考研网804材料力学弹性体在外力作用下发生变形时载荷作用点也产生位移相应的

第十一章量energy为能量法(energymethod)。固体力学的发展中有两条主流。一条是依照力学为主导发§11－1外力功与应变能一、外力功形，外力的作用点随着发生位移（移。外力最终达到F，力的作用点产生相 f（）曲线下的面积来表示，其值为W0f( FUW0f( F

11－1b

UWi

f(i f

F=k W0f()d0kd2WFF

11－111－2AB，B端作用F和力偶M梁的弯曲刚度为EI。试计算外力作的总功。在力F作用下B点的挠度和转角为

MBlBl

Fl

Fl

Ml

Fl Ml vBvB,FvB,M

Fl BB,FB,M F2l MW2FvB2MB

F2l MW2FvB,F2MB,M6EIW1F F2l3

W 1M

FMl2MF

F2l3FMl2MWW1W2

2EI Principle：12W Fi2

式中i是各个（广义）载荷Fi对应的最终状态的（广义）位移。弹性体的应变能U在数值n2UW Fi2

二、线性弹性体的应变能u＝1(

x y

z xy

yz

zxUudVV2

x

yyzxz

xy

yz

因为应力分量只有xFN/A，而且xxE，而且轴向力FN和截面积A只是 x

N

FN2 EU2V dxdydz2E

dxdydz

2

2Adydzdx

2lEAl如果轴向力FN和截面积A都是常数，那F2lU

U2

(x

r

xr

r

x

1

xMzrIpU2

xxdV

2G

2 2 Mx2 U

dV

r2dAdx

Mx2 VGIp

GI

2lp如果扭矩Mx和惯性矩Ip沿轴的长度方向为常数，那UMx22GI

梁弯曲时的弯曲正应力为Mzy，弯矩M和惯性矩I只是x

zM2yz2U xdxdydz 22 V V2 M 222

EI2

ydydzdx

z2lEI 如果弯矩Mz和惯性矩Iz沿轴的长度方向为常数，那

UMz2

梁的弯曲切应力为 FSS(y)，切应变为 xy，所

z F2S(y)z

2U xydxdydz 2 V VGb2I F2 S(y) kF S 2 dydzdx SSGA b 2l SzkSz

I2Ab

工字形梁的kS2－5。与弯曲应变能相比，梁弯曲的剪切应变能很小，一般可以忽略不计U1nFNMdx dxU1nFNMdx dxMxdxkSFS2 为Un1FU Nii12Ei

11－211－3AB受集中F作用。用能量原理计算集中力作用点C的垂直位移。

y,C BlAC段：M(xFb

bF/

aF/BC段：M

)Fa

2b2

F2a2 a2b U

[0

(x1)dx10M(x2)dx2]

2EI[l

] l

W1Fv所 vC

a2b2三、余功和余能WcWcW,关系可以表示为f（）时，式 f( WC(f0

WC的积分以力f为自变量，称为余功。

WWcFUCWC0(f F11－1b UCWC i应变余能是物体上最终载荷Fi的函数uC0UCVuC

UC §11－2

起点（1）的位移为11（第一个下标表示点的位置，第二个下标表示力，引起点（2）的111－5c所示，在梁上先作用F1，点（1）产生位移11，F1在111F21 。与此同时，F2在点22UW1F1F F 21 22 12，另一种加载次序如图11－5d所示。在梁上先作用F2，点（2）产生位移22。F2在22上22 21做功为F221；梁的应变能等于外力做功，所以有UW1F 1FF 22 21 2U2，因此 的互等定理（reciprocaltheoremofwork。如果进一步假设F1＝F2，那么得 ceent C作用集F A

ml C产生挠度vC16EI。很明

ml

F m FvCm§11－3别可以用式（11－2’）和式（11－16’）来计算。梯（A.Castigliano）提出了可一，卡氏第一定11－1bn dUdid dWFkd Fk

k解这个问题中与外力F对应的是节点C的垂直位移vC，与节点C上的水平外力（数值为零对应的是C点的水平位移uC。用l1和l212的缩短。从几何关系分析uCvlsin30o(llcos30o)cot30o0.5l3(l0.53l l1l20.5(vC3uCE E

E 2E2A20.52(v 3uU

1l2

22l2

11 UE1A1uE2A223(v3u) u l C l C CC 1 2UE2A22(v3u) u

FN1l1l v3u4Fl231.833mm+4300004000 101090.22method方程组中关于uC和vC的系数矩阵称为刚度矩阵（stiffnessmatrix。位移法也称为刚度法method二，卡氏第二定11－1b个外力有一微小增量dFk，其他外力不变。那么弹性体的应变余能的增量dU

UcdFUc dWck kUc k 变能的一般表示式（11－14）代入式（11－24可以得到在广义力Fk方向的广义位移kU

FN 1

Mz 1

Mx

2lEAdx2l dx2l dx ki1 FN(x)FN Mz(x)Mz Mx(x)Mx i1

dx

dx

dxAC段：M(xFb1 BC段：M(xFa 应用（11－25，C 1 2 1 aM bMC 1 2 1 1 1dx2 2dx 1dx EIF EIF b2Fa3a2Fb3Fa2b2EIl2 EIl2 AqBL例 AqBL11－7解：取悬臂梁作为静定基，几何协调条件是BB在外载荷q和B端支座反力F共同作用下xBM(x)Fx1

x图 根据卡氏第二定理，B点的v

Fx1

F

1ql4) dx xdx

(B LEI F3 §11－4 workFN，弯矩Mz，扭矩Mx和剪力FS。分离体

F+dF

dWr（2内力在单元虚变形上做的功dWddWedWrdWedWe 11－9所示受轴向力F作用的杆，图中所示形为dx1和dx2（这与分为n分析的道理是一样的。假设产生了轴向虚位移，使中间截向右移了距离1，端面向右移了12。截面上的内力是一对轴力F1和F2，大小相等，方F1向位移上做的总功事实上就是外力F作的功WeF(12)。而内力F1在伸长虚变形1F11，内力F2在F1dx1dx1WFFF()W。 1 2

和Mxd。以上表达式中，微单元两端内力增量在虚位移上做的功相对来说是高阶小量。例如对于轴力，FNd＋Mzd＋Fsd

WiFNdMzdFsdMxd §11－5method，11－11a，11－11b1（看作是实际载荷。在单位力作用下产生的内力用上标为‘o’的记号Fo，F 生的内力（第二组内力）在变形d,ddd（看作虚变形）作的功。外力的虚功为1。应用

F,F,M0NS 0NS

1 Fo,Fo,M 1

lFo(x)dlFo(x)dlMo(x)dlMo 图dFN(x)dx, dkSFS(x)dx,dMz(x)dx,dMx(x)dx GIplFo(x)F lkFo(x)F[ dxSS dx lMo(x)M lMo(x)M dx GI

这就是单位载荷法求位移的。右端对结构中各个杆件进行求和。一般情况下在有弯曲和变形的杆件中，与弯矩、扭矩相比，轴力和剪力的变形能可以忽略。所以有弯解：仍然将AB梁分成AC和BC两计算（图11－12a。由外载荷F产生的弯矩M1、M2y, y,BBC 1MoMoBCbF/

aF/

MbFx，MaF 11－12b

Mobx，Moa l l根据aM(x)Mo bM(x)MovC dx12 dx2 abFx baFx b2F a2F 22 1dx1 2dx2 22 0

0 例11－711－13所示，简支的向下的力F作用。求B点的水平位移uB垂直位移v

13135FD45A

a 图a（1－28B5512345F—F2010Fo21—aaaFNiFo200FNiFo22u1 EA 2(1oNiNuiFFo

)Fa

i

(34 NiNvi 11－811－14所示形C端固支。其垂直部分AB受均布力q作用。A点的水平和垂直如图11－14a所示，在AB段和BC段建立局部坐标。M1

yaBxCyaBxCqxyA1

aaBMox，Mo B端有力偶矩M1qa2Fqa作用。BC M1 Mo Mo u a a EI(0M1M1udx0M2M2udx)EI(02qxxdx02qaadx)8EI（向右A

M0dx

1(a1qx20dxa1qa2xdx)1v a

aM

dx) EI EI0 0 （向下附录C弯曲变形的简表，可知转角MBa1 M 挠度vB 4EI （向下vA

1

1 uABa8EI8EI抗拉（压）刚度为EA。不考虑BC杆的失稳，试计算C点的挠度和转角。FAxa

q1C1CB1C DDACq的作用下，由mA0FBDsin30o3a2q3aFBD4M(x)1qx

1 M(x)1qx C点有向下的单位力作用，由mA0FoBDsin30o3a12所以轴力 4,支座反力FoAy Mo(x)x,M2(x2)o1 32 3a 32c2

qx2xdx 43qa42a qa4

（向下0 0C点有顺时针的单位力偶矩作用，由mA0FoBDsin30o3a12BD杆的轴力FoBD 支座反力FAy2o弯矩 Mo(x) x Mo(x)1 3a 3a c

qx2

xdx qx21dx 43qa

0

EI0 7 qa3167

（顺时针11－16b矩MD为未知内力。这是一次静不定问题。又由于结构对AB轴的对称性，可知A点的CBFCB

11－16cM()

FR(1cos)Mo()变形协调条件1 FR(1cos)]1RdR[M

FR

] 0 D 2 FR(12) M()FR(cos2 加一对单位力。在式（a）中令F＝1，即得到一对单位力作用下圆环内的弯矩为Mo()R(cos2 法，A、 2 2 2 ) 例11－11用单位载荷法求解例题9－6，并求 如图11－17所示，取悬臂静定基。在

bBblCl M(x)F

b)

1CM21CM1M1o(x1)

(x)在压力F作用下，弹簧上端的位移为FB。其中k是弹簧刚度，这也 1 vB FBxxdx[FB(x2b)Fx](xb)dxEI

FB

2l3

kFM1o(x1)M2o(x2)1 vC [FB(x2b)Fx2](x2)dx2 a2(3l

a333

a4(3la)212(l33EI) 11－18 xl解 xlM(x)qx2/2，FS(x)SMo(x)x Fo(x) SvEI

(qx2/2)(x)dx

ll5GA

qxql43ql2ql

ql

16h

5GAl

()15变形仅为弯曲变形的1.07%，其影响可以忽略。§11－611－19c1－19eBCBCB

DADA 11－20a解：1，求B点的支座反力FF代替原来问题的相当系统(11－20b)。y BMA BB

11 M(x)Fx1

这两项分别为未知约束力F产生的弯矩和外载荷产生的弯矩。将它们分开写BM(x)M BF加单位力（图1120c。产生弯矩Mox。几何协调关系是B点的挠度为零。利用v MModx

l(MMoMMo)dx EI EI F FxFMFB F MoModx MModxB FB o l o其

dxo

EI

xdx 0 l

1l Ml

dx

qxxdx EI

所 F3EI0 method未知约束力F的系数为单位力作用下沿未知约束力作用方向产生的位移，称为柔度系coefficient外载荷弯矩Mq互乘。力法的正则方程实质上是变形协调方程。力法也称为柔度法method2，求中点C的挠度求中点C的挠度时，在静定基上q和F都是已知力。在C点作用单位力（ 11－20d，1xx1v12l2(MM)Modx l2(1qx2Fx)(x EI EI 1 L l l ql12EI0[2q(x12

)FB(x1

11－1411－21a所示刚架，在AB段中点受水平力F作用。已知刚架的抗弯刚度为EI。定基。图11－21b为F作用下的弯矩图，图11－21c为C点单位力作用下的弯矩图。我们按常

BCl1BCl1 FM

1 1 lA图 (( ) FCy其

Mo2dxlx2dxl12dx4l 0 3lM

odx

2Fxldx

所以

3u Flxdxl

lFx

x)dx]

0 3 vB

Fl1dxl2Fx1dx)

l 0 （顺时针l11－1511－22qAB杆。已知各杆的抗弯刚度为EI。试用力法求A点的支座反力。11－22c11－22d和e是A端水平单11X112X2q121X122X2q2

q1

2 X 2 22

q2 Mo2dxax2dxaa2dx4 MoModx

Mo2dxax2dx1 a a EI MMdx

adx a EIq2MqM2dx

xdx 根据位移互等定理可知2112，所以柔度系数矩阵是对称矩阵。将求出的系数代入方程（1－303 13X22X21

581

1

14

aX1=

qA

aCaaCaM11CMCM2A

A图

X13qa7

FAyX23在工程实际中很多结构具有对称性。利用结构的对称性可以简化计算。例题11－10或称载荷，或一般的载荷。mnmmnmnmmFN1－23b对称载荷。图11－23c所示就是称作用的力偶矩m。在称载荷作用下，对称结构关于对称轴的变形和内力分布也称。这样，在位于对称轴的截面上，对称的内力（弯矩M、轴力FN）为零，只有称内力（剪力FS）存在（图11－23d。原来三次静不定的问11－24aEI。试求刚架的弯矩分布。解11－24bmmmMMmaamaa

11－24c。应用力法正则方程

EI

o

a/2x2dxa

a

7

0

EI

MModx

amadxm 根据式SF 12S 7 图ABETa20cmd=4cm，弹性模量E=200GPa，剪切模量G=80GPa，许用正应力[]=120MPa，许用切应力[]=70MPa。求TaTaEBaaa

CEEB

MAx1aBDMAx1aBD zF M z aMo2dx 2aMo2dx ax2dx

111 (2a)dx a3 EI GI

EI

GI EI 1 aMModx12Ta2 GI0 T

FCFD

2GIp a

0.532T[WpWW[

(0.04m)370106T 1653N B点最大弯矩为 a=0.234T，正应力强度条件

0.234T[]Wz(0.04m)3120106TWz[] 3222Nm [T]=16532AB2AB3CDB3 1245Caa

NN

31C1F 11111133333图 Mo例 图11－27a所示桁架大梁AB与五根轴力杆件构成。AB梁的抗弯刚度EI，轴力杆的抗拉（压）刚度为EA。试求CD杆的M a EIdxEI

(3x)dx

(3)dx]9EI(23Fo 22 1(233333 i3333

1]所以5a3(231) MModx aFx1xdx

1.5aFxadx] 3 3

[0

3243242424

FN1

F

[5393

IA

33*§11－7连续梁与三弯矩11－28a 11－28ii+1ii+1

lixlixMili

Mi- 11－29a所示，选取相邻的两跨静定基进行分析。在支座i1和支座i之间的Mi共同产生。第i＋1跨梁在支座i处的转角iR将由第i＋1跨上的外力和梁的左、右端面上应用单位载荷M*M*表示这两跨简支梁上外力产生的弯矩。在支座i处 11－29b liM*Modx liM*xdx＝ liM* i EI EI iiM*xdxa i表可知，由支座弯矩Mi-1和Mi使第i跨梁在支座i产生的转角为（11－29c）iLMMi1li 1(aiiMi1liMili (bi1i1Mi1li1Mili1 i处两侧梁截面相对转角为零，即iLiRMi1li2M(lili1)Mi1li16(aiibi1i1 i I I i i1 l2M(l )M 6(aiibi1i1 i1 i i1 1il`1il`11nn个三弯矩方程，由此求出n个支座11－30a1－30c第i+1跨梁在支座i的转角应该为ii当虚拟梁的长度li1趋于零时，i也趋于零。可见，相距无限近的两个铰支座具有固定端qBC11－1911－31q10kNm，M10kNmF30kNqBC M*解BCMBMC为多余约束力。外伸段在均布力q作用下，在A点产生弯矩 1ql2110kN/m(2m)220kN （11－32ABFBCl10kN，a2l，l15kN， i bi1l/2Ml2M2lMl61102l1l15l

(l C，FBC段的外力。l15kNal/2Ml2Ml6(

1

C

l 4MBMC22.5kNMB2MC22.5kN FS

FSAFSA+

C MB3.22kNm，MC9.65kNm（内力方向如图11－32所示RC18.22kN，FSB11.78kN，FSB13.39kN，FSAFSARA20.0kN13.39kN （向上RB11.78kN13.39kN1.61kN（向下RC§11－8快，这时施力的物体与承力结构之间产生很大的相互作用力，这一作用力称为冲击载荷load一、自由落体对线弹性体的冲击11－33所示，有重量为W的物体，从高度