2020学年度高三年级第一次月考数学试题

常州市第一中学xx学年度高三年级第一次月考数学试卷一、选择题：1、已知M{x|yx21},N{y|yx21}，那么MIN=（C）A、B、MC、ND、R2、已知：p:|2x3|1,q:x(x3)0，则p是q的（A）A、充分不用要条件B、必需不充分条件C、充要条件D、既不充分也不用要条件3、对于直线m、n与平面、，有以下四个命题：①m//,n//且//，则m//n；②m,n且，则mn；③m,n//且//，则mn；④m//,n且，则m//n.此中真命题的序号是：（D）A、①②B、③④C、①④D、②③4、设是第二象限角,且cost,sincos,则sin2的值是（C）22A、1t1tC、1tD、1t2B、2225、若2sin2sin22sin0，则cos2cos2的取值范围是（B）A、[1,5]B、[1,2]9D、[1,2]C、[1,]46、若函数f(x)知足f(x1，且x(1,1]时,f(x)x,则函数y=f(x)的图象与函数ylog3x的图1)f(x)象的交点的个数为（B）A、3B、4C、6D、87、若四周体的六条棱中有五条长为a，则该四周体体积的最大值为（A）13331a3D、33A、aB、aC、a8812128、已知偶函数y=f(x)在[－1，0]上为单一递减函数，又、为锐角三角形的两内角，则（A）A.f(sin)f(cos)B.f(sin)f(cos)C.f(sin)f(sin)D.f(cos)f(cos)9、菱形ABCD的边长为a,A600,E,F,G，H分别在AB、BC、CD、DA上，且BEBFDGDHa，3沿EH与FG把菱形的两个锐角对折起来，使A、C两点重合，这时A点到平面EFGH的距离为aB、2aC、3aD、31a（A）A、22210、已知定义在R上的奇函数yf(x)知足yf(x)为偶函数，对于函数yf(x)有以下几种描绘，2（1）yf(x)是周期函数（2）x是它的一条对称轴（3）(,0)是它图象的一个对称中心（4）当x时，它必定取最大值2此中描绘正确的选项是（B）A、（1）（2）B、（1）（3）C、（2）（4）D、（2）（3）二、填空题：11、若函数f(x21)的定义域为[2,1)，则函数f(x)的定义域为[1,5]；12、yx49x2的值域为[1,324]；13、y=f(x)是对于x=3对称的奇函数，f（1）=1,cosxsinx32，则f[15sin2x]=-1；5cos(x)414、已知方程x2(1a)x4a0的两根为x,x，且0x1x，则a的取值范围是(4,3)；121215、在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若a、b、c成等差数列，sinB=4且△ABC的5面积为3，则b=2.216、若对终边不在座标轴上的随意角x，不等式sinxcosxm22m的取值tanxcotx恒成立，则实数范围是[2,2]；三、解答题：17、已知函数f(x)2sin2π3cos2x，xππ．x,244（1）求f(x)的最大值和最小值；ππ（2）若不等式f(x)m2在x,上恒成立，务实数m的取值范围．42解：（1）∵f(x)1cosπ2x3cos2x1sin2x3cos2x12sin2xπ．23又∵xππππ2π≤12sin2xπ≤3，∴f(x)max3,f(x)min2．,，∴≤2x≤3，即234263（2）∵f(x)m2f(x)2mf(x)2，xπ,π，∴mf(x)max2且mf(x)min2，42∴1m4，即m的取值范围是(1,4)．18、已知函数f(x)x22xsin1x[3,1]。22（1）当6时，求f(x)的最大值和最小值。（2）若f(x)在x[31[0,2)，求的取值范围。,]上是单一函数，且22解：（1）时，f(x)x2x1(x1)25。由x[31]，当x1时，f(x)有最小值为5，2,624224当x1时，f(x)有最大值为1。24（2）f(x)x22xsin1的图象的对称轴为xsin，因为f(x)在x[3,1]上是单一函数，因此22sin3或sin1，即sin3或sin1，所求的取值范围是[3,2]U[7,11]222236619、已知命题p:x1和x2是方程x2mx20的两个实根，不等式a25a3|x1x2|对随意实数m[1,1]恒成立；命题q:只有一个实数x知足不等式x222ax11a0，若命题p是假命题，命题q是真命题，求a的取值范围。解：（1）p:x1和x2是2的两根，因此x1x2m22xmx20121212m8x1x22|xx|(xx)4xx又m[1,1]，则有|x1x2|[22,3]。因为不等式a25a3|x1x2|对随意实数m[1,1]恒成立，因此a25a3|x1x2|max3，因此a25a33a(,1]U[6,)q:由题意有(22a)2411a0a0或a112由命题“p或q”是假命题，命题“p且q”是假命题，有p假q假，因此a{11}。220、设f(x)的定义域为(0,)，且知足f(4)1，x1,x2(0,)，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，当x(0,1)时，f(x)0。（1）求f(1)的值；（2）证明f(x)在(0,)上是增函数；（3）解不等式f(3x1)f(2x6)3。解：（1）令x1x21，则f(1)0（2）x1,x2(0,)且x1x2时，f(x1)f(x2)f(x1)，因为0x1x20x11，又当x(0,1)x2x2时，f(x)0，因此12x1，因此在上单一增。f()0f(x)(0,)x2（3）令x1x24，则f(16)f(4)f(4)2；令x14,x216，则f(64)f(4)f(16)33x10因此f(3x1)f(2x6)3f(64)，因此2x60x(3,5](3x1)(2x6)6421、在五棱锥P-ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=22a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．1）求证：PA⊥平面ABCDE；（2）若G为PE中点，求证：AG平面PDE3）求二面角A-PD-E的正弦值；（4）求点C到平面PDE的距离解：（1）证明∵PA=AB=2a，PB=22a,∴PA2+AB2=PB2，∴∠PAB=90°，即PA⊥AB．同理PA⊥AE．∵AB∩AE=A，∴PA⊥平面ABCDE．3分2）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE，因此DE⊥AG。QPAAE，G为PE中点，因此AG⊥PE，∴AG⊥平面PDE6分3）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE．过A作AG⊥PE于G，过DE⊥AG，∴AG⊥平面PDE．过G作GH⊥PD于H，连AH，由三垂线定理得AH⊥PD．∴∠AHG为二面角A-PD-E的平面角．8分在直角△PAE中，AG＝2a．在直角△PAD中，AH＝25a，∴在直角△AHG中，sin∠AHG＝AG＝3AH310．∴二面角A-PD-E的正弦值为310．10分1010（4）∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°,BC=DE=a,AB=AE=2a,取AE中点F，连CF，∵AF∥=BC,∴四边形ABCF为平行四边形．∴CF∥AB，而AB∥DE，∴CF∥DE，而DE平面PDE，CF平面PDE，∴CF∥平面PDE．∴点C到平面PDE的距离等于F到平面PDE的距离．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥DE．又DE⊥AE，∴DE⊥平面PAE．∴平面PAE⊥平面PDE．∴过F作FG⊥PE于G，则FG⊥平面PDE．∴FG的长即F点到平面PDE的距离．13分在△PAE中，PA=AE=2a，F为AE中点，FG⊥PE，∴FG=2a．∴点C到平面PDE的距离为2a．22（或用等体积法求）22、设函数f(x)loga(x3a)(a0且a1)，当点P(x,y)是函数yf(x)的图象上的点时，点Q(x2a,y)是函数yg(x)的图象上的点。（1）求出函数yg(x)的分析式；（2）若当x[a2,a3]时，恒有|f(x)g(x)|1，试确立a的取值范围。解：（1）设Q(x',y')，则x'x2axx'2aloga(x3a)，则y'loga(x'2a3a)，y'yyy'，又y因此g(x)loga(xa)。（2）|f()()||log(x3)log(x)|1，定义域为x3a0x(3a,)，又x[a2,a3]，xgxaaaaxa0则有a23aa10a1，因此|f()(x)||log(x3)()|1xgaaxa1a3a)(xa)1,x[a2,a3]，令u(x)(x3a)(xa)x24ax3a2(x2a)2a2log(xQ2aa2u(x)在区间[a2,a3]上单一增，au(x)1ax24ax3a2a0a9571x24ax3a212a理科学生做（选择填空题每题4分）1.矩阵01的逆矩阵是()10A．01B．10C．10D．01100101102.表示x轴的反射变换的矩阵是()A.10B.10C.011001D.0110013.极坐标方程cos2sin2表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆4.若曲线x24xy2y21在矩阵1a的作用下变换成曲线x22y21，则ab的值为______。b15.点Px,y是椭圆2x23y212上的一个动点，则x2y的最大值为___________。6.已知圆C的参数方程为x12cos（为参数），P是圆C与y轴的交点，若以圆心C为极点，xy2sin轴的正半轴为极轴成立极坐标系，则过点P圆C的切线的极坐标方程是.7.（此题6分）过点P(10,0)作倾斜角为的直线与曲线x22y21交于点M,N，求PMPN的2最小值及相应的的值。（此题10分）当兔子和狐狸处于同一栖息地时，忽视其余要素，只考虑兔子数目和狐狸数目的互相影响，为了简易起见，不如做以下假定：（1）因为自然生殖，兔子数每年增添10%，狐狸数每年减少15%；（2）因为狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增添兔子数的0.1倍；（3）第n年时，兔子数目Rn用表示，狐狸数目用Fn表示；（4）初始时刻（即第0年），兔子数目有R0100只，狐狸数目有F030只。请用所学知识解决以下问题：（1）列出兔子与狐狸的生态模型（Rn、Fn的关系式）；（2）求出Rn、Fn对于n的关系式；3）议论当n愈来愈大时，兔子与狐狸的数目能否能达到一个稳固的均衡状态，说明你的原因。参照答案：1、A；2、D；3、C；4、2；5、22；6、cos(2)2或cos(2)2；33x10tcos(t为参数)，（17、解：设直线为2分）ytsin代入曲线并整理得(1sin2)t2(10cos)t30（2分）23则PMPNt1t22（4分）1sin2因此当sin21时，即，PMPN的最小值为3，此时。（6分）2428、解：⑴Rn1.1Rn10.15Fn1(n1)2Fn0.1Rn10.85Fn1⑵设uurRn，M1.10.15nFn0.10.85uuruuuuruuuuruur∴nMn1M(Mn2)==Mn0又矩阵M的特点多项式f()1.10.15=21.950.95(1)(0.95)0.10.85令f()0得：11,20.954’特点值1对应的一个特点向量为uur3112特点uur且0uur