2019年全国高考湖北省数学(理)试卷及答案【精校版】

2019年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。i为虚数单位，则11(ii)2（）A.1B.1C.iD.i若二项式a7(2x)的展开式中x13x的系数是84，则实数a（）254C.1D.

A.2B.4设U为全集，B是集合，则“存在集合C使得AC,BCC是“AB”的（）UA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件根据如下样本数据x345678y4.02.50.52.0得到的回归方程为bxa，则（）A.a0,b0B.a0,b0C.ab0D.a0在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,22,2,0（1,2，12,2,2）A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②1若函数f(x),g(x)满足f(x)g(dx0,f(x),g(x)上的一组正交函数，给出三组函数：

1则称为区间11①fxxgxx()sin,()cos；②f(x)xg(x)x1；③22其中为区间[1的正交函数的组数是（）f(x)x,g(x)x2A.0B.1C.2D.3xyy00x20确定的平面区域记为1，不等式xxyy1由不等式，确定的平面区域记为2，在1中随2机取一点，则该点恰好在2内的概率为（）A.18B.14C.34D.78《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式12vLh.它实际上是将圆锥体积公36式中的圆周率近似取为3.那么近似公式22vLh相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）75A.227B.258C.15750D.355113已知1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且1PF2,则椭圆和双曲线的离心率3的倒数之和的最大值为（）A.433B.233C.3D.2已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，xf(x1)f(x),则实数a的取值范围为（）1222f(x)(|xa|)|x2a|).若2A.11[,]66B.66[,]66C.11[,]33D.33[,]33二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案天灾答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.（一）必考题（11—14题）设向量a(3,3)，b1)，若abab，则实数________.直线l：y=x+a和1l：y=x+b将单位圆222C:xy1分成长度相等的四段弧，则22ab________.设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为Ia，按从大到小排成的三位数记为Da（例如a815，则Ia158，Da851）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b________.设fx是定义在0,上的函数，且fx0，对任意a0,b0，若经过点a,fa,b,fb的直线与x轴的交点为c,0，则称c为a,b关于函数fx的平均数，记为Mf(a,b)，例如，当fx1(x0)时，可得abMf，即Mf(a,b)为a,b的算术平均数.(a,b)c2（1）当fx_____(x时，Mf(a,b)为a,b的几何平均数；（2）当当fx_____(x0)时，M(a,b)f为a,b的调和平均数（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）2abab；（二）选考题（选修4-1：几何证明选讲）如图，P为⊙O的两条切线，切点分别为A,BPA的中点Q作割线交⊙O于C,D两点，若QCCD则PB_____（选修4-4：坐标系与参数方程）xt已知曲线1的参数方程是y3t，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线为参数C的极坐标方程是2，则1与C2交点的直角坐标为________21711分）某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位;h）的变化近似满足函数关系；(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？18（本小题满分12分）已知等差数列满足：，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式.（2）记为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.19(本小题满分12分)如图，在棱长为2的正方体ABCD1BCD中，E,F,M,N分别是棱AB,AD,11,1D1的中点，点P,Q分111别在棱DD,BB1上移动，且DPBQ02.1（1）当1时，证明：直线BC平面EFPQ;1（2）是否存在，使平面EFPQ与面PQMN所成的二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？（满分14分）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F1,0的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C.(1)求轨迹为C的方程(2)设斜率为k的直线l过定点p2,1，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k的相应取值范围。数学（理）（湖北卷）参考答案一、选择题（1）A（）C（3）C（4）B（）D（6）C（）D（）B（9）A（10）B二、填空题（11）3（12）2（13）495（14）x；x或三、解答题（17）解：kx；k2x（15）4（16）(1（I）因为()102(3cos1sin)102sin()

ftttt，212212123又0t24，所以3127t，1sin(t)1，33123当t2时，)1sin(t；当t14时，sin(t)1；123123于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12C，最低温度为8C，最大温差为4C（II）依题意，当f(t)11时实验室需要降温.由（1）得f(t)102sin(t)，123所以102sin(t)11，即1231sin(t)，1232又0t24，因此761211t，即10t18，36故在10时至18时实验室需要降温.（18）解：（I）设数列{a}的公差为d，依题意，2,2d,24d成等比数列，n2d所以(2d)2(24)，化简得240dd，解得d0或d4，当d0时，a2；当d4时，an2(n44n2，n从而得数列{a}的通项公式为an2或an2.n（II）当a2时，n2n，显然60n800，不存在正整数n，使得n800.成立n当a4n2n时，n[2(4n2)]2n2n，2令2n260n800，即n230n4000，解得n40或n10（舍去）此时存在正整数n，使得n60n800成立，n的最小值为41.综上所述，当2a时，不存在满足题意的n；n当an4n2时，不存在满足题意的n；n的最小值为41.（19）解：（I）证明：如图1，连结AD，由ABCD11D1是正方体，知1//AD1，1当1时，P是DD1的中点，又F是AD的中点，所以FP//AD，1所以BC//FP1，而FP平面EFPQ，且BC平面EFPQ，1故直线//BC平面EFPQ.1（II）如图2，连结BD，因为E、F分别是AB、AD的中点，1所以EF//BD，且EFBD2，又DPBQ，DP//BQ，所以四边形PQBD是平行四边形，故PQ//BD，且PQBD，1从而EF//PQ，且EFPQ，2在RtEBQ和RtFDP中，因为BQDP，BEDF1，于是，2EQFP1，所以四边形EFPQ是等腰梯形，同理可证四边形PQMN是等腰梯形，分别取EF、PQ、MN的中点为H、O、G，连结OH、OG，则GOPQ，HOPQ，而GOHOO，故GOH是平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角的平面角，若存在，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角，则GOH90，连结EM、FN，则由EF//MN，且EFMN，知四边形EFNM是平行四边形，连结GH，因为H、G是EF、MN的中点，所以GHME2，2在GOH中，4GH，212222OH1()，22222221OG1(2)()(2)，22由112OH2GH222OG得(2)422，解得21，2故存在21，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.2向量法：以D为原点，射线DA,DC,DD分别为x,y,z轴的正半轴建立如图3的空间直角坐标系Dxyz，1由已知得B(C1(FP)，所以BC(，FP()，FE，1（I）证明：当1时，FP(，因为BC(，1所以BC2FP1，即BC1//FP，而FP平面EFPQ，且BC平面EFPQ，1故直线//BC平面EFPQ.1（II）设平面EFPQ的一个法向量n(y,z)，由FEFPnn00可得xy0x0z，于是取n(,，同理可得平面MNPQ的一个法向量为m(，若存在，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角，则mn(2,2(,0，即((2)10，解得21，2故存在21，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.2（20）解：10（I）依题意，1P(40X80)，50355

2P(80X，3P(X120)0.1，

5050由二项分布，在未来4年中至多有1年入流量找过120的概率为：991041343PC4P)CP)P()4()9477.3433101010（II）记水电站年总利润为Y（单位：万元）①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40，所以一台发电机运行的概率为，对应的年利润Y5000，EY500015000.②安装2台发电机.当40X80时，一台发电机运行，此时Y50008004200，因此P(yP(40XP0.2，1当X80时，两台发电机运行，此时Y5000210000，因此P((1P.由此得Y的分布列如下：YPX2Y420010000P0.20.8所以EY420011000028840.③安装3台发电机.依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y500016003400，因此P(YP(40XP；1当80X120时，两台发电机运行，此时Y500028009200，此时P(YP(80X20.7，当X120时，三台发电机运行，此时y5000315000，因此P(YP(XP，3由此得Y的分布列如下：Y34920015000P0.20.80.1所以EY340092000.7150008620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.（21）解：（I）设点M(x,y)，依题意，|MF||x|1，即(x2y2|x|1，2xx整理的y2(||)，所以点M的轨迹C的方程为4x(x0)2y.o,(x2（II）在点M的轨迹C中，记1:y4x(x0)，C2:y0(x0)，依题意，设直线l的方程为y1k(x2)，由方程组y2y1k(x4x2)2yk得ky44(20①当k0时，此时y1，把y1代入轨迹C的方程得1x，41所以此时直线l与轨迹C恰有一个公共点(.42k当k0时，方程①的判别式为②设直线l与x轴的交点为(x,0)，则由y1k(x2)，令y0，得010③kx（i）若x000，由②③解得k1或1k.21即当k(,(,)时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，2故此时直线l与轨迹C恰有一个公共点.（ii）若x000或x00011，由②③解得k{}或k0，221即当k{}时，直线l与1有一个共点，与C2有一个公共点.21当k[时，直线l与1有两个共点，与C2没有公共点.211故当k{}[,0)时，故此时直线l与轨迹C恰有两个公共点.22（iii）若x00，由②③解得011k或210k，211即当k)时，直线l与C1有两个共点，与C2有一个公共点.(1)(0,22故此时直线l与轨迹C恰有三个公共点.1综上所述，当k(,(,)时直线l与轨迹C恰有一个公共点；211当k{}[,0)时，故此时直线l与轨迹C恰有两个公共点；

2211当k(1)(0,)时，故此