第四章几何图形初步44.3余角和补角

4.3.3余角和补角★余角、补角的概念 如果两个角的和等于90°(直角)，那么这两个角互为

； 如果两个角的和等于180°(平角)，那么这两个角互为

.

注：互为补角和互为余角的角主要反映角的数量关系，而不是角的位置关系.两个互余或互补的角不一定有公共边和公共顶点.余角补角★余角、补角的性质 等角的余角

； 等角的补角

.★方位角 在航海、航空、测绘中，经常会用到一种角，它是表示方位的角，叫做方位角.通常以正北、正南方向为准，描述物体运动的方向.通常要先写北或南，再写偏东还是偏西，顺序不要乱了.相等相等例1如图4-3-28，AB是直线，O是AB上一点，∠AOE是直角，∠FOD=90°，OB平分∠DOC，则图中与∠DOE互余的角有哪些？与∠DOE互补的角有哪些？

分析：由∠FOD=90°，则∠EOF是∠DOE的余角，不难看出∠BOE=90°，故∠BOD也是∠DOE的余角.再注意∠BOC=∠BOD，则∠BOC也是∠DOE的余角，注意∠AOE=∠FOD，则∠DOE=∠AOF，不难发现∠BOF+∠AOF=180°，故∠BOF是∠DOE的补角，由同角的余角相等，有∠EOF=∠BOC，故∠EOC=∠BOF，∴∠EOC也是∠DOE的补角.解：∵∠BOE是直角，即∠DOE+∠BOD=90°，∴∠BOD与∠DOE互余.∵OB平分∠DOC，∴∠BOC=∠BOD，∴∠BOC与∠DOE互余.∵∠FOD=90°，即∠FOE+∠DOE=90°.∴∠EOF与∠DOE互余.∵∠AOF+∠EOF=90°，∠EOF+∠DOE=90°，∴∠DOE+∠BOF=180°，∴∠BOF与∠DOE互补.又由同角的余角相等，∴∠EOF=∠BOC.∵∠EOC=∠BOF，∴∠EOC+∠DOE=180°，∴∠EOC与∠DOE互补.1.如图4-3-29，点O在直线AB上，已知∠AOC=∠BOC，若∠1=∠2,则图中互余的角共有( ) A.2对

B.3对

C.4对

D.5对C2.下列说法中正确的是( ) A.一个锐角的余角比这个角的补角小90° B.如果一个角有补角，那么这个角必是钝角

C.若∠1＋∠2＋∠3=180°,则∠1,∠2,∠3互为补角

D.如果∠α和∠β互为余角，∠β与∠γ互为余角，那么∠α与∠γ也互为余角A3.如图4-3-30，O是直线AB上一点，OC是∠AOB的平分线，则∠AOD的补角是

，∠AOD的余角是

，∠DOB的补角是

，∠BOD的补角的余角是

.∠BOD∠COD∠AOD∠COD4.若一个角的补角的比这个角的余角大20°，求这个角的度数.5.如图4-3-31，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOB，过点O作射线OF，且∠AOD=30°，∠FOB=∠EOC. (1)求∠EOC度数；解：(1)∵OE平分∠AOB，∠AOB=180°，∴∠AOE=∠BOE=90°.∵∠AOD=30°，∴∠EOC=180°-∠AOD-∠AOE=60°.(2)求∠DOF的度数；(3)直接写出图中所有与∠AOD互补的角.(2)∵∠BOC=∠BOE-∠EOC =90°-60° =30°，又∵∠FOB=∠EOC=60°，∴∠DOF=180°-∠BOC-∠BOF=90°.(3)与∠AOD互补的角是∠AOC、∠BOD、∠EOF.例2一艘货轮从O点出发，沿南偏东60°方向航行30海里到A点，因前方出现冰山改道航行，又沿南偏西60°方向航行30海里到B点. (1)请画出货轮的航行路线；

(2)B点在O点的什么位置？ 测量出B点距离O点多远

(结果取整数).

分析：利用角度来描述方位，以正北、正南的方向为基准，先确定是北还是南，然后再根据方向确定东西，最后确定偏东(西)的角度.

解：(1)如图4-3-32；

(2)B点在O点的正南方向，经测量B点与O点的距离是30海里.

点评：方位角的应用广泛，特别是在航空、航海、地质领域等等，应准确掌握方位角的表示.6.如图4-3-33，下列说法中错误的是( ) A.OA方向是北偏东30° B.OB方向是北偏西15° C.OC方向是南偏西25° D.OD方向是东南方向7.有一轮船A，观测灯塔B在其北偏西50°,灯塔C在其南偏西40°,则此时∠BAC的度数为

.A90°8.如图4-3-34，OA表示北偏东30°方向的一条射线，依照这条射线画出表示下列方向的射线：

(1)南偏东25°；(2)北偏西50°；(3)东南方向.1.如图4-3-35，OA是北偏东30°方向的一条射线，若∠AOB=90°，则OB的方位角是( ) A.北偏西30° B.北偏西60° C.东偏北30° D.东偏北60°B2.如图4-3-36，∠AOC>∠BOC，点O在直线AB上，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，则∠COF与∠AOE的关系是( ) A.相等

B.互余

C.互补

D.以上结论都不对B3.若∠α和∠β互为余角，∠α和∠γ互为补角，∠β与∠γ的和等于周角的，则∠α、∠β、∠γ这三个角分别是( ) A.75°，15°，105° B.60°，30°，120° C.50°，40°，130° D.70°，20°，110°A4.(1)已知∠α=13°，则∠α的余角的大小是

；

(2)已知∠A的补角是125°12′，则它的余角等于

；

(3)已知∠α与∠β互余，且∠α=40°，则∠β的补角为

.77°35°12′130°5.如图4-3-37，若∠BOC为直角，∠AOD∶∠BOD=2∶7，则∠COD=

.6.一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍，则这个角为

.50°40°7.如图4-3-38，在飞机飞行时，飞行方向是用飞行路线与实际的南或北方向线之间的夹角大小来表示的，用AN(南北线)与飞行线之间顺时针方向夹角作为飞行方位角，从A到B的飞行方位角为40°，从A到C的飞行方位角为75°，从A到D的飞行方位角为150°，试求AB与AC之间的夹角为多少度？AD与AC之间的夹角为多少度？并画出从A飞出且飞行方位角为115°的飞行线.解：AB与AC之间的夹角为35°，AD与AC之间的夹角为75°，如图，AE为所求.8.如图4-3-39，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.若∠BOC=70°，∠AOC=50°. (1)求出∠AOB及其补角的度数；解：(1)∠AOB=∠BOC+∠AOC =70°+50° =120°,其补角为180°-∠AOB=180°-120°=60°.(2)请求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由.∠DOE与∠AOB互补，理由：∵∠DOE=∠DOC+∠COE=35°+25°=60°,∴∠DOE+∠AOB=60°+120°=180°,故∠DOE与∠AOB互补.9.如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个C10.如图4-3-40，∠AOB与∠AOD分别是∠AOC的余角和补角，且OC是∠BOD的平分线，则∠AOC=

，∠BOD=

.17.5°90°【提示】设∠AOC=x°，则∠AOB=(90-x)°,∠AOD=(180-x)°.∵∠BOC=∠AOC-∠AOB,∴∠BOC=[x-(90-x)]°=(2x-90)°.∵∠COD=∠AOD-∠AOC,∴∠COD=[(180-x)-x]°=(180-2x)°.∵OC平分∠BOD，∴∠BOC=∠COD，∴2x-90=180-2x，解得x=67.5.∴∠AOC=67.5°,∠BOD=∠AOD-∠AOB =(180°-67.5°)-(90°-67.5°) =90°.11.如图4-3-41，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数.解：设∠AOB=x°，∵∠AOC与∠AOB互补，则∠AOC=180°-x°.∴180-x-x=80,∴-2x=-100,