数学立体几何多选题的专项培优练习题及答案

数学立体几何多选题的专项培优练习题(及答案一、立体几何多选题1．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上（不含端点）且BEBF，将AED，DCF分别沿DE，DF折起，使A、C两点重合于点A，1则下列结论正确的有（）．A．ADEF1B．当BEBF1BC时，三棱锥ADEF的外接球体积为6π21BEBF1BC时，三棱锥ADEF的体积为217C．当413D．当BEBF14177BC时，点到平面DEF的距离为A14【答案】ACD【分析】A选项：证明AD1面AEF，得ADEF；111AEFD的三条侧棱AD,AE,AF两两相互111B选项：当BEBFBC2时，三棱锥21垂直，利用分隔补形法求三棱锥AEFD的外接球体积；1积法求三棱锥AEFD的体积；C选项：利用等体1D选项：利用等体积法求出点到平面DEF的距离.A1【详解】A选项：正方形ABCDADAE,DCFC由折叠的性质可知：ADAE,ADAF1111又AEAFA111AD面AEF11又EF面AEF，1ADEF1；故A正确.1AEAF2,EF22B选项：当BEBFBC2时，211EF在AEF中，AE2AF，则AEAF2211111ADAE,ADAFA由选项可知，1111ADAE,AF两两相互垂直，,1AEFD1三棱锥的三条侧棱11AEFD放置在长方体中，可得长方体的对角线长为22426，把三棱锥22214的外接球半径为，体积为4AEFD三棱锥386，6R63331B故错误BEBF1BC1时，AEAF3,EF2C选项：当41123232AE2AF2EF8922AEF在中，cosEAF，1112332AEAF11117sinEAF191AEAFsinEAF13317172则AEFS22911111SAD4117217VV3323AEFDDAEFAEF1111C故正确；DAh选项：设点到平面的距离为，则EFD1225252DE2DF2EF在△EFD中，cosEDF224，252DEDF255sinEDF7251DEDFsinEDF15577则SEFD222521S17217hh323V3AEFDDEF1417即h7D故正确；ACD故选：【点睛】方法点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．21．已知图中，、、、ACD是正方形EFGH各边的中点，分别沿着AB、BC、BCD、把、BCG、△CDH、向上折起，△DAEDAABF使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD垂直，再顺次连接EFGH，得到一个如图所示的多面体，则（）2A．AEF是正三角形B．平面AEF平面CGHC．直线与平面AEF所成角的正切值为2CG8AB2时，多面体ABCDEFGH的体积为3D．当AC【答案】【分析】取CD、AB的中点O、M，连接OH、OM，证明出OH平面ABCD，然后以点yxO为坐标原点，OM、OC、OH所在直线分别为、、z轴建立空间直角坐标系，求出EF，可判断A选项的正误，利用空间向量法可判断BC选项的正误，利用几何体的体积公式可判断D选项的正误.【详解】取CD、AB的中点O、M，连接OH、OM，1C在图中点，则中，A、、、D是正方形EFGH各边的BCH1GH1EHDH，22O为CD的中点，OHCD，平面CDH平面ABCD，平面CDH平面ABCDCD，平面CDH，OHOH平面ABCD，22aa0，可得四边形的边长为，ABCD2a1在图中，设正方形EFGH的边长为1BAFDAE45，在图等腰直角三角形，可得中，ADE和ABF均为BAD90，四边形ABCD是边长为2a的正方形，OC//BM且OCBM，且OCB90，O、M分别为CD、AB的中点，则以，OMCD，所以，四边形OCBM为矩形，所以点O为坐标原点，OM、OC、OH所在直线分yx别为、、z轴建立空间直角坐标系，A2a,a,0、B2a,a,0、C0,a,0、D0,a,0、Ea,a,a、F2a,0,a、则Ga,a,aH0,0,a.、AEAFEF2a，A对于选项，由空间中两点间的距离公式可得A所以，AEF是正三角形，选项正确；mx,y,z，AEa,0,aB对于选项，设平面AEF的法向量为，111AF0,a,a，mAEaxaz0mz1，则x1，y1，则1,1,1，由，取11mAFayaz011111CGa,0,aCH0,a,a，，nx,y,z，设平面CGH的法向量为222nCGaxaz0由，取，可得，y1，则n1,1,1，x1222z21nCHayaz0222mn1211110，所以，平面AEF与平面CGH不垂直，选项错误；B2cosCG,mCGm2a62a33，C对于选项，CGm设直线与平面AEF所成角为，则sin6，33，21sin3CGcossincostan所以，2，选项正确；C对于选项，以为底面，以为高将几何体ABCDEFGH补成长方体DABCDOHABCDABCD，则、、AD、AB、BC、CD的中点，11111111EFG、分别为H1111AB2，即，则OH因为1ABCDABCD，长方体的体积为2a1V214，1111V1SAA111211，32AAEF13△AEF1161104463，AAEF1因此，多面体ABCDEFGH的体积为V4VVABCDEFGHD.选项错误AC.故选：【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面即可确定线面角；（2）在构成线面内的射影，角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出hhlsin线面角，则线面角满足（l为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，a设为直线的方向向量，ln为平面的法向sin量，则线面角的正弦值为cosa,n.ABCDABCD31．在棱长为的P底面内（含边界）一点．（）ABCD正方体中，为1111AP3，则满足条件的A．若B．若C．若D．若P点有且只有一个1AP2，则点P的轨迹是一段圆弧1AP//1BDCAP平面，则12长的最小值为11AP2且1AP//1BDCAPC1平面，则平面截正方体外接球所得截面的面积为11123【答案】ABD【分析】ABD//BDCAP//1AB选项，可利用球的截面小圆的半径来判断；由平面平面，知满足111BDC平面的点P在BDAP上，长的1最大值为；结合上以条件点P与B或D重合，2116AP1利用2rsin60，求出r.，进而求出面积3【详解】AP3，知点P在以A为球心，半径为的对A选项，如下图：由3P又因为球上，11AA在底面内（含边界），底面截球可得一个小圆，由1ABCDABCD，P底面知点的轨迹rAP2AA22，则只有唯一一点C上以为圆心的小圆圆弧，半径为1满足，故A正确；A是在底面1rAP2AA21的小圆圆弧上，在BPA对选项，同理可得点在以为圆心，半径为11ABCDP.B底面内（含边界）中，可得点轨迹为四分之一圆弧故正确；BDCPBDC1P对选项，移动点可得两相交的动直线与平面平行，则点必在过且与平面A11BDC11ABD//BDC1AP//BDC1PBD平行的平面内，由平面平面，知满足平面的点在1111上，则长的最大值为2C，则不正确；AP1AB1DPA1对选项，由以上推理可知，点既在以为圆心，半径为的小圆圆弧上，又在线段BDBDB上，即与或重合，不妨取点，则平面截正方体外接球所得截面为的APC1ABC11126,r6,Sr2.D.故正确AB1232r外接圆，利用sin6033ABD故选：【点睛】（）平面截球所得截面为圆面，且满足=1Rrd22（其中为球半径，为小圆半径，rR2d为球心到小圆距离）；AA.定点的动直线平行一平面，则这些动直线都在过且与平行的平面内2（）过ABCA,BCABBC，且ABC，为等腰直角三角形，4．如图，直三棱柱11ACAA2，E，F分别是AC，的中点，，分别是，上的两个动ACDMAABB11111点，则（）A．与一定是异面直线FMBD1的体积为定值4B．三棱锥DMEF．直线与BD所成角为CBC11255DBBFE的外接球体积为．若为中点，则四棱锥16DDAA1CD【答案】【分析】A当特殊情况M与重合有与相交且共面；根据线面垂直、面面垂直判定可证BFMBDBBEFBACCADCSBEFBV面，可知、到面的距离，可求；根据线面11EMF1DEMF面1BCD垂直的判定及性质即可确定与BD所成角；由面面垂直、勾股、矩形性质等确定外11.接球半径，进而求体积，即可判断各项的正误【详解】A：当M与重合时，与相交且共面，错误；BFMBD，ACEF且BEEFEACBEFBAC，则面，又1BBEAC：由题意知：ACCABEFBACCAEFBEFBACCA，所以面面，又面，面面111111111EFBE1211，D到面BEFB的距离为h1，所以S22EMF1VDEMF1hS31，错误；3EMF，1，BBABB，所以面，又BC//BC，即BC⊥ABBACABBCBCBB：由11111BC面，而BD面，则BDBC，正确；11ABBAABBA111111DB：由中，面BEFBACCABEFBBEFB面，即面DEF面，则到面的距离为D11111h1，又为中点，若交点为，DAABF,EB1OOG,GD,OD，则G为EF中点，连接15OGGD，故ODOG2GD2，由矩形的性质知：25OBOEOFOB1，25令四棱锥DBBFE的外接球半径为，则，所以四棱锥RDBBFE的外接球体1R124积为556.，正确3RV3CD.故选：【点睛】关键点点睛：利用线面、面面关系确定几何体的高，结合棱锥体积公式求体积，根据线面.垂直、勾股定理及矩形性质确定外接球半径，结合球体体积公式求体积ABC中，BCDABBC1，，DC2，为EDC中5．在直角梯形ABCD点，现将ADE沿AE2DABCE得到一个四棱锥，则下列命题正确的有（）折起，1最大值为DABCE体积的A．在ADE沿AE折起的过程中，四棱锥3角恒为B．在ADE沿AEC．在ADE沿AE直线AD与BC所成的折起的过程中，异面4折起的过程中，二面角AECD的大小为45DDECECFDBABCE中，当在上的射影恰好为的中点时，与平面．在四棱锥DABCE15所成的角的正切为5【答案】ABD【分析】需要平面DAE平的底面面积是固定值，要使得体积最大，对于A，四棱锥DABCE面ABCE，此时DECE，可求得V1SDE1可判断A；对于B，在33DABCEABCEAE//BC，所以直线AD与AE所成的ADBC异面角即为与ADE沿AE折起的过程中，由翻折前可知DAE可判断B；对于C，利用线面垂直的判定定理，结合翻所成角，4折前可知AE⊥平面DEC，又AE平面ABCE，所以平面DEC平面ABCE，即二面角AECD的在大小为判断C；对于D，利用线面垂直的判定定理可知DF平2面ABCE，所以DBF为直线DB与平面ABCE所成的角，在直角△DFB中，tanDBFDFBF155，可判断D正确；【详解】对于A，ADE沿AE折起得到四棱锥DABCE，由四棱锥底面面积是固定值，要使得体积最大，需要四棱锥的高最大，即平面DAE平面ABCE，此时DECE，由已知得DE1，则V13SDE11111，故A正确；33DABCEABCE对于B，在ADE沿AE折起的过程中，AE//BC，所以异面直线AD与AE所成的角即DAE中点，可知为AD与BC所成角，又ABBC1，DC2，E为DC，即异4面直线AD与BC所成的角恒为，故B正确；4，AEEC,AEED，且ECEDE，则AE⊥平面DEC，对于C，由翻折前知平面ABCE，所以平面DEC平面ABCE，即二面角AECD的大小为又AE，故C错误；2，又DF平面DEC，则，对于D，如图连接DF,BF，由C选项知⊥平面DECAEAEDF，又由已知得ECDF，且ECAEE，则DF平面ABCE，所以DBF为直线DB与平面ABCE所成的角，在直角△DFB中，122122DE2CE132DFBF215tanDBF255，所以DB与平面ABCE11BC2CE1222所成的角的正切为15，故D正确；5ABD故选：【点睛】关键点睛：本题考查立体几何综合问题，求体积，求线线角，线面角，面面角，解题的关键要熟悉几种角的定义，通过平移法找到线线角，通过证垂直找到线面角和面面角，再结合三角形求出角，考查了学生的逻辑推理能力，转化能力与运算求解能力，属于难题.O6．如图，点是正四面体PABC底面ABCO的中心，过点的直线交AC，BC于点M，N，S是棱PC上的点，平面SMN与棱PA的延长线相交于点Q，与棱PB的延长线相交于点R，则（）A．若MN//平面PAB，则AB//RQB．存在点S与直线MN，使PC平面SRQPSPQPR0111D．PQPRPS是常数SC．存在点与直线MN，使【答案】ABD【分析】对于选项A，根据线面平行的性质定理，进行推理判断即可；MN平行于直线AB，SC1BPC时，通过线面垂直的判定定理，证对于选项，当直线3明此时PC平面SRQ，即可证明，存在点S与直线，使PC平面SRQ；MNPSPQPR0，利用线面垂直的判定定对于选项，假设存在点与直线MN，使CS理可证得PC平面PAB，此时通过反证法说明矛盾性，即可判断；1，即可求得PQPRPS是常数.11VOPSRVVDV对于选项，利用SPQROPSQOPQR【详解】A对于选项，若MN//平面PAB，平面SMN与棱PA的延长线相交于点Q，与棱PB的延长线相交于点R,平面SMN平面PAB=RQ，又MN平面SMN，MN//平面PAB，MN//RQ，点O在面ABC上，过点O的直线交AC，BC于点M，N，MN平面ABC，又MN//平面PAB，平面ABC平面PABAB，MN//AB，AB//RQ，A故正确；B对于选项，1C的三等分点，即SCPC，当直线MN平行于直线AB，为线段PC上靠近S3此时PC平面，以下给出证明：SRQ在正四面体PABC中，设各棱长为a，ABC，PBC，△PAC，△PAB均为正三角形，点O为ABC的中心，MN//AB，2性质，易得CNCMa，由正三角形中的3在CNS中，CNa，SC1a，SCN，2333a2acos3由余弦定理得，SN2a，a22a23333334SC2SN2aCN2，则SNPC，29同理，SMPC，又SMSNS，SM平面，平面，SRQSNSRQPC平面SRQ，SRQ平面，SMN与直线，PC存在点使B故正确；C对于选项，PSPQPR0，假设存在点与直线MN，使SK，则PQPR2PK，QR设中点为PSPK，PCPK，即PCABPCPBPAPCPBcosCPBPCPAcosCPA0，PCAB，又易知AB与PK为相交直线，AB与PK均在平面PQR上，PC平面PQR，即PC平面PAB，PABC相矛盾，所以假设不成立，与正四面体C故错误；D对于选项，易知点O到面PBC，面PAC，面PAB的距离相等，记为d，记PC与平面PAB所处角的平面角为，为常数，则也为常数，sinPSsin，则点S到PQR的距离为1PQPRsin3PQPR234又PQRS1PSsinSPSsin3PQPR3PQPRPSsin1VSPQR33412PQR，S1PSPRsin3PSPR，343PSPQ，3PQPR，又PSR2SS12PSPQsin34PSQPQR12PQPRsin343VVOPSRVOPSQVdPSPRPSPQPQPR，12SPQROPQR3PQPRPSsin3dPSPRPSPQPQPR，1212111sin为常数，dPQPRPSD.故正确ABD.故选：【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理，考查了三棱锥体积的计算，考查.转化能力与探究能力，属于较难题了向量的运算，考查了ABCDABCD中，1ABBC1,AA2,P是AB上的一动7．如图所示，在长方体11111()点，则下列选项正确的是35A．DP的最小值为B．DP的最小值为55170APPC的最小值为15CAPPC．的最小值为6D．1AD【答案】【分析】△DABAB上的1ABCDP的最小值，即求底边高即可；旋转所在平面到平面111ABBA，APPC的最小值1.转化为求即可AC11【详解】高，易知ABADAB上的5,BD2，所以△DAB求DP的最小值，即求底边11113高为h5，连接AC,BCAB1ABCAB所在直线为，以轴，将1边上的，得511111C，连接，则即为ABC所在平面旋转到平面ABBA1C1ACAC，设点的新位置为1112所求的最小值，易知AA2,AC2,cosAAC110，1142222(2)170