2020年北京八年级(上)期中数学试卷

期中数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）低碳环保理念深入人心，共享单车已成为出行新方式．下列共享单车图标，是轴对称图形的是（）A. B.

C. D.下列计算正确的是（）A.a3+a2=a5 B.a3•a2=a5 C.（2a2）3=6a6 D.a6÷a2=a3下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（）A.a（a+b-1）=a2+ab-a B.a2-a-2=a（a-1）-2

C.-4a2+9b2=（-2a+3b）（2a+3b） D.等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则其周长是（）A.18 B.21 C.18或21 D.不能确定若如图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（）

A.40° B.50° C.60° D.70°如果9x2+ax+4是一个完全平方式，则a的值是（）A.±6 B.6 C.12 D.±12如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为22，BE=4，则△ABD的周长为（）A.14

B.18

C.20

D.26

如图，△ABC中，AB=AC，∠B=30°，点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，连接EA．则∠BAE的度数为（）

A.30° B.80° C.90° D.110°下列各图是由若干个正方形和长方形组成的，其中能表示等式（a+b）2=a2+2ab+b2的是（）A. B.

C. D.如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是（）A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）（3.14-π）0=______．如图，线段AB，CD相交于点O，AO=BO，添加一个条件，能使△AOC≌△BOD，所添加的条件可以是______

如果实数a，b满足a+b=6，ab=8，那么a2+b2=______．如图，在△ABC中，CD是它的角平分线，DE⊥AC于点E．若BC=8cm，DE=3cm，则△BCD的面积为______cm2．

若2x=4y-1，27y=3x+7，则x+y=______．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于D点．若BD平分∠ABC，则∠A=______°．

已知等腰三角形一腰上高与另一腰夹角30°，则顶角的度数为______．阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题：

尺规作图：作一条线段的垂直平分线．

已知：线段AB．

求作：线段AB的垂直平分线．

小红的作法如下：

如图，①分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C；

②再分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径（不同于①中的半径）作弧，两弧相交于点D，使点D与点C在直线AB的同侧；

③作直线CD．

所以直线CD就是所求作的垂直平分线．

老师说：“小红的作法正确．”

请回答：小红的作图依据是______．

三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）已知x2+3x-1=0，求4x（x+2）+（x-1）2-3（x2-1）的值．

四、解答题（本大题共9小题，共49.0分）因式分解：

（1）a3-4a

（2）3a2-12ab+12b2

计算：

（1）

（2）（-8m4n+12m3n2-4m2n3）÷（-4m2n）

如图，点A、F、C、D在同一条直线上，AB∥DE，∠B=∠E，AF=DC，求证：BC=EF．

如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（1，2）．

（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；

（2）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，写出所有符合条件的点D坐标．

某同学在计算一个多项式乘-3x2时，算成了加上-3x2，得到的答案是，正确计算结果是多少？

如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC.

（1）求证：△ABC是等腰三角形．

（2）若AE=8，AB=10，GC=2BG，求△ABC的周长.

阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．解：设原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的____；A．提取公因式法

B．平方差公式法

C．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：____；（3）请你用换元法对多项式进行因式分解．

△ABC是等腰直角三角形，其中∠C=90°，AC=BC，D是BC上任意一点（点D与点B、C都不重合），连接AD，CF⊥AD，交AD于点E，交AB于点F，BG⊥BC交CF的延长线于点G．

（1）依题意补全图形，并写出与BG相等的线段；

（2）当点D为线段BC中点时，连接DF，求证：∠BDF=∠CDE；

（3）当点C和点F关于直线AD成轴对称时，直接写出线段CE、DE、AD三者之间的数量关系．

对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：

若点P满足PA=PB，则称P为线段AB的“轴点”，其中，当0°＜∠APB＜60°时，称P为线段AB的“远轴点”；当60°≤∠APB≤180°时，称P为线段AB的“近轴点”．

（1）如图1，点A，B的坐标分别为（-2，0），（2，0），则在P1（-1，3），P2（0，2），P3（0，-1），P4（0，4）中，线段AB的“近轴点”是______．

（2）如图2，点A的坐标为（3，0），点B在y轴正半轴上，∠OAB=30°．

①若P为线段AB的“远轴点”，直接写出点P的横坐标t的取值范围______；

②点C为y轴上的动点（不与点B重合且BC≠AB），若Q为线段AB的“轴点”，当线段QB与QC的和最小时，求点Q的坐标．

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：A、是轴对称图形．故选项正确；

B、不是轴对称图形．故选项错误；

C、不是轴对称图形．故选项错误；

D、不是轴对称图形．故选项错误．

故选：A．

根据轴对称图形的概念求解．

此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．

2.【答案】B

【解析】解：A、a3+a2，无法计算，故此选项错误；

B、a3•a2=a5，正确；

C、（2a2）3=8a6，故此选项错误；

D、a6÷a2=a4，故此选项错误；

故选：B．

直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别计算得出答案．

此题主要考查了同底数幂的乘除运算和积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．

3.【答案】C

【解析】【分析】

根据因式分解的是多项式，分解的结果是积的形式，进行判断即可．

因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，理解因式分解的定义是解决此类问题的关键．

【解答】

解：AB.中最后结果不是乘积的形式，不属于因式分解；

C.运用平方差公式进行的因式分解；

D.不是在整式范围内进行的分解，不属于因式分解．

故选C.

4.【答案】C

【解析】解：当5为底时，其它两边都为8，5、8、8可以构成三角形，周长为21；

当5为腰时，其它两边为5和8，5、5、8可以构成三角形，周长为18，

所以周长是18或21．

故选C．

因为等腰三角形的两边分别为5和8，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．

本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．

5.【答案】B

【解析】【分析】

在左图中，先利用三角形内角和计算出边a所对的角为50°，然后根据全等三角形的性质得到∠1的度数．本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．

【解答】

解：在左图中，边a所对的角为180°-60°-70°=50°，

因为图中的两个三角形全等，

所以∠1的度数为50°．

故选B．

6.【答案】D

【解析】解：∵9x2+ay+4y2是一个完全平方式，

∴axy=±2•3x•2y，

解得：a=±12，

故选：D．

根据完全平方式得出-axy=±2•3x•2y，求出即可．

本题考查了完全平方式，能熟记完全平方公式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：a2-2ab+b2和a2+2ab+b2．

7.【答案】A

【解析】【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

​​​​​​​根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DC，BC=2BE=8，根据三角形的周长公式计算即可．

【解答】

解：∵DE是BC的垂直平分线，

∴DB=DC，BC=2BE=8，

∵△ABC的周长为22，

∴AB+BC+AC=22，

∴AB+AC=14，

∴△ABD的周长=AD+BD+AB=AD+CD+AB=AB+AC=14，

故选：A．

8.【答案】C

【解析】解：∵AB=AC，

∴∠B=∠C=30°，

∴∠BAC=180°-30°-30°=120°，

∵DE垂直平分线段AC，

∴EA=EC，

∴∠EAD=∠C=30°，

∴∠BAE=∠BAC-∠EAD=90°．

故选：C．

根据∠BAE=∠BAC-∠EAD，只要求出∠BAC，∠EAD即可解决问题．

本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

9.【答案】B

【解析】解：对于等式（a+b）2=a2+2ab+b2，可看作边长为（a+b）的正方形由一个边长为a的正方形、一个边长为b的正方形和一个长宽为a、b的矩形组成．

故选：B．

根据矩形的性质，利用边长为（a+b）的正方形由一个边长为a的正方形、一个边长为b的正方形和一个长宽为a、b的矩形组成可对各选项矩形判断．

本题考查了矩形的性质：平行四边形的性质矩形都具有；矩形的四个角都是直角；邻边垂直；矩形的对角线相等．

10.【答案】C

【解析】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，

∴PC=PB，

∴PE+PC=PB+PE=BE，

即BE就是PE+PC的最小值，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BCE=60°，

∵BA=BC，AE=EC，

∴BE⊥AC，

∴∠BEC=90°，

∴∠EBC=30°，

∵PB=PC，

∴∠PCB=∠PBC=30°，

∴∠CPE=∠PBC+∠PCB=60°，

故选：C．

连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解决问题；

本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．

11.【答案】1

【解析】解：（3.14-π）0=1．

故答案为：1．

根据任何非0数的0次幂等于1解答．

本题主要考查了零指数幂，任何非0数的0次幂等于1．

12.【答案】OC=OD或∠A=∠B或∠C=∠D

【解析】解：∵∠AOC=∠BOC，AO=BO，

∴当OC=OD时，△AOC≌△BOD；

当∠A=∠B时，△AOC≌△BOD；

当∠C=∠D时，△AOC≌△BOD．

故答案为OC=OD或∠A=∠B或∠C=∠D．

利用对顶角相等得到∠AOC=∠BOC，加上AO=BO，当OC=OD时，根据“SAS“可判断△AOC≌△BOD；当∠A=∠B时，可根据“ASA”判断△AOC≌△BOD；当∠C=∠D时，根据“AAS”可判断△AOC≌△BOD．

本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．

13.【答案】20

【解析】解：∵a+b=6，ab=8，

∴a2+b2=（a+b）2-2ab=36-16=20，

故答案为：20

原式利用完全平方公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．

此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

14.【答案】12

【解析】解：作DF⊥BC于F，

∵CD是它的角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，

∴DF=DE=3，

∴△BCD的面积=×BC×DF=12（cm2），

故答案为：12．

作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质求出DF，根据三角形的面积公式计算即可．

本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

15.【答案】13

【解析】解：∵2x=4y-1，27y=3x+7，

∴2x=22y-2，33y=3x+7，

∴，

解得，

∴x+y=8+5=13．

故答案为：13

根据幂的乘方运算法则可得关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值代入所求式子计算即可．

本题主要考查了幂的乘方，熟记法则是解答本题的关键．幂的乘方，底数不变，指数相乘．

16.【答案】36

【解析】解：∵AB=AC，

∴∠C=∠ABC，

∵AB的垂直平分线MN交AC于D点．

∴∠A=∠ABD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠C=2∠A=∠ABC，

设∠A为x，

可得：x+x+x+2x=180°，

解得：x=36°，

故答案为：36

根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．

此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

17.【答案】120°或60°

【解析】解：当顶角为钝角时，如图1，可求得其顶角的邻补角为60°，则顶角为120°；

当顶角为锐角时，如图2，可求得其顶角为60°；

综上可知该等腰三角形的顶角为120°或60°．

故答案为：120°或60°．

分顶角为钝角和顶角为锐角两种情况：当顶角为钝角时，则可求得其邻补角为60°；当顶角为锐角时，可求得顶角为60°；可得出答案．

本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等及直角三角形两锐角互余是解题的关键．

18.【答案】到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线

【解析】解：如图，∵由作图可知，AC=BC=AD=BD，

∴直线CD就是线段AB的垂直平分线．

故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．

根据线段垂直平分线的作法即可得出结论．

本题考查的是作图-基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．

19.【答案】解：4x（x+2）+（x-1）2-3（x2-1）

=4x2+8x+x2-2x+1-3x2+3

=2x2+6x+4

=2（x2+3x）+4，

∵x2+3x-1=0，

∴x2+3x=1，

则原式=2+4=6．

【解析】所求的式子第一项利用单项式乘以多项式的法则计算，第二项利用完全平方公式展开，第三项先利用乘法分配律将3乘到括号里边，然后利用去括号法则去括号，合并同类项后将前两项提取2，得到最简结果，由x2+3x-1=0，移项变形后得到x2+3x=1，代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．

此题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：单项式乘以多项式法则，完全平方公式，去括号法则，以及合并同类项法则，利用了整体代入的思想，熟练掌握法则及公式是解本题的关键．

20.【答案】解：（1）原式=a（a2-4）=a（a+2）（a-2）；

（2）原式=3（a2-4ab+4b2）=3（a-2b）2．

【解析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；

（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．

21.【答案】解：（1）原式=x2y×=；

（2）原式=2-3mn+n2．

【解析】（1）先计算乘方，再计算乘法即可得；

（2）利用多项式除以单项式法则计算可得．

本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则．

22.【答案】证明：∵AB∥DE，

∴∠A=∠D，

∵AF=CD，

∴AF+FC=FC+CD，

∴AC=DF，

在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF（AAS），

∴BC=EF．

【解析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，基础题

欲证明BC=EF，只要证明△ABC≌△DEF即可；

23.【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；

（2）当△BCD与△BCA关于BC对称时，点D坐标为（0，3），

当△BCA与△CBD关于BC的中点对称时，点D坐标为（

0，-1），

△BCA与△CBD关于BC的中垂线对称时，点D坐标为当（2，-1）．

【解析】（1）利用轴对称变换，即可作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；

（2）依据以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，可知两个三角形有公共边BC，运用对称性即可得出所有符合条件的点D坐标．

本题主要考查了利用轴对称变换作图以及全等三角形的判定的运用，解题时注意，成轴对称的两个三角形或成中心对称的两个三角形全等．

24.【答案】解：由题意可得，原多项式为：x2-x+1+3x2=4x2-x+1，

故正确计算结果应为：

-3x2•（4x2-x+1）

=-12x4+x3-3x2．

【解析】根据题意得出多项式，进而利用单项式乘以多项式计算得出答案．

此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．

25.【答案】（1）证明：∵AE∥BC，

∴∠B=∠DAE，∠C=∠CAE．

∵AE平分∠DAC，

∴∠DAE=∠CAE，

∴∠B=∠C，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）解：∵F是AC的中点，

∴AF=CF．

在△AFE和△CFG中，

，

∴△AFE≌△CFG，

∴AE=GC=8，

∵GC=2BG，

∴BG=4，

∴BC=12，

∴△ABC的周长=AB+AC+BC=10+10+12=32.

【解析】本题主要考查的是等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和判定定理是解题的关键.

（1）首先依据平行线的性质证明∠B=∠DAE，∠C=∠CAE，然后结合角平分线的定义可证明∠B=∠C，故此可证明△ABC为等腰三角形；

（2）首先证明△AFE≌△CFG，从而得到CG的长，然后可求得BC的长，于是可求得△ABC的周长.

26.【答案】解：（1）C

；

（2）（x-2）4

；

（3）设x2+2x=y，

原式=y（y+2）+1，

=y2+2y+1，

=（y+1）2

=（x2+2x+1）2

=（x+1）4

【解析】【分析】

本题考查了因式分解-换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．

（1）根据完全平方公式进行分解因式；

（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；

（3）根据材料，用换元法进行分解因式．

【解答】

解：（1）y2+8y+16=（y+4）2.

故选：C；

（2）（x2-4x+1）（x2-4x+7）+9，

设x2-4x=y，

原式=（y+1）（y+7）+9，

=y2+8y+16，

=（y+4）2，

=（x2-4x+4）2，

=（x-2）4；

故答案为：（x-2）4；

（3）见答案．

27.【答案】解：（1）BG=DC，理由是：

如图1，∵∠ACB=90°，

∴∠BCG+∠GCA=90°，

∵CF⊥AD，

∴∠CEA=90°，

∴∠GCA+∠CAD=90°，

∴∠BCG=∠CAD，

∵∠ACB=∠CBG=90°，AC=BC，

∴△CBG≌△ACD（ASA），

∴BG=DC；

（2）如图2，由（1）得：△CBG≌△ACD，

∴∠CDE=∠G，

∵D是BC的中点，

∴BD=DC，

∵BG=DC，

∴BG=BD，

∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠CBA=45°，

∵∠CBG=90°，

∴∠GBA=45°，

∴∠GBA=∠CBA=45°，

∵BF=BF，

∴△BDF≌△BGF（SAS），

∴∠BDF=∠G，

∴∠BDF=∠CDE；

（3）AD=2DE+2CE，理由是：

如图3，过C作CM⊥AB于M，交AD于N，

∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠BCM=∠ACM=45°，

∵点C和点F关于直线AD成轴对称，

∴AD是CF的中垂线，

∴CE=EF，CD=DF，AC=AF，

∵AD=AD，

∴△ACD≌△AFD，

∴∠DFA=∠ACB=90°，

∵∠CBA=45°，

∴△DBF是等腰直角三角形，

∴BF=DF，

∴BF=DF=CD，

∵AC=AF，∠BAC=45°，

∴∠ACF=∠CFA=67.5°，∠CAE=∠FAE=22.5°，

∴∠BCG=90°-67.5°=22.5°，

∴∠ECN=45°-22.5°=22.5°，

∴∠ECN=∠BCG，

∴△DCE≌△NCE，

∴DC=CN，DE=EN，

∴CN=BF，

∵∠CAD=∠BCG=22.5°，

∵AC=BC，

∴△ACN≌△CBF，

∴CF=AN=2CE，

∴AD=DE+EN+AN=2