人教版新课标高中数学必修4-全册教案

高中数学必修4教案

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1.1．1任意角

教学目标

（一）知识与技能目标

理解任意角的概念(包括正角、负角、零角)与区间角的概念.

（二）过程与能力目标

会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角

的集合的书写．

（三）情感与态度目标

1．提高学生的推理能力；2．培养学生应用意识．

教学重点

任意角概念的理解；区间角的集合的书写．

教学难点

终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写．

教学过程

一、引入：

1．回顾角的定义

①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.

②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所

形成的图形．

二、新课：

1．角的有关概念：

①角的定义：

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．

②角的名称：

始边

B

终边

③角的分类：

O

A

顶点

正角：按逆时针方向旋转形成的角

零角：射线没有任何旋转形成的角

负角：按顺时针方向旋转形成的角

④注意：

⑴在不引起混淆的情况下，“角α”或“∠α”可以简化成“α”；

⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α=0°；

⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．

⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度?

2．象限角的概念：

①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除

外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．

例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？

y

y

B

1

45°

30°

x

x

o

60

O

O

B

2

B

3

⑵

⑴

例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角．

1

高中数学必修4教案

⑴60°；⑵120°；⑶240°；⑷300°；⑸420°；⑹480°；

答：分别为1、2、3、4、1、2象限角．

3．探究：教材P3面

终边相同的角的表示：

所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S＝{β|β=α+

k·360°，

k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和．

注意：

⑴k∈Z

⑵α是任一角；

⑶终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们

相差

360°的整数倍；

⑷角α+k·720°与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．

例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．

⑴－120°；⑵640°；⑶－950°12＇．

答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角；

例4．写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示)．

解:{α|α=90°+n·180°,n∈Z}．

yx

例5．写出终边在上的角的集合S,并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β

写出来．

4．课堂小结

①角的定义；

②角的分类：

正角：按逆时针方向旋转形成的角

零角：射线没有任何旋转形成的角

负角：按顺时针方向旋转形成的角

③象限角；

④终边相同的角的表示法．

5．课后作业：

①阅读教材P-P；②教材P练习第1-5题；③教材P.9习题1.1第1、2、3题

255

思考题：已知α角是第三象限角，则2α，各是第几象限角？

2

解：角属于第三象限，

k·360°+180°＜α＜k·360°+270°(k∈Z)

因此，2k·360°+360°＜2α＜2k·360°+540°(k∈Z)

即(2k+1)360°＜2α＜(2k+1)360°+180°(k∈Z)

故2α是第一、二象限或终边在y轴的非负半轴上的角．

又k·180°+90°＜＜k·180°+135°(k∈Z)．

2

＜n·360°+135°(n∈Z)，当k为偶数时，令k=2n(n∈Z)，则n·360°+90°＜

2

此时，属于第二象限角

2

当k为奇数时，令k=2n+1(n∈Z)，则n·360°+270°＜＜n·360°+315°(n∈Z)，

2

2

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此时，属于第四象限角

2

因此属于第二或第四象限角．

2

1.1.2弧度制（一）

教学目标

（四）知识与技能目标

理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应的关系；熟记特

殊角的弧度数．

（五）过程与能力目标

能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，

并能运用公式解决一些实际问题

（六）情感与态度目标

通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制

与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下

的简洁美．

教学重点

弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明．

教学难点

“角度制”与“弧度制”的区别与联系．

教学过程

一、复习角度制：

初中所学的角度制是怎样规定角的度量的?

1

规定把周角的作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制．

360

二、新课：

1．引入：

由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的,角度制的度量是60进制的,运用起来

不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是

如何定义呢？

2．定义

我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制

叫做弧度制．在弧度制下,1弧度记做1rad．在实际运算中，常常将rad单位省略．

3．思考：

（1）一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关

吗？

（2）引导学生完成P6的探究并归纳：

弧度制的性质：

2r

r

;2.

①半圆所对的圆心角为②整圆所对的圆心角为

r

r

③正角的弧度数是一个正数．④负角的弧度数是一个负数．

l.

⑤零角的弧度数是零．⑥角α的弧度数的绝对值|α|=

r

4．角度与弧度之间的转换：

①将角度化为弧度：

3

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n

10.01745radnrad

3602180

；；；．

180

180

②将弧度化为角度：

180n

180

¢

=盎?

)n=(

1rad()57.305718

2p=360p=180

；

．；；

p

p

5．常规写法：

①用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π的形式,不必写成小数．

②弧度与角度不能混用．

6．特殊角的弧度

角030456090120135150180270360

度°°°°°°°°°°°

2353

弧

2

0

度

462

4323

6

7．弧长公式

l

?lraa=

r

弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积．

例1．把67°30＇化成弧度．

3

rad

例2．把化成度．

5

例3．计算：

(1)sin

(2)tan1.5

；．

4

例4．将下列各角化成0到2π的角加上2kπ（k∈Z）的形式：

19

(1)

(2)315

；．

3

例5．将下列各角化成2kπ+α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．

31

19

(2)(1)

；．

3

6

l

R

197

2,解:(1)

36

O

719p

\

而是第三象限的角,是第三象限角.

3

6

31p5p31p

=-6p+,\--

(2)是第二象限角.

666

1

例6.利用弧度制证明扇形面积公式SlR,其中l是扇形弧长,R是圆的半径.

2

1

2

2

R

R

,又扇形弧长为l,半径为证法一:∵圆的面积为,∴圆心角为1rad的扇形面积为

2

R,

ll11

2

SRlR

rad,∴扇形面积．∴扇形的圆心角大小为

RR22

2

nR

S

证法二:设圆心角的度数为n，则在角度制下的扇形面积公式为，又此时弧长

360

4

高中数学必修4教案

nR1nR1

lRlRS

．，∴

18021802

可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要

简洁得多．

11

2

扇形面积公式:SlRR

22

7．课堂小结①什么叫1弧度角?②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系

与区别．

8．课后作业：

①阅读教材P–P；

68

②教材P练习第1、2、3、6题；

9

③教材P10面7、8题及B2、3题．

4-1.2.1任意角的三角函数（三）

教学目的：

知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；

3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。

能力目标：掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、

值域有更深的理解。德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；

教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。

教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。

教学过程：

一、复习引入：

1.三角函数的定义

2.诱导公式

sin(2k)sin(kZ)

cos(2k)cos(kZ)

tan(2k)tan(kZ)

的值是

o

tan600____________.

D练习1.

33

A.B.C.3D.3

33

.若sinθcosθ0,则θ在________

B练习2.

第一、二象限第一、三象限

A.B.

第一、四象限第二、四象限

C.D.

若cosθ0，且sin20则θ的终边在____

练习3.C

A.第一象限B.第三象限C.第四象限D.第二象限

二、讲解新课：

22

xy1

P(x,y)

当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值的

5

高中数学必修4教案

几何表示——三角函数线。

1．有向线段：

坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。

规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。

有向线段：带有方向的线段。

2．三角函数线的定义：

x

O

设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点

P

(x,y)

，

x

PM

A(1,0)

过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向

y

y

T

延

T

长线交与点.

P

P

A

A

o

x

o

M

x

M

T

yy

（Ⅱ）

（Ⅰ）

T

A

M

o

M

A

x

o

x

PT

P

（Ⅲ）

（Ⅳ）

由四个图看出：

OMx,MPy

当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有

yyxxyMPAT

sinyMPcosxOMtanAT

，，

r1r1xOMOA

MP,OM,AT

我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。

说明：

x

（1）三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线

xx

在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，

三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。

（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指

向垂

足；正切线由切点指向与的终边的交点。

yy

xx

（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反

向的

为负值。

（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。

4．例题分析：

例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。

5213

（1）；（2）；（3）；（4）．

6

336

6

高中数学必修4教案

解：图略。

若0，证明sincos1.

例2.

2

例3.比较大小：

2424

(1)sin与sin(2)cos与cos

3535

24

(3)tan与tan

35

1

例4.在[0，2]上满足sinx的x的取值范围是()

2

525

A.0,B.，C.，D.，

666636

例5.利用单位圆写出符合下列条件的角x的范围．

11

(1)sinx;(2)cosx.

22

711

2kx2k,kZ2kx2k,kZ

答案：（1）；（2）；

6666

三、巩固与练习：P17面练习

四、小结：本节课学习了以下内容：

1．三角函数线的定义；

2．会画任意角的三角函数线；

3．利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。

五、课后作业：作业4

参考资料

例1.利用三角函数线比较下列各组数的大小：

2424

sinsintantan

1与2与

3535解：如图可知：

2424

sinsin

tantan

3535

例2．利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角

1

3

1sin≥2tan

2

3

y

y解：12

30

T

PP

21

ox

ox

A

7

210

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30≤≤150

3090或210270

cos64,cos285

补充：1．利用余弦线比较的大小；

sincostan

2．若，则比较、、的大小；

42

3．分别根据下列条件，写出角的取值范围：

33

cossin

tan1（1）；（2）；（3）．

22

4-1.2.1任意角的三角函数（1）

教学目的：

知识目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；

2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；

3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。

能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；

（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；

（3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分

析、探究、解决问题的能力。德育目标：（1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与

比值（函数值）的一种联系方式；

（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；

教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各

象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重

点。

教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他

们的集合形式表示出来.

教学过程：

一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？

在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依

aba

sinA,cosA,tanA

次为．

ccb

角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。

二、讲解新课：

1．三角函数定义

P

(x,y)

在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点（除了原点）的坐标为，

2222

r(r|x||y|xy0)

它与原点的距离为，那么

8

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yy

sin

sin

叫做α的正弦，记作，即；（1）比值

rr

xx

coscos

（2）比值叫做α的余弦，记作，即；

r

r

yy

tan

tan

（3）比值叫做α的正切，记作，即；

xx

xx

cot

cot

（4）比值叫做α的余切，记作，即；

yy

x

说明：①α的始边与轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α

的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；

P(x,y)

②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点在α的终边上

的位置的改变而改变大小；

x

k(kZ)

y

③当时，α的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等

2

0

于，

y

x

tan

cot

k(kZ)

无意义；同理当时，无意义；所以

x

y

yxy

x

④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值、、、分别是一个确定的实

r

xr

y

数，

正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为

三角函数。

2．三角函数的定义域、值

函数定义域值域

域

ysin[1,1]

R

ycos

[1,1]

R

ytan

{|k,kZ}

R

2

注意：

(1)在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合

(2)α是任意角，射线OP是角α的终边，α的各三角函数值（或是否有意义）与ox转了

几圈，按什么方向旋转到OP的位置无关.

(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余五个符号也是这样.

(4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:

锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形

的性质，“r”同为正值.所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角

函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定

义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研

究过程.

(5)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角

坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们

熟悉的锐角三角函数类比记忆.

3．例题分析

例1．求下列各角的四个三角函数值：（通过本例总结特殊角的三角函数值）

9

高中数学必修4教案

3

0

（1）；（2）；（3）．

2

xr

y0

0

解：（1）因为当时，，，所以

sin00cos01tan00

cot0

，，，不存在。

xr

y0

（2）因为当时，，，所以

sin0cos1tan0

cot

，，，不存在，

3

x0

yr

（3）因为当时，，，所以

2

3333

sin1cos0tan0cot

，，，不存在，

2

222

P(2,3)

例2．已知角α的终边经过点，求α的四个函数值。

22

r2(3)13

x2,y3

解：因为，所以，于是

y3313x2213

cossin

；；

r13r13

1313

x2

y3

tan

cot

；．

x2

y3

(a,2a)(a0)

例3．已知角α的终边过点，求α的四个三角函数值。

(a,2a)(a0)xa,y2a

r5|a|

解：因为过点，所以，

y2a2a25

xa5a

cos

a0时，sin

当；

r5

r5

5a

5|a|5a

15

；

tan2;cot;sec5;csc

22

y2a2a25

a0时，sin

当；

r5

5|a|5a

xa5a

15

cos

tan2;cot;sec5;csc

；．

r5

22

5a

4．三角函数的符号

由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：

y

y0,r0y0,r0

对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；①正弦值

r

x

x0,r0x0,r0

②余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；

r

y

x,yx,y

③正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）．

x

说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。

练习：确定下列三角函数值的符号：

11

sin()tan

cos250

tan(672)

（1）；（2）；（3）；（4）．

43

sin0tan0

例4．求证：若且，则角是第三象限角，反之也成立。

5．诱导公式

由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。即有：

sin(2k)sin

，

kZ

cos(2k)cos

，其中．

10

高中数学必修4教案

tan(2k)tan

，

这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．

911

cos)tan(

例5．求下列三角函数的值：（1），，（2）

4

6

cosx

tanx

y

例6．求函数的值域

cosxtanx

解：定义域：cosx0∴x的终边不在x轴上又∵tanx0∴x的终边不在y轴上

x0,y0

∴当x是第Ⅰ象限角时，cosx=|cosx|tanx=|tanx|∴y=2

x0,y0„„„„Ⅱ„„„„,|cosx|=cosx|tanx|=tanx∴y=2

x0,y0

„„„„ⅢⅣ„„„,|cosx|=cosx|tanx|=tanx∴y=0

x0,y0

四、小结：本节课学习了以下内容：

1．任意角的三角函数的定义；2．三角函数的定义域、值域；3．三角函数的符号及诱

导公式。

五、巩固与练习

1、教材P15面练习；

2、作业P20面习题1．２A组第1、2、3（1）（2）（3）题及P21面第9题的（1）、（3）

题。

4-1.2.2同角三角函数的基本关系

教学目的：

知识目标：1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联

系；2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。

能力目标：牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分

析、解决三角的思维能力；

教学重点：同角三角函数的基本关系式

教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用

教学过程：

一、复习引入：

1．任意角的三角函数定义：

P(x,y)

设角是一个任意角，终边上任意一点，它与原点的距离为

yxy

2222

r(r|x||y|xy0)

sincostan

，那么：，，，

rrx

2．当角α分别在不同的象限时，sinα、cosα、tgα的符号分别是怎样的？

3

sinA

3．背景：如果，A为第一象限的角，如何求角A的其它三角函数值；

5

4．问题：由于α的三角函数都是由x、y、r表示的，则角α的三个三角函数之间有什么关

系？

二、讲解新课：

（一）同角三角函数的基本关系式：

11

高中数学必修4教案

（板书课题：同角的三角函数的基本关系）

1.由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：

sin

22

tan

sincon1

（1）商数关系：（2）平方关系：

con

说明：

22

sin4cos41

①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如等；

②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如

k

tancot1(,kZ)

；

2

③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：

sin

2

22

cos

cos1sin

sin1cos

等。，，

tan

2．例题分析：

一、求值问题

12

sin

cos,tan,cot

例1．（1）已知，并且是第二象限角，求．

13

4

cos

sin,tan

（2）已知，求．

5

125

22

sincos1

2222

cos1sin1()()

解：（1）∵，∴

1313

5

cos

cos0

又∵是第二象限角，∴，即有，从而

13

sin1215

tancot

cos5tan12

，

43

2222

22

sin1cos1()()

sincos1

（2）∵，∴，

55

4

0cos

，∴在第二或三象限角。又∵

5

3sin3

sin0

sintan

；当在第二象限时，即有，从而，

5cos4

3sin3

sintan

sin0

．当在第四象限时，即有，从而，

5cos4

总结：

1.已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值

中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解

的情况不止一种。

2.解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方

关系开平方时，漏掉了负的平方根。

tantan

sin,cos

例2．已知为非零实数，用表示．

sin

22

tan

sincos1

解：∵，，

cos

1

2

2222

cos

(costan)coscos(1tan)1

，∴，即有

2

1tan

tan

又∵为非零实数，∴为象限角。

12

高中数学必修4教案

2

11tan

cos0

cos

当在第一、四象限时，即有，从而，

22

1tan1tan

2

tan1tan

sintancos；

2

1tan

2

11tan

cos0

cos

当在第二、三象限时，即有，从而，

22

1tan1tan

2

tan1tan

sintancos．

2

1tan

sin4cos

sin2cos

例3、已知，求

22

⑵

2sin2sincoscos．

5sin2cos

sin2costan2

解：

sin4costan421

5sin2cos5tan2126强调（指出）技巧：1分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式

cos

注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，把分子、分母同除以,将分子、

tan

分母转化为的代数式；

2“化1法”

22

sincos1

可利用平方关系，将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关

tan

系化归为的分式求值；

小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：

（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；

（2）尽量使分母不含三角函数式；

（3）根式内的三角函数式尽量开出来；

（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常将式子中的“1”作巧

妙的变形，

二、化简

2

1sin440

练习1．化简．

22

1sin(36080)1sin80

2

cos80cos80

．解：原式

1cos1cos3

化简()

练习2．

1cos1cos2

三、证明恒等式

cosx1sinx

．例4．求证：

1sinxcosx

cosx0

1sinx0,1sinx0

证法一：由题义知，所以．

1sinx

cosx(1sinx)cosx(1sinx)

右边．∴左边=

2

cosx

(1sinx)(1sinx)cosx

∴原式成立．

cosx0

1sinx0,1sinx0

证法二：由题义知，所以．

22

(1sinx)(1sinx)1sinxcosxcosxcosx

又∵，

13

高中数学必修4教案

cosx1sinx

．∴

1sinxcosx

cosx0

1sinx0,1sinx0

证法三：由题义知，所以．

22

cosx1sinx

cosx1sinx

cosxcosx(1sinx)(1sinx)

0

，

1sinxcosx

(1sinx)cosx

(1sinx)cosx

cosx1sinx

∴．

1sinxcosx

总结：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常

用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边；

（2）证明左右两边同等于同一个式子；

（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。

四、小结：本节课学习了以下内容：

1．同角三角函数基本关系式及成立的条件；

2．根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；

五、课后作业：《习案》作业第五课时

参考资料

12sin40cos40

化简．

22

sin40cos402sin40cos40

解：原式

2

(sin40cos40)|cos40sin40|cos40sin40．

1

33

(0)sincos

tan及sincos的值。

，求思考1．已知

5

12

,0,得：cos0(,)sincos解：1由

252

497

2

,得：sincos(sincos)由联立：

255

14

sincossin

4

55

tan

73

3

sincoscos

55

4391

3333

sincos()()2

55125

42mm3

,cos,是第四象限角，sin

tan的值。求2、已知

m5m5

42mm3

22

)()1(

22解：∵sin+cos=1∴

m5m5

m(m8)0m0,m8

化简，整理得：

12

43

sin,cos，(与是第四象限角不合）

当m=0时，

55

12512

sin,cos，tan

当m=8时，

13135

14

高中数学必修4教案

1．3诱导公式（一）

教学目标

（一）知识与技能目标

⑴理解正弦、余弦的诱导公式．

⑵培养学生化归、转化的能力．

（二）过程与能力目标

（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五．

（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．

（三）情感与态度目标

通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的

探索精神等良好的个性品质．

教学重点

掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式．

教学难点

运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．

教学过程

一、复习：

诱导公式（一）

sin(360k)sincos(360k)costan(360k)tan

诱导公式（二）

sin(180)sincos(180)costan(180)tan

诱导公式（三）

sin()sincos()costan()tan

诱导公式（四）

tan(180)tansin(180)sincos(180)cos

对于五组诱导公式的理解：

公式中的可以是任意角；

①

②这四组诱导公式可以概括为：

,,的三角函数值，等于它的同名2k(kZ),,

三角函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。

总结为一句话：函数名不变，符号看象限

练习1：P27面作业1、2、3、4。

2：P25面的例2：化简

二、新课讲授：

sin()coscos()sin

1、诱导公式（五）

22

sin()coscos()sin

2、诱导公式（六）

22

总结为一句话：函数正变余，符号看象限

例1．将下列三角函数转化为锐角三角函数：

33117

(1)tan,(2)sin,(3)cos519,(4)sin().

5363

练习3：求下列函数值：

15

高中数学必修4教案

6531

,(2)sin(),(3)sin670,(4)tan580).(1)cos

64

3

)cossin(例2．证明：（1）

2

3

)sincos(（2）

2

11

sin(2)cos()cos()cos()

22

.

例3．化简：

9

cos()sin(3)sin()sin()

2

例4.已知tan()3,

2cos()3sin()

求：的值。

4cos()sin(2)

)3,tan3.tan(解：

2cos3sin23tan233

原式

7.

4cossin4tan43

小结：

①三角函数的简化过程图：

0000

任意负角的任意正角的0~360间角0~90间角

查表

公式一或三

公式一或二或四

三角函数的三角函数三角函数的三角函数

求值

②三角函数的简化过程口诀：

负化正，正化小，化到锐角就行了.

练习4：教材P28页7．

三．课堂小结

①熟记诱导公式五、六；

②公式一至四记忆口诀：函数名不变，正负看象限；

③运用诱导公式可以将任意角三角函数转化为锐角三角函数．

四．课后作业：

①阅读教材；

②《习案》作业七．

1．3诱导公式（二）

教学目标

（一）知识与技能目标

⑴理解正弦、余弦的诱导公式．

⑵培养学生化归、转化的能力．

（二）过程与能力目标

（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五．

（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．

（三）情感与态度目标

通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的

探索精神等良好的个性品质．

教学重点

16

高中数学必修4教案

掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式．

教学难点

运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．

教学过程

一、复习：

诱导公式（一）

sin(360k)sincos(360k)costan(360k)tan

诱导公式（二）

sin(180)sincos(180)costan(180)tan

诱导公式（三）

sin()sincos()costan()tan

诱导公式（四）

sin(－)=sincos(－)=－costan(－)=－tan

诱导公式(五)

sin()coscos()sin

22

诱导公式（六）

sin()coscos()sin

22

二、新课讲授：

练习1．将下列三角函数转化为锐角三角函数：

33117

(1)tan,(2)sin,(3)cos519,(4)sin().

5363

练习2：求下列函数值：

6531

,(2)sin(),(3)sin670,(4)tan580).(1)cos

64

3

)cossin(例1．证明：（1）

2

3

)sincos(（2）

2

11

sin(2)cos()cos()cos()

22

.

例2．化简：

9

cos()sin(3)sin()sin()

2

2cos()3sin()

例3.已知tan()3,求：的值。

4cos()sin(2)

)3,tan3.tan(解：

2cos3sin23tan233

原式

7.

4cossin4tan43

42sin()3tan(3)

已知sin(),且sincos0,求的值.

例4.

54cos(3)

小结：

①三角函数的简化过程图：

0000

任意负角的任意正角的0~360间角0~90间角

查表

公式一或三

公式一或二或四

三角函数三角函数的三角函数的三角函数

求值

17

高中数学必修4教案

②三角函数的简化过程口诀：

负化正，正化小，化到锐角就行了.

练习3：教材P28页7．

化简:

cos

2

(1)sin(2)cos(2);

5

sin

2

o

tan(360)

2

(2)cos().

sin()

17

2

已知sin,cos是关于x的方程xax0的两根，且3.

例5.

22

tan(6)sin(2)cos(6)

求的值.

cos(180)sin(900)

三．课堂小结

①熟记诱导公式五、六；

②公式一至四记忆口诀：函数名不变，正负看象限；

③运用诱导公式可以将任意角三角函数转化为锐角三角函数．

四．课后作业：

①阅读教材；

②《学案》P.16-P.17的双基训练.

1.4.1正弦、余弦函数的图象

教学目的：

ysinx,xR

知识目标：（1）利用单位圆中的三角函数线作出的图象，明确图象的

形状；

cosxsin(x)

ycosx,xR

（2）根据关系，作出的图象；

2

（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些

有关问题；

能力目标：（1）理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法；

（2）理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法；

德育目标：通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工

作精神；

教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象；

教学难点：作余弦函数的图象。

教学过程：

一、复习引入：

1．弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

18

高中数学必修4教案

2.正、余弦函数定义：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P

（x,y）

22

22

rxyxy0

P与原点的距离r()

P

y)

(x,

y

y

r

sin

则比值叫做的正弦记作：

rr

x

x

cos比值叫做的余弦记作：

r

r

3.正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂

线，垂足为M，则有

yx

sinMPcosOM

，

rr

向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．

二、讲解新课：

1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：

为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实

数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，

从而影响初学者对曲线形状的正确认识．

（1）函数y=sinx的图象

OO

第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与x轴

11

的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.

（预备：取自变量x值—弧度制下角与实数的对应）.

0,

第二步：在单位圆中画出对应于角，，,„，2π的正弦线正弦线（等价于“列

632

表”）.把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正

弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点”）.

第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x

∈[0，2π]的图象．

根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移

动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R的图象.

(xR)把角x的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正

弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象.

19

高中数学必修4教案

（2）余弦函数y=cosx的图象探究1：你能根据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函

数的图象？

cosxsin(x)

根据诱导公式,可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移单位即得

22

余弦函数y=cosx的图象.（课件第三页“平移曲线”）

y

y=sinx

1

o

-4

3

-6-3-

45

-2

-52

6

x

-1

y

y=cosx

1

-

-5-33

45

-42

-6x

-2

6

-1

正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．

思考：在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？

2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：

3

正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)(,1)(,0)(,-1)

22

(2,0)

3

余弦函数y=cosxx[0,2]的五个点关键是哪几个？(0,1)(,0)(,-1)(,0)

22

(2,1)

只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点

法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．

优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以

3、讲解范例：

例1作下列函数的简图

(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]，（2）y=-COSx

●探究2．如何利用y=sinx，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来

得到

（1）y＝1＋sinx,ｘ∈〔0，２π〕的图象；

（2）y=sin(x-π/3)的图象？

小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。

●探究３．

如何利用y=cosx，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y

＝-cosx，

ｘ∈〔0，２π〕的图象？

小结：这两个图像关于X轴对称。

●探究４．

如何利用y=cosx，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝2-cosx，

ｘ∈〔0，２π〕的图象？

小结：先作y=cosx图象关于x轴对称的图形，得到y＝-cosx的图象，

再将y＝-cosx的图象向上平移2个单位，得到y＝2-cosx的图象。

20

高中数学必修4教案

●探究５．

不用作图，你能判断函数y=sin(x-3π/2)和y=cosx的图象有何关系吗？请在同一坐标

系中画出它们的简图，以验证你的猜想。

小结：sin(x-3π/2)=sin[(x-3π/2)+2π]=sin(x+π/2)=cosx

这两个函数相等，图象重合。

例2分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x的集合：

1

15

(1)sinx;

(2)cosx,(0x).

2

22

三、巩固与练习

四、小结：本节课学习了以下内容：

1．正弦、余弦曲线几何画法和五点法

2．注意与诱导公式，三角函数线的知识的联系

五、课后作业：《习案》作业：八

1.4.2正弦、余弦函数的性质(一)

教学目的：

知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；

能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周

期。

德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，

体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

教学重点：正、余弦函数的周期性

教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用

教学过程：

一、复习引入：

1．问题：（1）今天是星期一，则过了七天是星期几？过了十四天呢？„„

（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？

2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：

33

自变量

202

x

22

22

函数值

00000

11

11

sinx

y

–

1

x

5

2

52

O

2

2

1

–

f(x)sinx正弦函数性质如下：

（观察图象）1正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；

2规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔2k,kZ重复出现）

21

高中数学必修4教案

3这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx可以说明

结论：象这样一种函数叫做周期函数。

文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；

x

2kkZ

f(x2k)sin(x2k)sinxf(x)

符号语言：当增加（）时，总有．

x

2k

也即：（1）当自变量增加时，正弦函数的值又重复出现；

x

sin(x2k)sinx（2）对于定义域内的任意，恒成立。

余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。

二、讲解新课：

1．周期函数定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一

个值时，都有：f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函

数的周期。

22

)sinsin(

xR

ysinx

，能否说是它的周期？问题：（1）对于函数，有

3

636

xRkZ2k

ysinx

是不是周期函数，（2）正弦函数，如果是，周期是多少？（，

k0

且）

*

kZ

T

f(x)f(x)

kT

（3）若函数的周期为，则，也是的周期吗？为什么？

f(x)f(xT)f(x2T)f(xkT)

（是，其原因为：）

2、说明：1周期函数x定义域M，则必有x+TM,且若T>0则定义域无上界；T<0则定义

域无下界；

2“每一个值”只要有一个反例，则f(x)就不为周期函数（如f(x+t)f(x)）

00

3T往往是多值的（如y=sinx2,4,„,-2,-4,„都是周期）周期T中最小

的正数叫做f(x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）

y=sinx,y=cosx的最小正周期为2（一般称为周期）

xRxR2

ysinx

ycosx

从图象上可以看出，；，的最小正周期为；

f(x)c

判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？（没有最小正周期）

3、例题讲解

1

y2sin(x)

y3cosxysin2x例1求下列三角函数的周期：①②（3），

26

xR

．

3cos(x2)3cosx

解：（1）∵，

x

x2

xR

y3cosx

的值才能重复出现，∴自变量只要并且至少要增加到，函数，

xR2

y3cosx所以，函数，的周期是．

sin(2x2)sin2(x)sin2x

（2）∵，

x

x

xR

ysin2x

∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，

xR

ysin2x

所以，函数，的周期是．

111

2sin(x2)2sin[(x)]2sin(x)

（3）∵，

626262

x

x

xR

ysin2x

∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，

xR

ysin2x

所以，函数，的周期是．

练习1。求下列三角函数的周期：

x

)2y=cos2x3y=3sin(+)1y=sin(x+

2

53

22

高中数学必修4教案

解：1令z=x+而sin(2+z)=sinz即：f(2+z)=f(z)

3

]=f(x+)∴周期T=2f[(x+2)+

33

2令z=2x∴f(x)=cos2x=cosz=cos(z+2)=cos(2x+2)=cos[2(x+)]

即：f(x+)=f(x)∴T=

xx

3令z=+则：f(x)=3sinz=3sin(z+2)=3sin(++2)

22

55

x4

)=f(x+4)∴T=4=3sin(

25

思考：从上例的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中的哪些量有关？

yAsin(x)yAcos(x)A,,

xR

说明：（1）一般结论：函数及函数，（其中

2

T

A00

为常数，且，）的周期；

1

y2sin(x)

0xR

y3cos(x)ysin(2x)

（2）若，如：①；②；③，．

26

则这三个函数的周期又是什么？

2

T

xR

yAsin(x)yAcos(x)

一般结论：函数及函数，的周期

||

思考：求下列函数的周期：1y=sin(2x+)+2cos(3x-)2y=|sinx|

4

6

2

解：1y=sin(2x+)最小正周期T=y=2cos(3x-)最小正周期T=

1122

4

6

3

∴T为T,T的最小公倍数2∴T=2

12

2T=作图

三、巩固与练习P36面

2

-3

四、小结：本节课学习了以下内容：

周期函数的定义，周期，最小正周期

五、课后作业：《习案》作业九

1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二)

教学目的：

知识目标：要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；

能力目标：掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。

德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的

意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。

教学重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；

教学难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用

教学过程：

一、复习引入：偶函数、奇函数的定义，反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？

23

高中数学必修4教案

二、讲解新课：

1.奇偶性

请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？

(1)余弦函数的图形

当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。

11

例如：f(-)=,f()=,即f(-)=f()；„„由于cos(－x)=cosx∴

22

3333

f(-x)=f(x).

以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=cosx的图象上的任一点,那么,

与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx的图象上，这时，我们说函数y=cosx是偶函

数。(2)正弦函数的图形

观察函数y=sinx的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？

这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对

称。

也就是说，如果点（x,y）是函数y=sinx的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点

（-x,-y）也在函数y=sinx的图象上，这时，我们说函数y=sinx是奇函数。

2.单调性

3

,

从y＝sinx，x∈［－］的图象上可看出：

22

当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1.

22

3

当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1.

2

2

结合上述周期性可知：

正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1

22

3

增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，

2

2

其值从1减小到－1.

余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到

1；

在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－

1.

3.有关对称轴

观察正、余弦函数的图形，可知

k

k

y=sinx的对称轴为x=k∈Zy=cosx的对称轴为x=k∈Z

2

y3sin2x

练习1。（1）写出函数的对称轴；

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高中数学必修4教案

ysin(x)（2）的一条对称轴是（