2009年考研数学三真题及解析路上的幸福哥

PAGE1《PAGE1《考的，考研干货最多的公众2009年入学统一考试一、选择题：1～8小题，每小4分32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个x函数f(x) 的可去间断点的个数 (D)无穷多个x0f(xxsinaxg(x)x2ln(1bxa1，b1 （B）a1，b1 (C)a1，b1 （D）a1，b1 使不等式

xsin

(A)(0,1) (B)(1,) (C)(,) x设函yfx在区间13xff21Fx0ftdt的图ff2f21

fffO1 A 阵 的伴随矩 3B* 2B* 2 O (B) 3A* 2A* (C) O (D) 0

P

AP 0 2 P(,,),Q(,

2 1 0 2

1 1 0 0 2 0 0(C) 0 (D) 0 2

2 设A与B互不相容，P(AB)0 (B)P(AB)P(A)P(B)(C)P(A)1P(B) (D)P(AB)1设随量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0,1)，Y的概率分布PAGE3《考的PAGE3《考的，考研干货最多的公众P{Y0}P{Y1}1，记F(Z)为 PAGE4《PAGE4《考的，考研干货最多的公众的间断点个数(A) (C)2 二、填空题：9~14小题，每小题4分24分，请将答案写在答题纸指定位置上eecos 3 31x2

zx

ye)

en n幂级数 n

x的收敛半径 QQ(P,P的弹性p0.210000件时，价格增加1元会使产品收益增 元

0 设(1,1,1),(1,0,k)，若矩阵相似于0 0，则k 2 02 (14)X1X2XnB(npX分别为样本均值和样本方差，记统计量TXS2，则ET 三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15（9分f(xyx22y2ylny的极值（16（计算不定积分ln(1 1x (x0)（17（D计算二重积分(xy)dxdy，其Dxy)(x1)2y1)22,yxD（18（证 日中值定理，若函数f(x)在 b上连续，在 b上可导， bf(bf(af'(baf(xx0

0)

f'(x)Af(0)f(0)A

（19（设曲线yf(x)f(x)是可导函数，且f(x0已知曲线yf(x)与直线y0,x1xt(t1)x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的t倍，求该曲线的方程.（20（ 设A= 1, 2

2 （Ⅰ）AA2的所有向量， （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2,3，证明1,2,3线性无关（21（f(xxx)ax2ax2a1)x22xx2xx 1 2f的矩阵的所有特征值 fy2y2a （22（

e 0y设二维 量(X,Y)的概率密度为f(x,y) fYXyx（23（11分袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以 YZ分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数求二维随量(X,Y)的概率分布年2009入学统一考年数学三试题解一、选择题：1～8小题，每小4分32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个x函数f(x) 的可去间断点的个数 (D)无穷多个【答案】【解析fx

xx取任何fx均无意故fx的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是xx30的x1,2,30,limxx3lim1 x0 x0 x 1 lim lim x1x

x1 1 lim lim x1 x1 故可去间断点3个，即0x0f(xxsinaxg(x)x2ln(1bxa1，b1 （B）a1，b1 (C)a1，b1 （D）a1，b1 【答案】f(xxsinaxg(x)x2ln(1bx)limf(x)limxsin

a2sin x0 x0x2ln(1 x0x2 lima2sinaxa3 a3 故排除(B)、1x06b a1acos另外 所以本题选

存在，蕴含了1acosax0x0故a 排除使不等式

xsin

(A)(0,1) (B)(1,) (C)(,) 【答案】【解析】原问题可转化为 f(xxsintdtlnxxsintdtx1dtxsint 11sintdt0x dt 取值范围

1sint 1 0t0,1x0,1f(x0 tx设函yfx在区间13xff21Fx0ftdt的图ff2

f1O-f1O-123x-fO1x《考 哥10-，考研干货最多的公众平PAGE12《PAGE12《考的，考研干货最多的公众 【答案】yf(xxyxx0所围的图形的代数面积为所求函数F(x)，从而可得出几个方面的特征x0,1F(x0，且单调递减x12F(x)单调递增x2,3时，F(x)为常函数x10F(x0为线性函数，单调递增⑤由于F(x)为连续函结合这些特点，可见正确选项为 A 阵 的伴随矩 3B* 2B* 3A*2A*(C) 3A*2A*(C)OO 【答案】【解析】根据CCCE，若CCC1,C11分块

A O

的行列

A

AB236

B A A A B1 6 6 O O O O 1 3 1B3 2B6 O

O 故答案为

0

P

AP 0 2 P(,,),Q(,

2 1 0 2

1 1 0 0 2 0 0(C) 0 (D) 0 2

2 【答案】 【解析】Q(,,)(,

, QPE12

0

QTAQ[PE(1)]TA[PE(1)]ET(1)[PTAP]E E E E E 0 0 0 0 0 0 设A与B互不相容，

0 P(AB)0 (B)P(AB)P(A)P(B)(C)P(A)1P(B) (D)P(AB)1【答案】【解析】因AB互不相容，所PAB)PABPAB)1PAB)，因PAB)1，所以(A)不正确PAP(B)0时，(B)不成立，故排除只有当A,B互为对立的时候才成立，故排除PABPAB)1PAB)1，故(D)正确设随量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0,1)，Y的概率分布P{Y0}P{Y1}1，记F(Z)为 的间断点个数为 (A) (C)2 FZ(z)PXYzPXYzY0)P(Y0)PXYzY1)P(Y1[P(XYzY0)P(XYzY1)]1[P(X0zY0)P(XzY1)]X,Y

1[P(x0z)P(xz)]z0FZ(z

12

(z)1(12z0为间断点，故选二、填空题：9~14小题，每小题4分24分，请将答案写在答题纸指定位置上eecos 3 31x2

3【答案 e2

e1 31x231x2【解析】 eecos31x231x2

e(1cosx)

ezx

y)x

13

1 3【解析】zxeyxzx0xPAGE17《PAGE17《考的，考研干货最多的公众dzx1x'exln(1x)'exln(1x)ln(1x) 1x-PAGE18的 eln2ln212ln2 2 en n幂级数 n

x的收敛半径 1【答案】e

en【解析】由题意知，an

1n1en11 aan

en1 e e(nn en n 1nen1 e1所以，该幂级数的收敛半径eQQ(P,P的弹性p0.210000件时，价格增加1元会使产品收益增 元【答案】【解析】所求即为QPQP因为

QP0.2，所以QP0.2Q所以QP0.2QQ将Q10000代入有QP8000

0 设

(1,0k)，若矩阵

相似于0 0，则k 0 【答案】

【解析】T相似于 0，根据相似矩阵有相同的特征值，得到T的特征值0 -20-20的23，0，0.而T为矩阵T的对角 和，1k300，k22(14)X1X2XnB(npX分别为样本均值和样本方差，记统计量TXS2，则ET ETE(XS2EXES2npnp(1pnp2三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15（9分f(xyx22y2ylny的极值f(xy2x(2y20f(xy2x2ylny10x0,y f2(2y2),f2x21,f4xy 则f 12(21)，f 0，f exx(0,

yy(0,e(0,e f0而f)2ff xx 二元函数存在极小值f(0,) （16（计算不定积分ln(1 1x (x0)1【解析】 t得x ,dx1t2 (t2ln(1 1x)dxln(1 t2-PAGE21的ln(1t)t2而

1dtt21t1-PAGE22的-PAGE22的t

1dt1t

(11 t t (t 所

1Ct1x 1x

)dx

ln(1t)

1

t1

t2 t 2(t1 1x 1x)1 x1 1x x

xx2（17（D计算二重积分(xy)dxdy，其Dxy)(x1)2y1)22,yxD【解析】由(x1)2y1)22r2(sincos

(xy)dxdy

d

2(sin

(r

r 43

cos 4

(cossin) 0 04

8(cossin)(sincos)(sincos)24

8(cossin)(sincos)311 -PAGE23的-PAGE23的 4

(sincos)444

3（18（-PAGE24的b上连续，在 b上b上连续，在 b上可导， bf(bf(af'(baf(xx0

0)

f'(x)A f(0)f'(0)A f(b)f(a)(xa)，易验证(x)满足b 内可导，'(x)f'(x)

f(b)f.b根 定理，可得在a,b内至少有一点，使'()0， f(b)ff() 0,f(b)b

f(a)f'()(b0 日中值定理可得：存在x0,x00,，使得0 ……f' f(x0 ……x0

f'xA，对上式（*式）x0时的极限可得0f'0limf(x0)f limf'()limf'()0x0 x x00

f(0)f(0)A （19（本题满分10分）设曲线yf(x) f(x)是可导函数， f(x)0.已知曲线f(x)与直线y0,x1xt(t1)x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的t倍，求该曲线的方程. 【解析】旋转体的体积 f(x)dxf(x) s

1-PAGE26的 2dxt tf 2dx Vtsf 1( tf( ( tf( 两边对t求导可得f2 t dx f2

t (t 1( (t (t (t 1(2f(tf(tf(ttf(t)f(t

(2f(t)t)f(t)2f(t) t1，tcy2 2 式中令t1

f2(1)f(1)0,f(t)0,f(1)1，代入tcy2 y3 c ,t

2y)所以该曲线方程为2y

13x0（20（ 设A= 1, 2

2 （Ⅰ）AA2的所有向量， （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2,3，证明1,2,3线性无关A,

1 1 11

1

1 22 1 0 -PAGE28的x1x20x31 0故k10 1 2 1

为任 解方A2 A2

0 0 01 0 A2, 1 02 0 x1,x0A2x0x x0,x1A2x0x 求得特解

1 0 0

1 2故k1 00 ，其中k,k为任意常 20

03 3 （Ⅱ）证明：由1 k21 2kk(2k1)(k

2k(k

k(2k1)1

1 线性无关（21（f(xxx)ax2ax2a1)x22xx2xx 1 2f的矩阵的所有特征值 fy2y2a

a 0 1A A a |EA

0

(

1 a1

a

(a)[(a)(a1)1][0((a)[(a)(a1)(a)[22aa2a (a)(a2)(a 若1a0，则22 ，不符题若30 ，即a1，则110 综上所述，故a2（22（

e 0y设二维 量(X,Y)的概率