b+c,n=a+b-c，试判断p,m,n是否共面.［提示］设p=xm+yn，即3a+2b+c=x(a-b+c)+y(a+b-c)=(x+y)a+(-x+y)b+(x-y)c.(.一x+y=3,因为a,b,c不共面，所以'-x+y=2,lx-y=1,而此方程组无解，所以p不能用m,n表示，即p,m,n不共面.【例4】已知A,B,C三点不共线，O为平面ABC外一点，若点M满足dM^^dA^^dB^^dC.⑴判断MA,MB,屁三个向量是否共面;(2)判断M是否在平面ABC内.

［思路探究］(1)根据向量共面的充要条件，即判断是否M-A=xA-B^yM-J；(2)根据(1)的结论，也可以利用O-M=x(-k^yO-B+z(-C中x+y+z是否等于1.--.--.-- --［解］(1).「OA+OB+OC=3OM,—-—- —-—>.—-—-AOA-OM=(OM-OB)+(OM-OC),—-—>.—- —-—-・MA=BM+CM=-MB-MC,..・向量MA,MB,反共面.-- -- --,一(2)由(1)知向量MA,MB,心。共面，而它们有共同的起点M,且A,B,C三点不共线，AM,A,B,C共面，即M在平面ABC内.母题探究］1.［变条件］若把本例中条件“OM=3dA+1OB+3OC”改为iidA^2OB=6OP-3OC',点P是否与点A、B、C共面.TOC\o"1-5"\h\z—> —>—.—> —>—>—.—> —>［解］V3OP-3OC=OA+2OB-3OP=(OA-OP)+(2OB-2OP),->-.->一-> -> ->.・.3CP=P4+2PB，即PA=-2PB-3PC.根据共面向量定理的推论知：点P与点A,B,C共面.2.［变条件］若把本例条件变成“(JP+dC=4OA-OB^,点P是否与点A、B、C共面.---> ->--［解］^OP=OA+xAB+yAC(x,y^R)，则一.一.一.一一一OA+xAB+yAC+OC=4OA-OB,一.一一.一一.一一一・.・OA+x(OB-OA)+y(OC-OA)+OC=4OA-OB,-• .-• . ---?.(1-x-y-4)OA+(1+x)OB+(1+y)OC=0,-- -- --由题意知OA,OB,-OC均为非零向量，所以x,y满足:显然此方程组无解，故点P与点A,B,C不共面.1-x-y-4=0,1+x=0显然此方程组无解，故点P与点A,B,C不共面.［变解法］上面两个母题探究，还可以用什么方法判断?—-1—-.1—-.1［解］(1)由题意知，op=&oa+3Ob+2OC.,「6+3+2=1,・点p与点A、B、C共面.—> —>—>—>(2)^OP=4OA-OB~OC，而4-1-1=2#1,..•点P与点A、B、C不共面.…♦规律《方法解决向量共面的策略1若已知点P在平面ABC内，则有AP=xAB^yAC或OP=xOA+yOB+zOCx+y+z=1,然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.2证明三个向量共面或四点共面，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.课堂小结》提素弄整直茸一埋□7必备素养1.一些特殊向量的特性零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的.单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量.2.OP=OA+xAB+yAC称为空间平面ABC的向量表达式.由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.证明(或判断)A，B，C三点共线时，只需证明存在实数X，使AB=XBC(或aB=XAC)即可，也可用“对空间任意一点O，有OC『OA+(1—t)OB”来证明A，B，C三点共线.空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使MP=xMA+yMB，满足这个关系式的点都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点都满足这个关系式.这个充要条件常用于证明四点共面.5.直线的方向向量是指与直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无穷多个，它们的方向相同或相反.向量p与向量a，共面的充要条件是在a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立.匚学以致用二1.下列条件中使M与A，B，C一定共面的是()

一一一一A.OM=2OA-OB-OC~>1~>.1->,1->