3-1 三角函数的定义（精练）（基础版）（解析版）

3.1三角函数的定义（精练）（基础版）题组一题组一扇形的弧长与面积1．（2022·全国·高三专题练习）将手表的分针拨快分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】将手表的分针拨快分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是.故选：D.2．（2021·安徽黄山市）若一扇形的圆心角为144°，半径为cm，则扇形的面积为______cm2．【答案】．【解析】扇形的圆心角为144°，半径为，所以扇形的面积为．故答案为：．3．（2022·全国·高三专题练习）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为的圆面中剪下扇形，使剪下扇形后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为，再从扇形中剪下扇环形制作扇面，使扇环形的面积与扇形的面积比值为.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】记扇形的圆心角为，扇形的面积为，扇环形的面积为，圆的面积为，由题意可得，，，，所以，因为剪下扇形后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为，所以，则，所以.故选：D.4．（2022·广东·一模）为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B两点之间的直线距离.如下图，先将自行车前轮置于点A，前轮上与点A接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB直线前进（车身始终保持与地面垂直），直到前轮与点B接触.经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C与地面接触了10次，当前轮与点B接触时，标记点C在前轮的左上方（以下图为观察视角），且到地面的垂直高度为0.45m.已知前轮的半径为0.3m，则A，B两点之间的距离约为（

）（参考数值：）A．20.10m B．19.94m C．19.63m D．19.47m【答案】D【解析】由题意，前轮转动了圈，所以A，B两点之间的距离约为，故选：D.5．（2022·浙江绍兴·模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》方田篇记载“宛田面积术曰：以径乘周，四而一”（注：宛田，扇形形状的田地：径，扇形所在圆的直径；周，扇形的弧长），即古人计算扇形面积的公式为：扇形面．现有一宛田的面积为，周为，则径是__________．【答案】【解析】根据题意，因为扇形面，且宛田的面积为，周为，所以，解得径是：.故答案为：.6．（2022·安徽·高三阶段练习（文））折扇最早出现于公元五世纪的中国南北朝时代，《南齐书》上说：“褚渊以腰扇障日．”，据《通鉴注》上的解释，“腰扇”即折扇．一般情况下，折扇可以看作从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的弧长为l，扇形所在的圆的半径为r，当l与r的比值约为2.4时，折扇看上去的形状比较美观.若一把折扇所在扇形的半径为30cm，在保证美观的前提下，此折扇所在扇形的面积是_______．【答案】1080【解析】依题意，，所以，所以；故答案为：7．（2022·浙江绍兴·高三期末）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图是折扇的示意图，已知为的中点，，则此扇面（扇环）部分的面积是__________.【答案】【解析】由题意得此扇面（扇环）部分的面积是，故答案为：8．（2022·江苏·高三专题练习）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为_____________平方米.（其中，）【答案】16【解析】因为圆心角为，弦长为，所以圆心到弦的距离为20m，半径为40m，因此根据经验公式计算出弧田的面积为平方米，实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为平方米，因此两者之差为平方米.故答案为：16.9．（2022·全国·高三专题练习）若一个扇形的周长是4为定值，则当该扇形面积最大时，其圆心角的弧度数是__.【答案】2【解析】解：设扇形的圆心角弧度数为，半径为，则，，当且仅当，解得时，扇形面积最大.此时.故答案为：2.题组二题组二三角函数的定义1．（2022·山东·滕州市第一中学新校高三开学考试）已知角的终边上一点P的坐标为，则角的最小正值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以角的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知，故角的最小正值为．故选：D．2．（2022·江西·高三）设是第二象限角，P（－4，y）为其终边上的一点，且，则等于（

）A．－ B．－ C． D．【答案】A【解析】因为，所以，解得，又是第二象限角，所以，所以．故选：A．3．（2022·北京密云·高三期末）如图所示，角的终边与单位圆在第一象限交于点．且点的横坐标为，若角的终边与角的终边关于轴对称，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】显然，，的终边与角的终边关于轴对称，故，，所以，所以C正确故选：C4．（2022·山西临汾·一模（文））已知角的终边过点，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，点的坐标为，则.故选：C.5．（2022·全国·高三专题练习）若角的终边上一点的坐标为，则(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】∵角的终边上一点的坐标为，它与原点的距离，∴，故选：C.6．（2022·全国·高三专题练习）已知角的终边经过点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，可得，根据三角函数的定义，可得且，解得.故选：A7．（2022·全国·高三专题练习）设，角的终边与圆的交点为，那么（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】画图，角的终边与圆的交点为，设，则，，代入得，解得，∵，∴，∴，又∵在单位圆中，，，∴，，∴，故选：D8．（2022·山东潍坊·高三期末）如图，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边为x轴正半轴，点P是角α终边上的一点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得：,故，则，故选：C9．（2022·山西临汾·一模（理））已知角的终边过点，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】.故选：D10．（2022·四川绵阳·二模（文））已知角的终边过点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因角的终边过点，则，因此，，，所以.故选：A11（2022·重庆八中高三阶段练习）已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】,,即，则，故选：D.12．（2022·全国·高三专题练习（文））若点是角的终边上的一点(与原点不重合)，那么的值等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由三角函数的定义知tan240°＝，即＝，于是.故选：B13．（2022·全国·高三专题练习）已知点在角的终边上，且，则角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以是第二象限角，且，又，所以故选：B14．（2022·山东日照·一模）已知角的终边经过点，则角可以为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】角的终边经过点，是第四象限角，且，，则．故选：D题组三题组三象限的判断1．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（文））若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题设知：为一、三象限角，∴且k为整数，显然A、B错误；而且k为整数，易知：恒成立，而不一定成立，故C错误，D正确.故选：D.2．（2022·上海·高三专题练习）已知点在第三象限，则角在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】解：∵点在第三象限，∴，∴在第四象限.故选：D.3．（2022·浙江·高三专题练习）“角是第一或第三象限角”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】角是第一象限角时，，则；若角是第三象限角，，则.故“角是第一或第三象限角”是“”的充分条件.若，即或，所以角是第一或第三象限角.故“角是第一或第三象限角”是“”的必要条件.综上，“角是第一或第三象限角”是“”的充要条件.故选:C.4．（2022·浙江·高三专题练习）若，则所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】∵，∴，∴点在第二象限．故选：B．5．（2022·浙江·高三专题练习）已知，，，则角的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，故为第四象限角，故，故选：D.6．（2022·全国·高三专题练习（理））设，若是角的终边上一点，则下列各式恒为负值的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题知，，，，.其中为点到原点的距离.，因为，所以的取值可正可负可为0，故的取值可正可负可为0.故选项A错误；，因为，，所以恒成立.故选项B正确；因为，当时，有.又时，，.故选项C错误；因为，，所以.故选项D错误.故选：B.7．（2022·浙江·高三专题练习）如果且，则所在的象限是（

）A．第一象限角 B．第二象限C．第三象限角 D．第四象限【答案】C【解析】由，可知所在第三或第四象限或者轴非正半轴上由，可知所在第二或第三象限或者轴非正半轴上所以在第三象限故选：C8．（2022·新疆高三）已知，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，则，所以，的终边在第一、第四象限内或在轴的正半轴上，所以，，、的符号不确定.故选：D.题组四题组四三角函数线1．（2022·全国·高三专题练习）如果，那么下列不等式成立的是A． B．C． D．【答案】C【解析】如图所示，在单位圆中分别作出的正弦线、余弦线、正切线，很容易地观察出，即.故选C.2．（2021·海伦市）已知点在第三象限，则的取值范围是（）．A． B．C． D．【答案】D【解析】在第三象限，，，，，．故选：D.3．（2021·湖南）函数y＝lg(2sinx－