高中数学（人教A版）选修一《圆锥曲线的方程》椭圆第2课时

教学设计3.1.1椭圆及其标准方程（第2课时）学科数学年级高二学期秋季授课人方敏学校舒城县千人桥中学教科书书名：高中数学选择性必修第一册（2019A版）出版社：人民教育出版社教材分析本节课是椭圆及其标准方程第2课时的内容，纵向承接上一节椭圆的定义与标准方程，在对前面所学的内容的巩固的基础上通过求动点轨迹进一步研究椭圆，同时介绍了求轨迹方程的另两种方法：相关点代入法和直接法，也为进一步研究双曲线、抛物线提供了一些探求模式.学情分析本节课的学生已经初步理解椭圆的定义与标准方程，对曲线和方程的概念有了一些了解与运用的经验，对用坐标法研究几何问题也有了初步的认识.但对求轨迹方程的方法上，学生思维上会存在局限性.课程标准及目标分析1.巩固椭圆的定义和标准方程，掌握求轨迹方程的另两种方法：直接法、相关点代入法；2.通过动点轨迹方程的求解过程，培养学生归纳、类比、迁移的能力，进一步增强学生数形结合的思想；3.通过求解椭圆标准方程及求动点轨迹方程发展直观想象、数学运算素养．教学重难点教学重点：掌握用直接法、相关点代入法求动点轨迹的过程及其运用环境.教学难点：结合条件选取恰当的方式求动点的轨迹方程.教学方法教法：本节课采取启发诱导与合作探究相结合的教学方法，通过例题与层层递进的变式训练让学生掌握分析和解决问题的能力；通过信息技术的融合以及学生的自主操作营造和谐的教学氛围。学法：学生在教师的引导下以自主探索、合作交流的方式参与到课堂中，通过独立思考、自主演算等形式进行自主学习。教学过程设计教学过程设计意图环节一：复习旧知，引入新课上节课我们学习了椭圆的定义并推导出了它的标准方程，那么我们先来回顾一下，椭圆的定义是什么？标准方程有哪几种形式？（请一位同学回答）【学情预设】1.平面内到两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．其中，叫椭圆的焦点，叫椭圆的焦距.2.椭圆标准方程的两种形式：上节课我们利用“待定系数法”和“定义法”来求解椭圆的标准方程，但是并不是所有的求轨迹方程的题目都适合用这两种方法来解决.让学生对所学的知识进一步巩固并为下面内容作铺垫.承上启下，引入新课.环节二：合作探究,自主学习例1：如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？（当点P经过圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合.）教师提出问题，引导学生观察点P和点M之间的关系，当P点在圆上运动，点P的运动引起了点M的运动，所以我们称点P为主动点，点M为从动点，并引导学生利用两点的坐标关系去求点M的轨迹方程.【学情预设】解：设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为，则点D的坐标为（x0，0）．由点M是线段PD的中点，得x＝x0，y＝．因为点P在圆上，所以．①把，代入方程①，得，即QUOTEx24．所以点M的轨迹是椭圆．寻求点M的坐标（x，y）中与之间的关系，然后消去，得到点M的轨迹方程．我们把这种方法称为相关点代入法，它是解析几何中求点的轨迹方程常用的方法．思考：由例1我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆.想一想，能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？变式1：若将点M是PD的中点改为，结果如何？变式2：若将点M是PD的中点改为(λ>0且λ≠1)，结果如何？由学生操作ggb软件，动态演示随着λ的变化，点M的轨迹的形状，教师进行记录.通过演示，学生直观感知点M的轨迹形状与λ的范围有关：①当0<λ<1时，表示焦点在x轴上的椭圆；②当λ>1时,表示焦点在y轴上的椭圆.追问：你能证明上述结论吗？【学情预设】解：设点M(x,y),点P（x0,y0），D（x0,0）由已知x=x0，又,（0，y）=λ(0,y0)∴x=x0,y0=∴当0<λ<1时，4λ2<4,表示焦点在x轴上的椭圆;当λ>1时,4λ2>4,表示焦点在y轴上的椭圆.例2：如图设A，B两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM，BM相交于点M，且他们的斜率之积是，求点M的轨迹方程.引导学生寻找几何关系（垂直，平行，距离等），利用坐标和方程把相应的几何对象和几何关系表示出来，设点M的坐标为（x，y），那么直线AM，BM的斜率就可用含x，y的关系式分别表示.由直线AM，BM的斜率之积是－QUOTE49，可得出建立x，y之间的关系式，进而得到点M的轨迹方程．写出的关系式若学生没有注明限制条件时，引导学生关注特殊点的要求.【学情预设】解：设点M的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(－5，0)，所以直线AM的斜率kAM＝QUOTEyx+5（x≠－5）．同理，直线BM的斜率kBM＝QUOTEyx−5（x≠5）．由已知，有×＝－QUOTE49（x≠±5），化简，得点M的轨迹方程为（x≠±5）．点M的轨迹是除去（－5，0），（5，0）两点的椭圆．追问1：当一个动点与两个定点连线的斜率之积是-1时，动点轨迹是什么？追问2：当一个动点与两个定点连线的斜率之积为m(m≠0)，动点轨迹又是什么？由学生操作ggb软件，动态演示随着m的变化，点M的轨迹的形状，教师进行记录.进一步引导学生发现“斜率之积”变化时对轨迹的影响，学生合作讨论，提出猜想并验证猜想.【学情预设】解：设M(x,y),则kAM=,kBM=由已知kAM·kBM=m，即化简得：当-1<m<0时，表示焦点在x轴上的椭圆;当m<-1时，表示焦点在y轴上的椭圆;当m=-1时,表示圆.(m＞0时暂不讨论)追问3：如果把题目的条件和结论互换一下看是否成立：如图，已知M为椭圆的一动点，A、B的坐标分别为（-5，0），（5，0）.求证直线AM与BM的斜率之积恒为.【学情预设】这个性质能不能推广到所有的椭圆呢？结论：已知M为椭圆的一动点，A、B的坐标分别为（-a，0），（a，0）。则直线AM与BM的斜率之积恒为.【学情预设】通过例题让学生体会相关点带入法的解题过程.学习如何寻找主动点与从动点之间的关系，如何通过主动点的轨迹方程得到从动点的轨迹方程.通过两个变式，引导学生在自主探究的基础上认识清楚：椭圆和圆之间存在着紧密的联系，通过伸缩变化，既可以得到焦点在x轴上的椭圆，也可以得到焦点在y轴上的椭圆.通过例题让学生体会直接法的解题过程.学习如何寻找几何关系，如何通过利用坐标和方程把相应的几何对象和几何关系表示出来，如何对得到的坐标和方程进行代数讨论.明确直接法的解题环境.以探究的形式激起学生的学习兴趣，通过分组探究，合作讨论，猜想“斜率之积”变化时对轨迹的影响效果，让学生尝试从方程的角度去研究椭圆，培养学生的数学探究能力.课堂上我们只研究了焦点在x轴的情况，至于焦点在y轴的情形可以让学生课下完成。环节三：课堂小结,畅谈收获1.回顾了椭圆的定义和标准方程，学习并体会了生成椭圆轨迹的几种方式，掌握了求轨迹方程的另两种方法：①相关点代入法②直接法.2.数学思想：数形结合、直观想象、类比归纳梳理本节课学习的数学知识，体会探究过程中渗透的数学思想方法；环节四：布置作业基础作业：课本109页，练习第3、4题提高作业：课本115页，习题3.1第9、10题作业是对课堂学习效果的反映，从作业中教师能够看到学生的盲区和薄弱点，从而可以给予学生及时提醒和纠正.板书设计教学反思