2020届高考数学第三单元导数其应用第17讲导数在函数中应用-极值与最值练习理新人教A版

第17讲导数在函数中的应用——极值与最值1．(2016·四川卷·文)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则＝(D)aA．－4B．－2C．4D．2由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，所以当x＜－2或x＞2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0，所以所以

f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)f(x)在x＝2处获得极小值，所以a＝2.

上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．x2．函数

f(x)＝

x在[0,1]

上的最大值为

(B)e1A．0B.e2C．eD.e由于

f′(x)＝

ex－xexx2＝

1－xex≥0在[0,1]

上恒建立，所以

f(x)在[0,1]

上为增函数，1所以当x＝1时，f(x)有最大值e.3.(2018·广州一模)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处的极值为10，则数对(a，b)为(C)A．(－3，3)B

．(－11，4)C．(4，－11)D

．(－3，3)或(4，－11)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由条件

f′（1）＝0，即f（1）＝10，

3＋2a＋b＝0，a＋b＋a2＝9，解之得

a＝－3，b＝3，

或

a＝4，b＝－11.查验a＝－3，b＝3时，′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，a＝4，此时f(x)在(－∞，＋∞)上单一递加，无极值．故b＝－11.4．(2017·安徽二模)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则以下图象不行能为．．．

y＝f(x)的图象的是

(D)令g(x)＝f(x)ex，则g′(x)＝f′(x)ex＋f(x)ex，由于x＝－1为函数g(x)的一个极值点，所以g′(－1)＝f′(－1)e－1＋f(－1)e－1＝0，所以f′(－1)＝－f(－1)，D选项中，f(－1)>0，所以f′(－1)＝－f(－1)<0，这与图象不符，应选D.5．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为、，则MmM－m＝32.由f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝±2，又f(3)＝－1，f(－3)＝17，f(2)＝－8，f(－2)＝24，所以M＝24，m＝－8，故M－m＝32.6．若函数f(x)＝x3＋32＋3(＋2)x＋1有极值，则a的取值范围是(－∞，－1)∪axa(2，＋∞).由于y′＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，由于y＝(x)有极值，所以方程32＋6＋3(a＋2)＝0有两个不等的实根，所以>0，fxax即36a2－36(a＋2)>0，即a2－a－2>0，解得a>2或a<－1.7．(2017·北京卷)已知函数f(x)＝excosx－x.求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；π(2)求函数f(x)在区间[0，2]上的最大值和最小值．所以

x(1)由于f(x)＝ecosx－x，xf′(x)＝e(cosx－sinx)－1，f′(0)

＝0.又由于

f(0)

＝1，所以曲线

y＝f(x)在点(0，f(0))

处的切线方程为

y＝1.(2)设h(x)＝ex(cosx－sinx)－1，则′( )＝ex(cos－sin－sinx－cosx)＝－2exsinx.hxxx当x∈(0，π)时，′( )＜0，2hxπ所以h(x)在区间[0，2]上单一递减．所以对随意x∈(0，π]有()＜(0)＝0，即f′( )＜0.2hxhx所以函数f(x)在区间[0，π]上单一递减．2πππ所以f(x)在区间[0，2]上的最大值为f(0)＝1，最小值为f(2)＝－2.8．(2017·广州五校协作体一诊)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有极值，则实数a的取值范围是(A)11A．(－∞，2)B．(0，2)11C．(－∞，2]D．(0，2]f(x)＝x(lnx－ax)＝xlnx－ax2(x>0)，′( )＝lnx＋1－2ax.令(x)＝lnx＋1－2，fxgax由于f()＝(lnx－ax)有极值，则()＝0在(0，＋∞)有实根，1a＝′( )＝－2xxgxgxx1－2ax，x当a≤0时，g′(x)>0，函数g(x)在(0，＋∞)内单一递加，当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→＋∞，故存在x0∈(0，＋∞)，使得f(x)在(0，x0)内单一递减，在(x0，＋∞)内单一递加，故f(x)存极小值f(x0)，切合题意．1当a>0时，令g′(x)＝0，得x＝2a.1当0<x<2a时，g′(x)>0，函数g(x)单一递加，当x>1时，g′(x)<0，函数g(x)单一递减，2a1所以x＝2a时，g(x)获得极大值，由于当x→0和x→＋∞时，均有g(x)→－∞，要使g(x)在(0，＋∞)有实根，且f(x)有极值，111则g(2a)＝ln2a>0，解得0<a<2.1综上可知，实数a的取值范围是(－∞，2)．9．(2018·江苏卷)若函数f(x)＝23－ax2＋1(∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，xa则f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和为__－3__．′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)(x>0)．①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上递加，又f(0)＝1，所以f(x)在(0，＋∞)上无零点．a②当a>0时，由f′(x)>0解得x>，3a由f′(x)<0解得0<x<3，aa所以f(x)在(0，3)上递减，在(3，＋∞)上递加．a3又f(x)只有一个零点，所以f(3)＝－27＋1＝0，所以a＝3.此时f(x)＝2x3－3x2＋1，f′(x)＝6x(x－1)，当x∈[－1，1]时，f(x)在[－1，0]上递加，在[0，1]上递减．又f(1)＝0，f(－1)＝－4，所以f(x)max＋f(x)min＝f(0)＋f(－1)＝1－4＝－3.10．设函数f(x)＝(2－a)x－2ln(1＋x)，此中0<a<2，求函数f(x)在[0,3]上的最小值．由于′( )＝2－－2－ax－a＝1＋x(>－1)．fxa1＋xxa由于0<a<2，所以2－a>0，令f′(x)＝0，得x＝2－a.a3aa当0<2－a<3，即0<a<2时，f(x)在[0，2－a)上为减函数，在(2－a，3]上为增函数，a2所以f(x)min