高中数学 选修第二册 一元函数的导数及其应用

第五章一元函数的导数及其应用单元整体教学设计导数是函数的瞬时变化率，是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想。本章通过具体情境实例的研究，渗透“运动变化观点”“逼近（极限）”“以直代曲”等重要思想方法，抽象出导数的概念，凸显导数的内涵与思想。通过本章的学习，学生能理解导数是一种借助极限的运算，掌握导数的基本运算规则，能求简单函数和简单复合函数的导数；能利用导数研究简单函数的性质和变化规律，能利用导数解决简单的实际问题。通过本章的学习，学生的数学抽象、数学运算、直观想象和逻辑推理等数学核心素养将得到进一步的提高。一、理解核心内容，认识育人价值导数及其应用是微积分学的重要组成部分，是解决许多问题的有力工具，它全面体现了数学的价值，给学生提供了一种全新的数学思想方法，发展了学生的辩证和逻辑思维能力。导数的本质是函数的瞬时变化率，它是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含微积分的基本思想。导数是一种特殊的极限，但现行的中学数学结构体系中，学生没有极限的知识基础，不能直接用极限去定义导数，而必须兼顾导数的意义和极限这两个方面，在此过程中体现极限思想，让学生认识导数的内涵与思想。这就要求在呈现导数的概念时，必须基于学生的认知基础，从导数是函数的平均变化率的极限出发，通过瞬时变化率的典型实例，让学生充分经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，以直观的方式，从特殊到一般，既引出导数的概念，又让学生体会极限思想。中学阶段研究的函数性质主要包括单调性、极值、最值等，其中单调性最为重要，它也是研究函数的极值、最值的基础。导数定量地刻画了函数的局部变化，由于中学阶段不介绍微分中值定理，如何利用导数研究函数的性质呢？通常可以借助导数的几何意义，通过直观的方式，从特殊到一般，“归纳出”函数的单调性与导数之间的关系，从而体现导数是研究函数性质的基本工具，是研究函数性质的一般观念，对函数性质的研究要注重让学生经历以“一般观念”为引导发现规律，并通过数学的推理、论证证明结论的过程，提升逻辑推理、数学运算等素养。二、本章学习目标1.导数的概念及其意义（1）通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想。（2）体会极限思想。（3）通过函数图像直观理解导数的几何意义。2.导数运算（1）能根据导数的定义求常用函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数的导数。3.导数在研究函数中的应用（1）结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；能求不超过三次的多项式函数的单调区间。（2）借助函数的图像，了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大（小）值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大（小）值；体会导数与单调性、极值、最值的关系。4.微积分的创立与发展结合章引言、“文献阅读与数学写作”等，适当介绍微积分创立的史实，组织学生收集、阅读对微积分的创立和发展起重大作用的有关资料，包括一些重要历史人物和事件，完成一篇有关微积分创立与发展的研究报告，让学生从中感受理性精神。三、本章知识结构四、本章内容安排5.1导数的概念及其意义：首先通过高台跳水运动员的速度、抛物线的切线的斜率两个典型变化率的实例，引导学生两次完整地经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，进而概括这两个实例在解决问题时所运用的思想方法和结果形式上的共同特征，并用这种思想方法研究一般函数y=f(x)从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，抽象出导数的概念——导数是瞬时变化率的数学表达。在此基础上，通过研究从曲线的割线过渡到切线、从割线斜率过渡到切线斜率的过程，得到导数的几何意义，让学生又一次经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程。在介绍两个典型实例、导数的概念及其几何意义的过程中，不断渗透“运用变化的观点研究问题”“逼近”“以直代曲”等微积分的重要思想，不断让学生体会极限的思想和方法，提升学生的数学抽象和直观想象素养。5.2导数的运算：先研究基本初等函数的导数、导数的四则运算法则以及复合函数的导数，然后解决计算简单初等函数导数的问题。本节首先根据导数的定义求6个常用的具体函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，5.3导数在研究函数中的应用：利用导数研究函数的性质，主要研究函数的单调性、极值与最值等重要性质。5.3.1函数的单调性，首先设置高台跳水运动问题，考查运动员的重心距离水面的高度函数h(t)的单调性，与h(t)的导数v(t)=h(t)的正负之间的关系；接着，通过更多的具体函数的图像，探讨函数导数的正负与这个函数单调性的关系；进而，从具体到抽象、从特殊到一般概括出它们的共性规律，给出一般可导函数f(x)的单调性与其导函数f(x)五、本章重点难点1.本章重点：导数的概念，利用基本初等函数的导数公式、导数法则求简单函数和简单复合函数的导数，运用导数研究简单函数的性质。导数的概念是微积分学的最重要的概念之一，在微积分学中具有基础性地位，是也是本章最为核心的内容。利用导数的基本运算法则求简单函数和简单复合函数的导数，是利用导数研究函数性质的基础和必备技能。对很多运动变化问题的研究最后都会归结为对各种函数的研究，其中函数的增减，以及增减的范围、增减的快慢程度等是最基本的问题。借助导数知识可以简明地回答这些问题，由f(x)的正负可知函数f(x)是增还是减，由f(x)的绝对值的大小可知函数变化的快慢程度。不仅如此，导数也是研究函数极值问题、解决优化问题的一种通法。导数定量地刻画了函数的局部变化规律，是研究函数性质的基本工具。基于上述分析，确定了本章的教学重点。2.本章难点：导数的概念，求简单复合函数的导数。导数是瞬时变化率的数学表达式，学生对导数的内涵——瞬时变化率的认识有一定难度；同时，从平均变化率过渡到瞬时变化率得到导数概念的过程，蕴含着“用运动变化的观点研究问题”“逼近（极限）”“以直代曲”等微积分的重要思想，需要学生不断感悟。因此，导数的概念是本章的一个教学难点。在导数概念及其几何意义的得出过程中，让学生充分经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，不断渗透解决问题的思想方法，并借助具体数值和几何直观体会极限思想是突破难点的关键。由于复合函数的求导是“从外往内”分两层求导，需要准确分析复合函数的结构，而学生对复合函数的复合过程的认识存在一定的困难，所以求简单复合函数的导数是本章的另一个难点。加强对复合函数的复合过程的分析，厘清复合函数的自变量、中间变量、因变量，是突破这一难点的关键。六、本章课时安排本章教学课时安排（约需14课时），具体分配如下：5.1.1变化率问题2课时；5.1.2导数