2019市直初中数学解题比赛试题

2019年泰州市直初中青年数学教师解题比赛试题说明：1．本试卷共4页，10大题，满分为150分，考试时间为120分钟；2．所有试题一律在答题纸上作答，尺规作图请规范操作．1．（本题满分10分）已知（其中a、b、c为常数），求m；2．（本题满分10分）我们知道，如果，，其中≥，则以、为根的一元二次方程为．利用这个结论解方程．3．（本题满分10分）设二次函数(a≠0，≠)的图像与一次函数(d≠0)的图像交于点（，0），若函数的图像与x轴仅有一个交点．下列等式：①a(-)=d；②a(-)=d；③a(-)=d；④a(+)=d．请写出其中成立的等式，并说明理由．4．（本题满分15分）凤凰路鼓楼路北AB1200y/mx/min3.757.5Oy1y2图①图②如图①，将南北向的鼓楼路与东西向的凤凰路看成两条直线，十字路口记作点A．甲从鼓楼路上点B出发，骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点A出发，沿凤凰路步行向东匀速直行．设出发凤凰路鼓楼路北AB1200y/mx/min3.757.5Oy1y2图①图②（1）求甲、乙两人的速度；（2）当x取何值时，甲、乙两人之间的距离最短？5．（本题满分15分）如图，⊙O的半径为OA=R．OAR（1）求⊙O的内接正OAR（2）用尺规作图作出⊙O的内接正十边形ABCDE．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）6．(本题满分15分)三角形全等下列3种判定方法：①两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；②两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；③三边分别相等的两个三角形全等，分别简称为“SAS”、“ASA”和“SSS”，课本中将他们称为“基本事实”，但“SSS”可以证明．已知：如图，已知△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′．求证：△ABC≌△AB'C'．BBCAA′B′C′7．（本题满分15分）如图，正方形ABCD的边长为a（a为常数，且a>0），点G、H分别在边AB、CD上，点E、F分别在边AD、BC上，且GH∥AD，EF∥AB，EF与GH相交于点P．设△GBF的周长为l．AECHGBFDP（1）若lAECHGBFDP（2）是否存在l，使矩形EPHD的面积是一个与点G、F位置无关的常数？如果存在，请求l的值；如果不存在，请说明理由．8．(本题满分20分)已知一次函数（n<0）和反比例函数（m>0，x>0）．（1）如图①，若n=-2，且函数、的图像都经过点A（3，4），直接写出当>时x的范围；（2）如图②，过点P（1，0）作y轴的平行线l与函数的图像相交于点B，与反比例函数（x>0）的图像相交于点C．①若k=2，直线l与函数的图像相交点D．当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时，求的值；图①yxAO图②yxCBOPl②过点B作x轴的平行线与函数的图像相交于点E．当取某一范围内的任意实数时，点B、C间的距离与点图①yxAO图②yxCBOPl9．（本题满分20分）已知：二次函数（a为常数）．（1）试证明：当x>2时，y随x增大而增大；（2）设坐标原点为O，该二次函数图像与y轴相交于A点，P为该函数图像对称轴上一点，且OP+AP取最小值5，求此时a的值及点P的坐标；（2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图像在x≤4的部分与一次函数的图像有两个交点，求a的取值范围．10．（本题满分20分）（1）问题提出。如图①，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC=5，则△ABC的外接圆半径R的值为．（2）问题探究。如图②，⊙O的半径为13，弦AB=24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．（3）问题解决。如图③所示，AB、AC、eq\o(⌒,BC)是某新区的3条规划路，其中AB=6km，AC=3km，∠BAC=60°，eq\o(⌒,BC)所对的圆心角为60°，新区管委会想在eq\o(⌒,BC)路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F，也就是分别在eq\o(⌒,BC)、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和F