2021年中考数学知识点全集(云南省专版)

2021年中考数学知识点全集（云南省专版）第一章实数一、实数有关的概念：1．数轴(1)定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线，叫做数轴．(2)作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.实数与数轴上的点一一对应。2．相反数(1)定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。(2)实数a的相反数为－a；(3)a与b互为相反数⇔a＋b＝0；(4)几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离相等(5)相反数是本身的数为０3．倒数(1)定义：如果两个数的乘积为1,那么这两个数互为倒数.(2)实数a的倒数是eq\f(1,a)，其中a≠0；(3)a和b互为倒数⇔ab＝1.(4)倒数是本身的数为4．绝对值(1)定义：在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫做这个数的绝对值．记作︱a︱(2)性质：a(a>0)一个正数的绝对值是它本身。①即︱a︱=0(a=0)0的绝对值是0。﹣a(a<0)一个负数的绝对值是它的相反数。②绝对值是a(a>0)的数有两个，它们互为相反数，即±a③绝对值是本身的数为非负数二、实数的分类：1．按实数的定义分类实数eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(有理数\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(整数\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(正整数,零))自然数,负整数)),分数\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(正分数,负分数))\a\vs4\al(有限小数或无,限循环小数))),无理数\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(正无理数,负无理数))无限不循环小数))2、常见有理数类型：（1）开方开不尽的数，如等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o等三、实数的运算1．实数的运算种类有：加法、减法、乘法、除法、乘方、开方六种.（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。②异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用绝对值较大的减去绝对值较小的。③互为相反数的两数相加得0。（2）减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，把绝对值相乘。②任何数与0相乘，积仍为0（4）除法法则：除以一个数就等于乘以这个数的倒数。（5）乘方运算：n个相同因数a的积的运算（即a）（负数）=正数；（负数）=负数。2．有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算律有：(1)、加法交换律(2)、加法结合律(3)、乘法交换律(4)、乘法结合律(5)、乘法分配律 3．在实数范围内运算顺序是：先算乘方(或开方)，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的．同一级运算，从左到右依次进行。四、实数的大小比较方法1．数轴法：数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；2．口决法：正数＞０＞负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。3．作差法：设a、b是任意两个数，若a－b＞0，则a＞b；若a－b＝0，则a＝b；若a－b＜0，则a<b.4．作商法：已知a＞0、b＞0，若eq\f(a,b)＞1，则a>b；若eq\f(a,b)＝1，则a＝b；若eq\f(a,b)＜1，则a<b五、科学记数法、近似数、有效数字1．科学记数法把一个数N表示成a×10n(1≤|a|＜10，n是整数)的形式叫科学记数法．当|N|≥1时，n等于原数N的整数位数减1如：；当|N|＜1且N≠0时，n是一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数位上的零)．如:2．近似数与有效数字一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从左边第一个不为0的数字起，到末位数字为止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字．如：0.004015,有效数字是4,0,1,5.一共四个.又如:0.00401500,有效数字是4,0,1,5,0,0,一共六个.六、常见的非负数有：①︱a︱≥0；②a≥0；③≥0(a≥0)第二章代数式一、代数式１、代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连结成的式子注意：①单独的一个数或字母也是代数式。②判断一个式子是否为代数式关健是否含有＝、＞、＜、≤、≥、符号，含有则不是代数式２．代数式书写要求：(1)数与字母或字母与字母相乘时通常用“”表示或省略不写。但数与数相乘仍用“”(2)数与字母相乘、单项式与多项式相乘时，按照先写数字再写单项式最后写多项式的顺序书写。(3)带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数后再与字母相乘。(4)在代数式中出现除法运算时，按分数的写法来写。(5)如果代数式是单项式，则单位直接写在后面；如果代数式是多项式，则先把代数式用括号括起来再把单位写在括号后面。3．代数式求值常用方法：直接代入法、化简代入法、整体代入法。二、整式（单项式与多项系统称为整式）(一)整式有关的概念1．单项式：数与字母或字母与字母的积所表示的代数式叫做单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。注意：①是数字不是字母，如的系数是，次数是3；是单项式。②单项式的次数是字母的指数和，与系数没有任何关系。如次数是2＋1＝3次，而不是5＋2＋1＝8③单独一个数或字母也是单项式，如都是单项式。2．多项式：几个单项式的和叫做多项式。在多项式中每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项；多项式里次数最高项的次数叫做这个多项式的次数。注意：①像这样的代数式也是多项式,②多项式的项数是指合并完同类项的项数。(二)整式的运算1．整式的加减（整式加减的实质是合并同类项．）(1)同类项与合并同类项同类项：所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项。合并同类项的法则：同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。（常数项是同类项）(2)去括号与添括号：（括号前有“—”要变号；有“+”不变号）①括号前是“＋”号，去掉括号和它前面的“＋”号，括号里的各项都不改变符号；括号前是“－”号，去掉括号和它前面的“－”号，括号里的各项都改变符号．②括号前是“＋”号，括到括号里的各项都不改变符号；括号前是“－”号，括到括号里的各项都改变符号．2．整式的乘法①单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．②单项式与多项式相乘：就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即利用分配律a(b+c)=ab+ac。③多项式与多项式相乘：先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb.④乘法公式：平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2.；完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2.3．整式的除法①单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，其它含有的字母，连同指数作为商的一个因式．②多项式除以单项式，把这个多项式的每一项除以这个单项式，然后把所得的商相加．4．幂的运算①同底数幂相乘：底数不变，指数相加，即a×a=a（m，n为正整数）②幂的乘方：底数不变，指数相乘，即(a)=a（m，n为正整数）③积的乘方：把积的每一个因式分别乘方，再相乘，即(ab)=ab（m，n为正整数）④同底数幂相除：底数不变，指数相减，即a÷a=a（a0，m，n为正整数，m>n）⑤零指数幂：a=1(a0)；⑥负整数指数幂：a==a(a0，p是正整数)(三)因式分解1．因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式。注意：①因式分解的实质是一种恒等变形，是一种化和为积的变形。②因式分解与整式乘法是互逆运算．③在因式分解中每一个因式都必须是整式。如不是因式分解。④因式分解要分到不能再分为止。⑤最后结果能写成幂的形式的应写成幂的形式。2．因式分解的常用方法1)提公因式法：如果一个多项式的各项都含有一个相同的因式，那么这个相同的因式，叫做公因式．用公式可表示为ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)，（注：第一项有负号的连同负号一起提出）（1）确定公因式的方法：（当分子、分母是多项式时，先因式分解）①系数：取多项式各项系数的最大公约数。②字母（因式）：取相同字母(因式)的最低次幂的积（2）常用变形：①(x－y)=(y－x)；②(x－y)=－(y－x)；2)运用公式法：将乘法公式反过来对某些多项式进行分解因式①a－b=（a+b）(a－b)；（平方差公式）②a+2ab+b=(a+b)；（完全平方和公式）③a－2ab+b=(a－b)；（完全平方差公式）注意：运用公式法首先观察项数，若是二项式，应考虑平方差公式；若是三项式，则考虑完全平方公式，然后观察各项的次数、系数是否符合公式特征。3)十字相乘法：（1）形如x+px+q=(x+a)(x+b)的分解步骤：把常数项(q)分解成两个数（ab）的积，使这两个数的和(a+b)等于一次项系数(p)。（2）形如ax+bx+c=（px+m）(qx+n)的分解步骤：把常数项（c）分解成两个数（mn）的积，把二次项系数(a)分解成pq的积，使它们交叉相乘的和（pn+qm）等于一次项系数（b）。4)分组分解法：①分组后能提取公因式；②分组后能用公式。3．因式分解的一般步骤(1)一提：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；(2)二套：如果各项没有公因式，那么尝试套用公式法来分解；(3)三查：分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止．第三章分式(一).分式的有关概念分式（定义）：形如，（B中含有字母且B≠0）。分式的意义：①若B≠0,则分式有意义；②若B=0，则分式无意义。分式的值：①若分式=0则A=0，B≠0。②若分式>0则A>0，B>0或A<0，B<0。③若分式<0则A>0，B<0或A<0，B>0。２．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。（１）=，（２）=（M≠０的整式）3.分式的基本性质应用：①通分：是将几个异分母的分式化成同分母分式分母（通分的关键是确定n个分式的最简公分母）②分式的变号法则：分式的分、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。用公式表示就是：==，==(二).分式的运算1．分式的乘除法：（1）约分：把分子和分母的公因式约去。（注：把分式的分子与分母分解因式再约去公因式）（2）最简分式：分式的分子与分母没有公因式（且分母中不能含有根式）。（3）分式的乘法法则：分式乘以分式，用分子的积做分子，分母的积做分母。×=。（4）分式的除法法则：分式除以分式等于乘以除式的倒数。=×=。(5)分式的乘方：分式的乘方是把分式中分子、分母各自乘方。（）=。2．分式的加减法：（1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减。±=。异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再相加减。±=±=（3）通分的步骤：（分母是多项式时，先因式分解）①确定最简公分母：A．取分母上系数的最小公倍数。B．取所有不同字母(因式)的最高次幂的积为最简公分母②利用分式的性质化成等价的同分母分式。3．分式的混合运算在分式的混合运算中，应先算乘方，再算乘除，进行约分化简后，最后进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．(三).分式的求值分式求值的方法：①先化简，后求值；②由值的形式直接转化成所求的代数式的值；第四章二次根式（一）平方根、算术平方根、立方根1.平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方根）记作.即x=ax=(a0)。性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数。②0的平方根是0。③负数没有平方根。平方根是本身的数为0,2．算术平方根（定义）：正数a的正平方根也叫做a的算术平方根。记作.即x=ax=(a0)。性质：①0的算术平方根是0；②算术平方根是本身的是0、1。立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（或三次方根）记作eq\r(3,a).即x=ax=。性质：①正数的有一个正的立方根。②0的立方根是0。③负数有一个负的立方根。④立方根是本身的是0、+1、—1。（二）二次根式有关的概念1．二次根式：式子eq\r(a)(a≥0)叫做二次根式．注意：（1）被开数a非负，即a0。（2）本身非负数，即0。2．最简二次根式：必须同时满足条件：①被开方数的因数是正整数，因式是整式；②被开方数不含能开的尽方的因数或因式．③分母中不含有二次根式，二次根式中不含有分母。3．同类二次根式：把几个二次根式化成最简二次根式后被开方数相同的几个二次根式（三）二次根式的性质：1.eq\r(a)(a≥0)是非负数；2．(eq\r(a))2＝a(a≥0)；3.eq\r(a2)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa≥0,－aa＜0))；4.eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)；5.eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b＞0)．（四）二次根式的运算（注意：二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式）1．二次根式的加减法：先将各根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式．2．二次根式的乘法：eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)；3．二次根式的除法：eq\f(\r(a),\r(b))＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b＞0)．第五章方程（组）与不等式（组）一、等式与方程1、等式的定义：用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式。2、等式的性质：1）性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式），结果仍是等式。2）性质2：等式两边都乘以同一个数（或式）或除以同一个不为0的数（或式），结果仍是等式3）传递性：若a=b,b=c则a=c.3、方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。4、方程的解：使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。5、解方程：求方程解的过程也叫做解方程。二、一元一次方程1、一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是一次的整式方程一元一次方程的一般式：2、解一元一次方程的步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（化成最简方程（5）将未知数的系数化为1，得出方程的解三、一元二次方程1、一元二次方程的定义：只含有同一个未知数，并且含未知数项的最高次数是2的整式方程2、一元二次方程的一般式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．其中叫做二次项，叫做一次项，c叫做常数项，a叫二次项系数，b叫一次项系数。3、一元二次方程的解（或根）：使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值。4、一元二次方程的解法：1）．直接开平方法：如果x2＝a(a≥0)，则x＝±eq\r(a)，则x1＝eq\r(a)，x2＝－eq\r(a).2）．配方法：①把方程化为ax+bx+c=0(a0)的形式。②把二次项的系数化为1。(可用提公因式或等式的性质)③在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方,配成完全平方式。④利用公式a2ab+b=(ab)后，再用开平方法。．公式法：=1\*GB3①把方程化为ax+bx+c=0(a0)的形式，确定a、b、c的值。b-4ac>0方程有两个不相等的实根②用b2－4ac判断是否有解b-4ac=0方程有两个相等的实根b-4ac<0方程无实数根③再代入公式x=4）、因式分解法：把方程因式分解化为A×B=0的形式，则A=0或B=0再求解。5、一元二次方程根与系数的关系1）若一元二次方程ax+bx+c=0(a0)的两个根是x,x，则x+x=－；x．x=2）以，为根的一元二次方程（二次项的系数为1）是四、分式方程1、分式方程定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。2、分式方程的解法：①基本思想：将分式方程转化成整式方程。②常用方法：去分母法或换元法3、解分式方程的步骤：①去分母，转化为整式方程②解整式方程③验根4、分式方程的增根：在方程变形时，是使分式方程中分母为0的根。5、分式方程的检验方法：1）．利用方程的解的定义进行检验。2）．把根代入最简公分母，为0是方程的增根（舍去），不为0是方程的根。五、二元一次方程（组）1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的整式方程2、二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值。3、二元一次方程组的定义：含有两个未知数的两个一次方程所组成的方程组。4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解。5、二元一次方程组的解法：（1）代入法（步骤）：①将其中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来。②代到另一个方程中，消去一个未知数。③求出一个未知数的值，再代到另一个方程中求出另一个未知数的值。（2）加减法（步骤）：①同一个未知数的系数相等（用减法）或系数互为相反数（用加法）。②系数既不相等也不互为相反数的，两边同乘适当的数，使其中一个未知数的系数相等（用减法）或互为相反数（用加法）。（3）图象法：将两个方程转化为一次函数并画出它们的图象求其交点。六、一元一次不等式（一）不等式基本概念和它的基本性质：1、不等式：用不等号连接起来的式子（不等号是≤、≥、≠、＜、＞）2、不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体叫做不等式的解集．4、解不等式：求不等式解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式．5、不等式的基本性质：①不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。即若a＜b，则a＋c＜b＋c(或a－c＜b－c)；②不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。即若a＜b，且c＞0，则ac＜bc(或eq\f(a,c)＜eq\f(b,c))；③不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。即若a＜b，且c＜0，则ac＞bc(或eq\f(a,c)＞eq\f(b,c))．（二）一元一次不等式1、定义：不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，系数不等于零且不等式两边都是整式．其一般形式为ax＋b＜0或ax＋b＞0(a≠0)．2、解一元一次不等式的基本步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项,系数化为1.七、一元一次不等式组1．定义：类似于方程组，把几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来。2．解集：几个不等式的解集的公共部分叫做由它们所组成的不等式组的解集．3．一元一次不等式的解法：解不等式组先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再求出它们的公共部分。注：两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集可见下表(其中a＜b)：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，有等号，画实心点，无等号>，<画空心圈八、方程及不等式的应用1、数字问题．(包括日历中的数字规律)①设个位数字为c，十位数字为b，百位数字为a，则这个三位数是100a＋10b＋c；②日历中前后两日差1，上下两日差7.2、打折销售问题：①利润＝售价－成本；②利润率＝eq\f(利润,成本)×100%.3、行程问题：路程=速度×时间①追及问题：速度差×时间=相距路程②相遇问题：速度和×时间=相距路程③航行问题：顺风（水）：;逆风（水）：④环形跑道问题：同向而行；反向而行4、储蓄问题．①利息＝本金×利率×期数；②本息和＝本金＋利息＝本金×(1＋利润×期数)；③利息税＝利息×利息税率；④贷款利息＝贷款数额×利率×期数．5、工作（或工程）问题：①基本数量关系：工作量=工作效率×工作时间（工作总量常设为1）②寻找思路方法：各部分工作量之和等于1。6、比例问题：①基本数量关系：甲：乙：丙=a:b:c②寻找思路方法：常带着比例数字设未知数。第六章函数及其图象一、平面直角坐标系与位置的确定（一）平面内点的坐标1．(1)平面内的点可以用一对有序实数来表示．例如：点A在平面内可表示为A(a，b)，其中a表示点A的横坐标，b表示点A的纵坐标(2)平面内的点和有序实数对是一一对应的关系，即平面内的任何一个点可以用一对有序实数来表示；反过来每一对有序实数都表示平面内的一个点．(3)有序实数对表示这一对实数是有顺序的，即(1,2)和(2,1)表示两个不同的点．2．平面内点的坐标规律(1)各象限内点的坐标的特征点P(x，y)在第一象限⇔x＞0，y＞0；点P(x，y)在第二象限⇔x＜0，y＞0；点P(x，y)在第三象限⇔x＜0，y＜0；点P(x，y)在第四象限⇔x＞0，y＜0.(2)坐标轴上的点的坐标的特征（注：坐标轴上的点不在任何象限。）点P(x，y)在x轴上⇔y＝0，x为任意实数；点P(x，y)在y轴上⇔x＝0，y为任意实数；点P(x，y)在坐标原点⇔x＝0，y＝0.（二）特殊点的坐标特征1．(1)平行于x轴(或垂直于y轴)的直线上点的纵坐标相同，横坐标为不相等的实数．(2)平行于y轴(或垂直于x轴)的直线上点的横坐标相同，纵坐标为不相等的实数．2．各象限角平分线上的点的坐标特征(1)第一、三象限角平分线上的点，横、纵坐标相等．(2)第二、四象限角平分线上的点，横、纵坐标互为相反数．3．对称点的坐标的特征点P(x，y)关于x轴的对称点P1的坐标为(x，－y)；关于y轴的对称点P2的坐标为(－x，y)；关于原点的对称点P3的坐标为(－x，－y)．平移：在平面直角坐标系中，将点（x，y）平移的特征（三）两点间的距离公式轴上两点、间的距离为：轴上两点、间的距离为：、两点间的距离为：点到轴的距离为；到轴的距离为；到原点的距离为：（四）确定物体位置的方位1．平面内点的位置用一对有序实数来确定．2．方法：(1)平面直角坐标法（有序数对法）(2)方向角和距离定位法（方位法）3．无论在平面内用何种定位法确定点的位置，一定要注意用两个数据表示。二、函数及其图象（一）函数定义及其图象1．函数的概念(1)在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，有些数值是始终不变的，称为常量．(2)在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x在其取值范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说，x是自变量，y是x的函数．(3)用来表示函数关系的数学式子，叫做函数解析式或函数关系式．2．函数的表示法及自变量的取值范围(1)函数有三种表示方法：解析法，列表法，图象法，(2)函数解析式表示实际问题或几何问题时，其自变量取值范围必须符合实际意义或几何意义．3．函数的图象：对于一个函数，把自变量x和函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标在平面内描出相应的点，组成这些点的图形叫这个函数的图象．(1)画函数图象，一般按下列步骤进行：列表、描点、连线．(2)图象上任一点的坐标是解析式方程的一个解；反之以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数图象上．4.自变量的取值范围的确定方法整式分式二次根式含有分式和二次根式取实数分母不为零的实数被开方数是非负数取它们的公共部分（二）、正比例函数：1．正比例函数的解析式：（正比例函数是一次函数的特殊形式)2．正比例函数的图像是经过(0,0)、(1,k)这两点的一条直线。3．性质：当k>0时，它的图像经过一、三象限；y随x的增大而增大；当k<0时，它的图像经过二、四象限；y随x的增大而减小。(三)、一次函数：1．一次函数的解析式：形如y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）,那么y叫做x的一次函数。（当k≠0，b＝0时是正比例函数）2．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(－eq\f(b,k)，0)的一条直线．3．一次函数的性质：当k＞0时，y随x的增大而增大，图象一定经过第一、三象限；当k＜0时，y随x的增大而减小，图象一定经过第二、四象限．（注：b＞0时向上移，b<0时向下移）4．正比例函数与一次函数的图象表达式y=kxy=kx+by=kxy=kx+bk的符号k>0k<0b的符号b=0b>0b<0b=0b>0b<0图象5、图象的位置（1）直线与直线平行则;（2）直线与直线垂直则,6、图象的平移：（1）直线若向左平移m个单位得到直线；（2）若向右平移m个单位得到直线；（3）若向上平移m个单位得到直线；（4）若向下平移m个单位得到直线(四)、反比例函数：形如y=(k是常数，k0)的函数。1．反比例函数的解析式：y＝eq\f(k,x)或y＝kx－1或xy=k，（其中k叫做比例系数（k≠0），自变量取值范围为的任何实数。）2．反比例函数的性质：当k>0时，图像两个分支分别在一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当k<0时，图像两个分支分别在二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大；3．反比例函数图像：k的符号k>0k<0图象性质函数图象位于第一、三象限内，y随x的增大而减小。函数图象位于第二、四象限内，y随x的增大而增大。反比例函数的图形是双曲线，它沿着x轴y轴无限延伸但不与坐标轴相交。反比例函数图象是关于原点对称，是轴对称图形，对称轴是y=±x；也是中心对称图形4．反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)中k的几何意义：双曲线y＝eq\f(k,x)(k≠0)上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形面积是横、纵坐标的积。即S=︱k︱（S△OPA＝＝eq\f(1,2)|xy|＝eq\f(1,2)|k|）（五）、二次函数：形如y=ax+bx+c=0（a、b、c为常数，a0）的函数。1、二次函数中，的含义：（1）表示开口方向：>0时，抛物线开口向上；<0时，抛物线开口向下（2）与对称轴有关：对称轴为x=（3）表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，）2、二次函数图象的平移变换（平移顺序：上加下减,左加右减）由抛物线y=ax2经过平移得到抛物线y=a（x-h）2+k（a≠0）①将y＝ax2向上移动k个单位得：y＝ax2＋k，

②将y＝ax2向左移动h个单位得：y＝a（x＋h）2，

③将y＝ax2先向上移动k（k＞0）个单位，再向右移动h（h＞0）个单位，得函数y＝a（x－h）2＋k的图象.=4\*GB3④二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（h、k）；=5\*GB3⑤求对称轴是令x-h=0得对称轴x=h3、二次函数的图象及性质解析式①一般式：y=ax+bx+c=0(a0)②顶点式：y=a(x－h)+k(a0)，其中二次函数的顶点坐标是（h、k）③交点式：y=a(x－x)(x－x)(a0)，其中x，x为抛物线与x轴交点的横坐标。y=ax(a0)y=ax+bx+c配方法得y=a(x+)+a的符号a>0（开口向上）a<0（开口向下）a>0（开口向上）a<0（开口向下）图象增减性a>0，x<，y随x的增大而减小；x>，y随x的增大而增大。a<0，x<，y随x的增大而增大；x>，y随x的增大而减小。对称轴顶点最值二次函数y=ax+bx+c=0的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=顶点是（，）；当x=时，存在y=。二次函数图象与x轴的交点当二次函数的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值（即一元二次方程ax+bx+c=0的根）①b-4ac>0，抛物线与x轴有两个交点②b-4ac=0抛物线与x轴有一个交点③b-4ac<0抛物线与x轴没有交点4、五点法画二次函数图像：这五点分别为顶点（h,k），与x轴的两个交点(，与y轴的交点（0，c）以及这一点关于对称轴的对称点(。第七章图形的认识1．直线、射线、线段：图形线段射线直线表示方法（1）用一个小写字母；（2）用两个大写字母。区别线段有两个端点，不能向任何一方延伸，线段可以向两方向延长。射线有一个端点，向一方无限廷伸；射线只能反向延长。直线无端点，向两方无限延伸；直线不能延长。联系射线、线段都是直线的一部分。线段的中点把一条线段分成两条相等线段的点。两点的距离连接两点的线段的长度（两点之间，线段最短）。点到直线的距离从直线外一点到这条直线的垂线段的长度（垂线段最短）。直线公理过两点有且只有一条直线。点与直线的位置关系:（1）点在直线上，（2）点在直线外。角：角有公共端点的两条射线组成的图形。角的表示方法：用符号“∠”表示①用三个大写字母来表示，强调顶点字母写在中间。②用一个大写字母表示，强调顶点处只有一个角时。③用一个数字或希腊字母来表示。角的比较和画法与线段的比较和画法相类似。角的平分线一条射线把一个角分成两个相等的角。角按大小分类①锐角（0<a<90°）。②直角（a=90°）。③钝角（90°<a<180°）。角的度量1°=60′；1′=60″（大单位小单位）角的特征①互为余角：两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角。②互为补角：两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角。角平分线①性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。②逆定理：到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上。3．相交线：相交线同位角内错角同旁内角对顶角邻补角垂线图形同位角处于两条直线及第三条直线的同侧位置的角叫做同位角内错角处于两条直线之间及第三条直线异侧的角叫做内错角同旁内角处于两条直线之间及第三条直线同侧位置的角叫做同旁内角对顶角由两条直线相交且有一个公共点，没有公共边的两个角（特征：对顶角相等）邻补角由两条直线相交得到的，不仅有一个公共点，而且还有一条公共边的两个角垂线当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。垂线性质过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。②垂线段最短。中垂线①性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．②逆定理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的中垂线上。4．平行线（定义）：在同一平面内，不相交的两直线。记作：“∥”。（1）平面内两直线的位置关系：相交或平行。（2）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。（3）平行线的性质：①两直线平行同位角相等；②两直线平行内错角相等；③两直线平行同旁内角互补；④一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直；⑤两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等。（4）平行线的判定：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．④平行于同一条直线的两直线平行；⑤同垂直于一条直线的两直线平行。第八章三角形1．三角形的定义：由三条线段首尾顺次相接所围成的平面图形，叫做三角形．2．性质：边：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．角：①三角形的内角和是180°，②三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，③三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角．3．三角形的相关概念和性质：三角形的中线：连接一个顶点和它所对的中点的连线段。AD是的中线三角形的高线：从三角形一个顶点向它对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段。三角形角平分线：一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角顶点和交点的线段。AD平分1、定义：有两边相等的三角形叫等腰三角形。2．性质：①等腰三角形两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等；③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合，简称“三线合一”3．判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形；②有两角相等的三角形是等腰三角形．1．定义：有三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。2．等边三角形性质：等边三角形的各边相等、各角相等，并且每一个角都等于60。3.判别方法：(1)三边相等的三角形是等边三角形。(2)三个角都相等的三角形是等边三角形。(3)有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。勾股数:3、4、56、8、105、12、131．定义：有一个角为直角的三角形叫做直角三角形。2．直角三角形的性质：(1)直角三角形的两锐角互余。(2)30°角所对的直角边等于斜边的一半。(3)斜边上的中线等于斜边的一半。(4)勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。3判别方法：(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形。(2)两锐角互余的三角形是直角三角形。(3)三角形三边长a,b,c满足a+b=c,这个三角形是直角三角形.(4)三角形一边上的中线等于这边的一半，这个三角形是直角三角形.4．全等三角形：全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．性质全等三角形的对应边相等，对应角相等。判别方法(1)SAS(2)ASA(3)AAS(4)SSS(5)HL图形(1)SAS（边角边）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(2)ASA（角边角）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(3)AAS（角角边）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。(4)SSS（边边边）有三边对应相等的两个三角形全等。(5)HL（直角边、斜边）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。5、定义、命题、定理、公理与证明1)．定义是能明确指出概念含义或特征的句子，它必须严密．2)．命题：判断一件事情的语句．①命题由题设和结论两部分组成．②命题的真假：正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．③互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题称为互逆命题．每一个命题都有逆命题3)．定理：经过证明的真命题叫做定理．因为定理的逆命题不一定都是真命题，所以不是所有的定理都有逆定理．4)．公理：有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据，这样的真命题叫公理．5)．证明：根据题设、定义、公理及定理，经过逻辑推理来判断一个命题是否正确，这一推理过程称为证明．6)．证明的一般步骤：①审题，找出命题的题设和结论；②由题意画出图形，具有一般性；③用数学语言写出已知、求证；④分析证明的思路；⑤写出证明过程，每一步应有根据，要推理严密．第九章四边形与多边形一、多边形1、n边形的内角和为180（n-2）度，外角和为3602、从n边形的一个顶点出发可以引出(n－3)条对角线，共有条对角线3、图形的镶嵌：正多边形镶嵌问题的关键是几个多边形的同一顶点的几个角之和等于360二、四边形1.平行四边形（定义）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。1.平行四边形性质：(1)平行四边形的对边平行且相等；(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；(3)平行四边形的对角线互相平分；S=ah(底×高)2.判别方法：（1）两组对边分别平行(或相等)的四边形是平行四边形。（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。2．矩形（定义）：有一个角是直角的平行四边形是矩形。1.矩形的性质：（具有平行四边形的所有性质）(1)矩形对边平行且相等；(2)矩形的四个角都是直角；(3)矩形的对角线互相平分且相等；2.判别方法：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。（2）有三个角是直角的四边形是矩形。（3）对角线相等的平行四边形是矩形。3．菱形（定义）：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。1.菱形的性质：（具有平行四边形的所有性质）(1)菱形的四条边都相等且对边平行，(2)菱形的对角相等，邻角互补；(3)菱形对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；(4)菱形的面积为对角线积的一半。S=ah对角线积的一半2.判别方法：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。（2）四条边都相等的四边形是菱形。（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。（或对角线互相平分且垂直的四边形是矩形）．4．正方形（定义）：有一个角是直角的菱形是正方形或有一组邻边相等的矩形是正方形．1.正方形的性质：（具有平行四边形的所有性质）(1)正方形四条边都相等；(2)正方形四个角都是直角；(3)正方形两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．2.判别方法：（1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。（2）有一组邻边相等的矩形是正方形。（3）有一个角是直角的菱形是正方形。5．等腰梯形（定义）：两腰相等的梯形是等腰梯形；1.等腰梯形性质：(1)等腰梯形的两腰相等，两底平行；(2)等腰梯形在同一底边上的两个角相等；(3)等腰梯形的对角线相等；S=(a+b)h=Lh(L是中位线)2.判别方法：（1）两腰相等的梯形是等腰梯形。（2）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。（3）对角线相等的梯形是等腰梯形6.梯形（定义）：一组对边平行，而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．1.梯形中位线；(1)定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线．(2)性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。(3)判定：经过梯形一腰中点与底平行的直线必平分另一腰；三角形的中位线（定理）梯形的中位线（定理）S梯形＝eq\f(1,2)(上底＋下底)×高＝中位线×高三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。7、梯形常见的辅助线1．基本思路：梯形问题eq\o(――→,\s\up7(转化),\s\do5(分割、拼接))三角形或平行四边形．2．常见辅助线的作法：第十章圆一、圆的有关概念1．圆的定义：到定点(圆心)的距离等于定长（半径）的点的集合。点和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点到圆心O的距离为d，则有：①点在圆外d>r；②点在圆上d=r；③点在圆内d<r；２．与圆相关的概念：①弦：连接圆上任意两点的线段。②直径：经过圆心的弦或圆中最长的弦。③圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。④半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧。⑤弓形：由弦及其所对的弧组成的图形。⑥同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆。⑦等圆：能够重合的两个圆或半径相等的两个圆。⑧等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧。3、垂径定理及推论垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论1：①平分弦的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。4．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。圆心角（定义）顶点在圆心的角。（如：∠AOB）（圆心角的度数与它所对的弧的度数相等）弦心距（定义）从圆心到弦的距离。(如：ＯＣ)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等；(4)两条弦的弦心距相等．四项中有一项成立，则其余对应的三项都成立．5．圆周角（定义）：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。(∠ABC=∠BOC)推论1同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。6．三角形的外接圆、内切圆、重心。区别：外心内心重心三边垂直平分线的交点三个内角的平分线的交点三边中线的交点图形性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等；三角形的内心到三角形三边的距离相等。7．切线定理与切线长定理。（1）圆的切线经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线.切线定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。（2）点到圆的切线长在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长。切线长定理：从圆外一点的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。二、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离。如果⊙O的半径为r，圆心O到直线L的距离为d，那么：直线L和⊙O相交d<r；直线L和⊙O相切d=r；直线L和⊙O相离d>r；圆的割线圆的切线直线和圆相离三、圆和圆的位置关系：设两圆的半径分别为R和r,圆心距为d，(R>r)则：相交相切相离两圆相交两圆外切两圆内切两圆外离两圆内含R-r<d<R+rd=R+rd=R-rd>R+rd<R-rd=0四、圆周长、弧长、圆和扇形的面积圆周长和面积弧长扇形的面积圆柱圆锥C=2rS=RL=R；S=R=LRS=2rhS=RL五、阴影部分面积计算解题思路把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积。常用方法（1）直接用公式求解。（2）将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解。（3）将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解。（4）将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解。（5）将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解。第十一章视图与变换一、常见的图形：（一）立体图形：如：圆柱、圆锥、球、棱柱、长方体、正方体等。（1）视图：①主视图：从正面看到的图。②俯视图：从上面看到的图形。③侧（左、右）视图：从侧面看到的图。（注：看得见的轮廓画实线，看不见的轮廓画虚线。）（2）平面展开图。（3）截几何体所成的截面。（4）投影现象：①中心投影：由点光源光线所形成的投影。②平行投影：由平行光线（太阳光）所形成的投影（包括正投影）。如：在太阳光下，同一时刻物高之比等于影长之比。一天中物体影子的方向是正西到正北到正东。（二）平面图形：在同一平面内，由点与线（直线或曲线）所组成的图形。二、图形的变换平移变换（定义）：在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．平移的特征：1．确定一个平移运动的条件：是平移的方向和距离．2．平移性质：①平移不改变图形的形状与大小，即平移后所得的新图形与原图形全等；②连结各组对应点的线段平行且相等；③对应线段平行且相等；对应角相等2、旋转变换（定义）：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个角度，这样的图形运动称为旋转．这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角．旋转的特征：1、旋转的条件：图形的旋转是由旋转中心、旋转方向和旋转角度确定的．2、旋转的性质：①旋转变换不改变图形的形状与大小，即平移后所得的新图形与原图形全等②对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角。③对应点到旋转中心的距离相等．3．轴对称和轴对称图形轴对称（定义）：把一个图形沿一条直线翻折，它能够与另一个图形重合的两个图形。轴对称图形（定义）：把一个图形沿一条直线对折，直线两旁能够互相重合的一个图形。轴对称的性质：①对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段。②对应线段相等，对应角相等。4中心对称和中心对称图形中心对称：把一个图形绕某一点旋转180，它能够与另一个图形重合的两个图形中心对称图形的性质：①成中心对称的两个图形是全等图形。②对称点的连线都经过对称中心并且被对称中心平分，对应线段平行或在同一直线上且相等．中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°后能与自身重合的一个图形。判断两个图形关于一点对称的方法：如果两个图形对应点的连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。第十二章相似三角形一、比例线段：在四条线段a、b、c、d中，若a与b的比等于c与d的比，（即=）则称这四条线段是成比例线段。（1）b和c叫做内项，a和d叫做比例外项。（2）若，则b叫做a与c的比例中项（3）比例基本性质：①基本性质：=ad=bc；②等比性质：==；③合比性质：==…==（b+d+…+n≠0）二、黄金分割：如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB（AC>BC）且使那么称线段AB被点P黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，线段AP与AB的比叫做黄金比。其中AP=AB≈0.618AB三、相似三角形：如果两个三角形的各角对应相等，各边对应成比例，那么这两个三角形相似．图形相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例。（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形周长比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。判别方法（1）两角对应相等的两三角形相似。（∠A=∠D,∠B=∠E）（2）两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似。（=,∠B=∠E）（3）三边对应成比例的两三角形相似。（==）四、相似多边形：1）性质：相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长之长等于相似比、面积之比为相似比的平方2）判定：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。第十三章三角函数一、锐角三角函数定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据sinA＝eq\f(∠A的对边,斜边)，cosA＝eq\f(∠A的邻边,斜边)，tanA＝eq\f(∠A的对边,∠A的邻边)，cotA＝eq\f(∠A的邻边,∠A的对边).二、特殊角的三角函数值：三、锐角三角函数的增减性：在00到900的范围内，sinα与tanα的值随α的增大而增大；cosα和cotα随α的增大而减小；四、同一锐角的三角函数关系：（1）（2）（3）（4）五、互为余角的三角函数关系：α与β互余(1)sinα=cos(900-α)=cosβ(2)cosα=sin(900-α)=sinβ(3)tanα=cot(900-α)=cotβ(4)cotα=tan(900-α)=tanβ六、锐角α的三角函数的取值范围0<sinα<10<cosα<1tanα>0cotα>0七、解直角三角形：在Rt△ABC中（1）三边之间的关系：a2+b2=c2（2）锐角之间关系：∠A+∠B=900（3）边与角之间的关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=ctgB=，cotA=tanB=八、解直角三角形的应用问题：1．仰角、俯角：如图①，测量时，视线与水平