人教A版(2019)必修第二册《第6章-平面向量及其应用》单元测试卷

人教A版（2019）必修第二册《第6章平面向量及其应用》单元测试卷（3）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）如图所示，在平行四边形ABCD中，BC+DC+BA等于(

)

A.BD B.DB C.BC D.CB已知向量a=(1,2)，b=(-1,1)，若c满足(c+a)//b，A.(-3,0) B.(1,0) C.(0,-3) D.(0,1)在四边形ABCD中，AB⋅BC=0，且AB=DC，则四边形A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形已知向量a=(1,m)，b=(3,-2)A.-8 B.-6 C.6 已知三角形的两边长分别为4，5，它们夹角的余弦是方程2x2+3x-2=0的根，则第三边长是A.20 B.21 C.22 D.61在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+c2-b2tanB=A.π6 B.π3或2π3 C.π3 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c=2a，bsinB-asinA=12asinC，则cosB等于A.34 B.23 C.13在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C，3b=20acosA，则sinA:sinB:sinC为(    )A.4:3:2 B.5:6:7 C.5:4:3 D.6:5:4如图在△ABC中，D是AC边上的点且AB=AD，2AB=3BD，BC=2BD.则cosC的值(    )

A.66 B.36 C.306如图，半圆的直径AB=4，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(PA+PB)⋅PC的最小值是(

A.2 B.0 C.-1 D.-2D为△ABC的边BC的中点，E为AD中点，若AD=a，则(EB+A.-a22 B.a22 已知|a|=1，|b|=2，a=λb，λ∈RA.1 B.3 C.1或3 D.|λ|二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）已知|a|=1，|b|=2，(a-b)⊥a已知向量a=(1,2)，a·b=10，|a+b在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3bcosA=ccosA+acosC，则tanA的值是________．如图，△ABC为等腰三角形，∠BAC=120°，AB=AC=4，以A为圆心，1为半径的圆分别交AB，AC与点E，F，点P是劣弧EF上的一点，则PB⋅PC的取值范围是______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）已知向量a=-3,2,b=2,1,c=3,-1,t∈R

(1)求a+tb的最小值及相应的t值；

(2)若a-t在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若sinBsinC-cosBcosC=12．

(Ⅰ)求角A；

(Ⅱ)若a=2,b+c=23，求△ABC的面积．

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且满足tanA=12tanB=13tanC．

(1)求角A的大小；

(2)若△ABC的面积为15，求a的值．

.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，设向量m=(a+b,c)，n(b+c,a-b)，且m//n．

(1)求角A的大小；

(2)若B=π6，a=3，求△ABC的面积．

如图，某公园有三条观光大道AB,BC,AC围成直角三角形，其中直角边BC=200m，斜边AB=400m.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB,BC,AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D,E,F．

(1)若甲乙都以每分钟100m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；(2)设，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且，请将甲乙之间的距离y表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离．

已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(-1,2)．

(1)若|c|=5，且a//c，求c的坐标；

(2)若|b|=52，且(a+--------答案与解析--------1.答案：C

解析：本题考查了向量的加法运算，属于基础题．

利用向量的加法运算法则可得结果．

解：由四边形ABCD是平行四边形可得：

BC+DC+BA=BC+DC+BA解析：考查向量坐标的加法和数量积运算，向量平行、向量垂直时的坐标关系，属中档题．

可设c=(x,y)，从而可得出c+a=(x+1,y+2)，且得到a+b=(0,3)，这样根据(c+a)//b即可得出x+y+3=0①，而根据c⊥(a+b)即可求出y=0，带入①即可求出x，从而得出c的坐标．

解：a=(1,2)，b=(-1,1)，

设c=(x,y)，

则：c+a=(x+1,y+2)，且a+b=(0,3)，

∵(c+a)//b解析：解：在四边形ABCD中，

∵AB⋅BC=0，∴AB⊥BC，

∵AB=DC，∴AB-//DC，

∴四边形ABCD是矩形．

故选：C．

由AB⋅BC=0，得AB⊥BC解析：本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，属于基础题．

求出向量a+b的坐标，根据向量垂直的充要条件，得到关于m的方程，求解即可．

解：∵向量a=(1,m)，b=(3,-2)，∴a+b=(4,解析：由已知中三角形的两边长分别为4和5，其夹角的余弦是方程2x2+3x-2=0的根，求出两边夹角的余弦，利用余弦定理可得答案．

本题考查的知识点是余弦定理的应用，其中解三角形求出两边夹角的余弦是解答的关键．

解：解方程2x2+3x-2=0得

x=-2，或x=12

∵三角形的两边夹角θ的余弦是方程2x2+3x-2=0的根

故cosθ=1解析：【分析】本题主要考查余弦定理及三角中的切化弦．很多人会考虑对于角B的取舍问题，而此题两种都可以，因为我们的过程是恒等变形．条件中也没有其它的限制条件，所以有的同学就多虑了．虽然此题没有涉及到取舍问题，但在平时的练习过程中一定要注意此点.通过余弦定理及，求的sinB的值，又因在三角形内，进而求出B.

解：由(a2+c2-b2)tanB=3ac

∴(a2+c2

7.答案：A

解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

由c=2a，利用正弦定理化简已知等式可得：b2-a2=12ac=a2，利用余弦定理即可求得cosB的值．

解：∵若c=2a，bsinB-asinA=12asinC，

∴则由正弦定理可得：b2解析：本题主要考查正弦定理和余弦定理，属于中档题.由题意可得，可设设三边长分别为a，a-1，a-2，由余弦定理求得cosA的值，再根据3b=20acosA求得a的值，可得sinA：sinB：sinC=a：b：c的值．

解：△ABC中，∵A>B>C

，

设三边长分别为a，a-1，a-2，

∴cosA=a-12+a-22-a22a-1a-2=a-52a-2，

又3b=20acosA，

可得3b=3a-3=10aa-5a-2，解得a=6，

再由正弦定理可得sinA：sinB：解析：解：不妨设BD=23，则BC=43，AB=AD=3．

在△ABD中，由余弦定理可得：cosA=32+32-(23)22×3×3=13，

∵B∈(0,π)，∴sinA=1-cos2A=223．

在△ABC中，由正弦定理可得：ABsinC=BCsinA，

可得：sinC=3×223解析：本题考查了向量在几何中的应用，结合图形分析是解决问题的关键．

根据图形知O是线段AB的中点，所以PA+PB=2PO，再根据向量的点乘积运算分析方向与大小即可求出．

解：因为

O

为

AB

的中点，所以

PA+PB=2PO，

从而

(PA+PB)⋅PC=2PO⋅PC，又|PO|+|PC|=2为定值，解析：解：∵E为AD中点，AD=a，

∴EB+EC=2ED=AD，

∴(EB+EC)·EA=AD·EA=AD解析：解：∵|a|=1,|b|=2,a=λb；

∴a2=λ2b2；

∴1=4λ2；

∴λ=±12；

∴a=±12b；

∴a⋅b=±12b2=±2；

∴(a解析：本题主要考查平面向量的数量积运算，属基础题．本题考查向量的模长，垂直关系和夹角公式，属于基础题．

根据已知垂直条件，经运算求出两向量的数量积，再由向量夹角的余弦公式求解．解：∵(a-b)⊥a=0，所以cos<a,故答案为45°．

14.答案：53解析：由模长公式可得|a|，把|a+b|=10平方代入已知数据可得|b|的方程，解方程可得．

本题考查平面向量数量积的运算，涉及模长公式，属基础题．

解：∵a=(1,2)，∴|a|=5，

∵a·b=10，解析：本题主要考查正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，基础题目．

利用正弦定理化简已知条件可得cosA=13，由此可解．

解：在△ABC中，3bcosA=ccosA+acosC，

由正弦定理可得：3sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB，

∵sinB≠0，可得：cosA=13，

∵A为三角形内角．

∴sinA=223

，

∴tanA=2解析：解：建立平面直角坐标系，如图所示，

则A(0,0)，B(-23,-2)，C(23,-2)；

且点P在单位圆A的劣弧EF上，

设P(cosθ,sinθ)，θ∈[7π6,11π6]，

则PB⋅PC=(-23-cosθ)(23-cosθ)

+(-2-sinθ)(-2-sinθ)

=(cos2θ-12)+(4+4sinθ+sin2θ)

=4sinθ-7；

又θ∈[7π6,11π6]，

∴-1≤sinθ≤-12，

∴-11≤4sinθ-7≤-9，

∴PB⋅PC的取值范围是[-11,-9]．

故答案为：[-11,-9]．

建立平面直角坐标系，利用坐标表示平面向量和单位圆，

设出点P的参数方程，计算PB⋅解析：【分析】(1)利用求模公式表示出|a+tb|，根据二次函数的性质可得其最小值及相应的t值；

(2)利用向量共线定理可得关于t的方程，解出即得t值；

本题考查平面向量共线的坐标表示、利用数量积求模等知识，属基础题．

18.答案：解：(Ⅰ)∵cosBcosC-sinBsinC=-12，

∴cos(B+C)=cos(π-A)=-cosA=-12．

即cosA=12，又A为三角形内角．

∴A=π解析：(I)利用和差公式即可得出；

(II)利用余弦定理可得bc，再利用三角形面积计算公式即可得出．

本题考查了和差公式、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

19.答案：解：(1)已知tanA=12tanB=13tanC，∴tanB=2tanA，tanC=3tanA，

在△ABC中，tanA=-tan(B+C)=-tanB+tanC1-tanBtanC=-2tanA+3tanA1-6tan2A，

解得tan2A=1，即tanA=-1，或tanA=1．

若tanA=-1，可得tanB=-2，则A，B均为钝角，不合题意．

故tanA=1，得A=π4；

(2)由tanA=1，得tanB=2，tanC=3，

可得sinB=2cosB，sinC=3cosC，

结合sin2B+cos2B=1，sin2解析：本题考查三角形的解法，考查正弦定理及两角和的正切值的应用，是中档题．

(1)由已知结合tanA=-tan(B+C)可得tanA，进一步得到角A的大小；

(2)结合(1)求出tanB=2，tanC=3，可得sinB=2cosB，sinC=3cosC，进一步得到sinB，sinC的值，把三角形ABC的面积用含有a的代数式表示，则答案可求．

20.答案：解：(1)∵向量m=(a+b,c)，n(b+c,a-b)，且m//n，

∴(a+b)(a-b)=c(b+c)，即b2+c2-a2=-bc，

∴cosA=b2+c2-a2解析：(1)由两向量的坐标及两向量平行满足的条件列出关系式，再利用余弦定理表示出cosA，将得出关系式代入求出cosA的值，即可确定出A的度数；

(2)由a，sinB，sinA的值，利用正弦定理求出b的值，确定出C的度数，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．

此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．

21.答案：

解：(1)依题意得BD=300，BE=100，

在△ABC中，，

∴

B=π3，

在△BDE中，

由余弦定理得：

∴

DE=1007.

答：甲乙两人之间的距离为1007m.

(2)由题意得EF=2DE=2y，，

在直角三角形CEF中，，

在△BDE中，由正弦定理得，

即，

∴

，0<θ<π2，

所以当θ=π6时，y有最小值503.解析：本题考查利用