仅直尺做圆外一点做圆切线

圆外一点做圆切线的作图法（仅直尺利用直尺和圆规过已知圆外一点作这个圆的切线，是一个比较简单的作图问题．但是，如果只利用直尺来完成这个作图问题，想必是中学时候未曾想过的问题事实上这是可以的,下面我们就来说明这样的一个事情:作法：.作圆的三条割线 、 、 ，交点如图示.2连结、交于X连结、交于Y.作直线交圆于、..作直线、，则、就是所求作的圆的切线.那么我们接下来就对其进行证明:首先引入两个引理：先给出一个定理引理1在圆内接六边形 中，若BD・・、则、相交于一点.证明设、相交于G连结G并延长交。于C,再连结＇D．易知△ S4,△Cs^,△s^C所以有

AB_BGCDDGEF_FGDE—DG，~AF—FG，而一BG由之可得ABC'DEF - -=1 ————-DEAFBC'，即AB-CD•EF=FA•BC,DE与已知式子相比较得C'D_BC'CD—"BC即CD•BC'=BCCD 1连结CC′、BD,在园内接四边形BCC'D中，由托勒密定理，得CD•BC'=BCCD+BD-CC' 21 那么可知BD=0即 CC'=0从而可知C、C’两点重合，于是AD、B、C相交于一点.注：托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积两对角线所包矩形的面积等于两组对边乘积之和一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.已知：圆内接四边形ABCD,求证：AC•BD=AB•CD+AD-BC.证明：如上图，过C作CP交BD于P,使N1=N2,又N3=N4,•••△ACDs^bcp.得AC：BC=AD：BP,AC•BP=AD•BC①。又NACB=NDCP,N5=N6,•••△ACBs^dcp.得AC：CD=AB：DP,AC•DP=AB•CD②

①+②得ACBPDP)=AB-CD+AD-BC.IPAC-BD=AB-CD+AD-BC.引理：过。外一点P,任作两条割线PAB和PCD,分别交。于A、B、C、D,AD、BC相交于，则点在自点P向。所引的切线的切点弦上.证明过P作。的切线P、P,、为切点，并作如图连结线，则易知△PA^△P,△PC^△PD△PBDs^pca,AM_PANCPCBDPDMb-PM'DN-PN'CA-PAPM=PNPM2二PD•PC由上面两式可以得到：AMBCBD 1BMDNAC得AM•BD-NC=MB•DN•CA由引理知AD、BC、三线相交于点.因此，点在切点弦上.下面证明我们可以用上面提及的方法作出圆的切线.证明就证明而言，此处我们不妨进行逆推得到上述结论证明就证明而言，此处我们不妨进行逆推得到上述结论设圆的切线、，由引理知E与切点弦交于一点HE与切点弦交于一点H与切点弦交于一点显然得X显然得X、即为圆的切点。小结：此题其实为斯坦纳直尺问题 l圆类问题可谓是中学数学的经典本，题中对几何中的一个将单的尺规作图进行深化，难度虽难大大增加，但仍旧未脱离中学数学生的理解范畴在将来我们以后的教学中，完全可以用这类题来激发学生的兴趣或作为课外的趣味知识题所。以，此类题对于我们来说也有掌握的需要，也算是拓宽自己的视野吧……附：马索若尼圆规问题证明任何可用圆规和直尺所作的图均可只用圆规作出斯坦纳直尺问题证明任何一个可以用圆规和直尺作出的图，如果在平面内给出一个定圆，只用直尺便可作出此处的两个问题被收录到《 个著名初等数学问题》的第 题。四边形 是一个正方形，在 上取一个点，在 上取一个点使得。连接、N与对角线 分别交于 、两点。求证:PQ 三条线段一定能组成一个三角形，并且这个三角形的其中一个角等于60°。其中一种思路就是，借助一些辅助线，在图中弄出一个含60度的三角形来，并说明它的三边长度就是、、。但问题的难点就是，我们上哪儿找一个含60度的三角形？在很多平面几何问题中，把图形扩展到三维空间中去，反而会带来意想不到的突破（可以参见这里和这里）。现在，我们又有了一个绝好的例子。如图，作一个边长与正方形相等的正方体A1B1C-1AD21B2C，2在上截取 ，在上截取 。假设和交于点，和交于。注意到三角形 的三条边都相等，因而它是一个等边三角形，N °。6如果图中阴影三角形的三边长度分别等于 、和，问题就解决了。显然，TOC\o"1-5"\h\z, ,因此我们只需要说明 。容易证明， ， ， ，因此三角形 和三角形全等，于是N Z 另外，容易看出 、 ，而刚才我们已经证明了N N,于是三角形 与三角形全等。于是， 。定理是平面几何中用于判断三点共线的一个常用定理。在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AC、AB所在直线上，若D、E、F三点共线，则有AF/BF•BD/CD•CE/AE=1。定理的证明方法有很多，今天我见到了我所见过的证明方法中最帅