【必考题】高一数学上期中试题含答案

【必考题】高一数学上期中试题含答案一、选择题1．已知集合，则满足条件的集合的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3．设,若,则（）A．2 B．4 C．6 D．84．设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是（）A． B． C． D．5．已知，，，则（）A． B． C． D．6．设集合，则A． B． C． D．7．已知函数，则函数的最小值是A． B． C． D．8．设x、y、z为正数，且，则A．2x<3y<5z B．5z<2x<3yC．3y<5z<2x D．3y<2x<5z9．设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f（f（x）-ex）=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln1.5）的值等于（）A． B． C． D．10．函数的大致图像是（）A． B．C． D．11．函数则函数的零点个数是（）A． B． C． D．12．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题13．函数的单调递减区间是______．14．若函数满足，则的解析式是_________.15．设函数①若，则的最小值为；②若恰有2个零点，则实数的取值范围是．16．2017年国庆期间，一个小朋友买了一个体积为的彩色大气球，放在自己房间内，由于气球密封不好，经过天后气球体积变为.若经过25天后，气球体积变为原来的,则至少经过__________天后，气球体积小于原来的.(，结果保留整数）17．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有人.18．非空有限数集满足：若，则必有．请写出一个满足条件的二元数集S＝________．19．已知实数，函数若，则的值为___________．20．已知定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的集合为.三、解答题21．计算下列各式的值：（）．（）．22．已知函数是奇函数．（1）求实数的值；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.23．已知定义域为R的函数是奇函数．求实数a的值；判断函数在R上的单调性，并利用函数单调性的定义加以证明．24．已知函数，（其中为常数且）的图象经过点（1）求的解析式（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.25．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为（）件.当时，年销售总收人为（）万元；当时，年销售总收人为万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为万元.(年利润=年销售总收入一年总投资)(1)求(万元)与(件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?最大年利润是多少?26．已知定义域为的函数是奇函数.(1)求的值；(2)判断函数的单调性并证明；(2)若关于的不等式在有解，求实数的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】【详解】求解一元二次方程，得，易知.因为，所以根据子集的定义，集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合的子集个数，即有个，故选D.【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.2．C解析：C【解析】【分析】由以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对讨论求解即可.【详解】由可得，当时，由可知无实数解，故舍去；当时，在上恒成立，所以，解得.故选：C【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.3．C解析：C【解析】由时是增函数可知,若,则,所以,由得,解得,则,故选C.【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．4．B解析：B【解析】【分析】由题意，函数在上单调递减，又由函数是定义上的偶函数，得到函数在单调递增，把不等式转化为，即可求解.【详解】易知函数在上单调递减，又函数是定义在上的偶函数，所以函数在上单调递增，则由，得，即，即在上恒成立，则，解得，即的最大值为.【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用，其中解答中利用函数的基本性质，把不等式转化为求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.5．A解析：A【解析】由，所以，所以，故选A.6．A解析：A【解析】由题意，故选A.点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．7．B解析：B【解析】【分析】利用对数的运算法则将函数化为，利用配方法可得结果.【详解】化简，即的最小值为，故选B.【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及二次函数配方法求最值，属于中档题.求函数最值常见方法有，①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图象法.8．D解析：D【解析】令，则，，∴，则，，则，故选D.点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.9．D解析：D【解析】【分析】利用换元法将函数转化为f（t）=e+1，根据函数的对应关系求出t的值，即可求出函数f（x）的表达式，即可得到结论【详解】设t=f（x）-ex，则f（x）=ex+t，则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=et+t=e+1，∵函数f（x）为单调递增函数，∴t=1，∴f（x）=ex+1，即f（ln5）=eln1.5+1=1.5+1=2.5，故选：D．【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．10．B解析：B【解析】由的解析式知仅有两个零点与，而A中有三个零点，所以排除A，又，由知函数有两个极值点，排除C，D，故选B．11．A解析：A【解析】【分析】通过对式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数．【详解】函数的零点即方程和的根，函数的图象如图所示：由图可得方程和共有个根，即函数有个零点,故选：A.【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．12．C解析：C【解析】【分析】由函数单调性的定义，若函数在上单调递减，可以得到函数在每一个子区间上都是单调递减的，且当时，，求解即可．【详解】若函数在上单调递减，则，解得.故选C.【点睛】本题考查分段函数的单调性．严格根据定义解答，本题保证随的增大而减小，故解答本题的关键是的最小值大于等于的最大值．二、填空题13．【解析】设（）因为是增函数要求原函数的递减区间只需求（）的递减区间由二次函数知故填解析：【解析】设，，（）因为是增函数，要求原函数的递减区间，只需求（）的递减区间，由二次函数知，故填．14．【解析】【分析】设带入化简得到得到答案【详解】设代入得到故的解析式是故答案为：【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式属于常用方法需要学生熟练掌握解析：【解析】【分析】设，带入化简得到得到答案.【详解】，设代入得到故的解析式是故答案为：【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式，属于常用方法，需要学生熟练掌握.15．(1)-1(2)或【解析】【分析】【详解】①时函数在上为增函数且函数在为减函数在为增函数当时取得最小值为-1；（2）①若函数在时与轴有一个交点则则函数与轴有一个交点所以；②若函数与轴有无交点则函数与解析：(1)-1，(2)或.【解析】【分析】【详解】①时，，函数在上为增函数且，函数在为减函数，在为增函数，当时，取得最小值为-1；（2）①若函数在时与轴有一个交点，则，，则，函数与轴有一个交点，所以；②若函数与轴有无交点，则函数与轴有两个交点，当时与轴有无交点，在与轴有无交点，不合题意；当当时与轴有无交点，与轴有两个交点，和，由于，两交点横坐标均满足；综上所述的取值范围或.考点：本题考点为函数的有关性质，涉及函数图象、函数的最值，函数的零点、分类讨论思想解题.利用函数图象研究函数的单调性，求出函数的最值，涉计参数问题，针对参数进行分类讨论.16．68【解析】由题意得经过天后气球体积变为经过25天后气球体积变为原来的即则设天后体积变为原来的即即则两式相除可得即所以天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题考查了指数运算的综合应用求解本题的关键是解析：68【解析】由题意得，经过天后气球体积变为，经过25天后，气球体积变为原来的，即，则，设天后体积变为原来的，即，即，则两式相除可得，即，所以天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题，考查了指数运算的综合应用，求解本题的关键是先待定的值，建立方程，在比较已知条件，得出关于的方程，求解的值，本题解法比较巧妙，充分考虑了题设条件的特征，对观察判断能力要求较高，解题时根据题设条件选择恰当的方法可以降低运算量，试题有一定的难度，属于中档试题.17．【解析】【分析】【详解】试题分析：两种都买的有人所以两种家电至少买一种有人所以两种都没买的有人或根据条件画出韦恩图：(人)考点：元素与集合的关系解析：【解析】【分析】【详解】试题分析：两种都买的有人，所以两种家电至少买一种有人.所以两种都没买的有人.或根据条件画出韦恩图：(人).考点：元素与集合的关系.18．{01}或{－11}【解析】【分析】因中有两个元素故可利用中的元素对乘法封闭求出这两个元素【详解】设根据题意有所以必有两个相等元素若则故又或所以（舎）或或此时若则此时故此时若则此时故此时综上或填或【解析：{0,1}或{－1,1}，【解析】【分析】因中有两个元素，故可利用中的元素对乘法封闭求出这两个元素．【详解】设，根据题意有，所以必有两个相等元素．若，则，故，又或，所以（舎）或或，此时．若，则，此时，故，此时．若，则，此时，故，此时．综上，或，填或．【点睛】集合中元素除了确定性、互异性、无序性外，还有若干运算的封闭性，比如整数集，对加法、减法和乘法运算封闭，但对除法运算不封闭（两个整数的商不一定是整数），又如有理数集，对加法、减法、乘法和除法运算封闭，但对开方运算不封闭．一般地，若知道集合对某种运算封闭，我们可利用该运算探究集合中的若干元素．19．【解析】【分析】分两种情况讨论分别利用分段函数的解析式求解方程从而可得结果【详解】因为所以当时解得：舍去；当时解得符合题意故答案为【点睛】本题主要考查分段函数的解析式属于中档题对于分段函数解析式的考解析：【解析】【分析】分，两种情况讨论，分别利用分段函数的解析式求解方程，从而可得结果.【详解】因为所以，当时，，解得：舍去；当时，，解得，符合题意，故答案为.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.20．【解析】试题分析：当时由于定义在上的奇函数则；因为时则若时令若时令因则的零点集合为考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2函数的零点；3分段函数分段处理原则；解析：【解析】试题分析：当时，，由于定义在上的奇函数，则；因为时，，则若时，令若时，令，因，则，的零点集合为考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2.函数的零点；3.分段函数分段处理原则；三、解答题21．（1）；（2）3.【解析】【分析】(1)利用指数的运算法则化简求值.(2)利用对数的运算法则化简求值.【详解】（）原式（或写成）．（）原式．【点睛】本题主要考查指数对数的运算法则，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.22．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设，可得，求出的表达式，利用奇函数的定义可得出函数在时的解析式，由此可求出实数的值；（2）作出函数的图象，可得出函数的单调递增区间为，于是可得出，进而得出关于实数的不等式组，解出即可.【详解】（1）为奇函数，当时，，则，则，；（2）由（1）可得，作出函数如下图所示：由图象可知，函数的单调递增区间为，由题意可得，则，解得.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查奇函数解析式的求解，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查运算求解能力，属于中等题.23．（1）1；（2）减函数，证明见解析【解析】【分析】（1）奇函数在处有定义时，，由此确定出的值，注意检验是否为奇函数；（2）先判断函数单调性，然后根据函数单调性的定义法完成单调性证明即可.【详解】根据题意，函数是定义域为R奇函数，则，解可得，当时，，为奇函数，符合题意；故；由的结论，，在R上为减函数；证明：设，则，又由，则，，，则，则函数在R上为减函数．【点睛】本题考查函数奇偶性单调性的综合应用，难度一般.(1)定义法证明函数单调性的步骤：假设、作差、变形、判号、下结论；(2)当奇函数在处有定义时，一定有.24．（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由题意得，即可求解的解析式；（2）设，根据在上为减函数，得到，再由在上恒成立，得，即可求解实数的取值范围.试题解析：（1）由题意得（2）设，则在上为减函数当时在上恒成立，即的取值范围为：点睛：本题主要考查了函数解析式的求解和不等式的恒成立问题的应用，解答中涉及到函数满足条件的实数的取值范围的求法，