2020版高考数学一轮复习题组训练第3章第2讲导数应用(含模拟题)Word版含答案

第二讲导数的应用题组1应用导数研究函数的单一性1.[2017浙江,7,4分]函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图3-2-1所示,则函数y=f(x)的图象可能是()图3-2-1A.B.C.D.2.[2016全国卷Ⅰ,12,5分][文]若函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-∞,+∞)上单一递加,则a的取值范围是()A.[-1,1]B.[-1,]C.[-,]D.[-1,-]3.[2015新课标全国Ⅰ,12,5分]设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,此中a<1,若存在独一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是()A.[-,1)B.[-,)C.[,)D.[,1)4.[2017全国卷Ⅱ,21,12分][文]设函数f(x)=(1-x2)ex.议论f(x)的单一性;当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.5.[2017全国卷Ⅲ,21,12分][文]已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.议论f(x)的单一性;(2)当a<0时,证明f(x)≤--2.题组2应用导数研究函数的极值与最值6.[2017全国卷Ⅱ,11,5分]若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为()-3C.5e-3D.17.[2016四川,6,5分][文]已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=()8.[2014新课标全国Ⅱ,12,5分]设函数f(x)=sin.若存在f(x)的极值点x0知足+[f(x0)]2<m2,则m的取值范围是()A.(-∞,-6)∪(6,+∞)B.(-∞,-4)∪(4,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)9.[2013新课标全国Ⅱ,11,5分][文]已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,以下结论中错误的选项是()A.?x0∈R,f(x0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单一递减D.若x0是f(x)的极值点,则f'(x0)=010.[2017北京,20,13分][文]已知函数f(x)=excosx-x.(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值.11.[2016天津,20,14分][文]设函数f(x)=x3-ax-b,x∈R,此中a,b∈R.(Ⅰ)求f(x)的单一区间;(Ⅱ)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),此中x1≠x0,求证:x1+2x0=0;(Ⅲ)设a>0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[-1,1]上的最大值不小于.12.[2013新课标全国Ⅰ,20,12分][文]已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)议论f(x)的单一性,并求f(x)的极大值.题组3生活中的优化问题13.[2013重庆,20,12分][文]某乡村拟修筑一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为rm,高为hm,体积为Vm3.假定建筑成本仅与表面积相关,侧面的建筑成本为100元/m2,底面的建筑成本为160元/m2,该蓄水池的总建筑成本为12000π元(π为圆周率).(Ⅰ)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(Ⅱ)议论函数V(r)的单一性,并确立r和h为什么值时该蓄水池的体积最大.题组4应用导数研究函数的综合问题[2017全国卷Ⅲ,21,12分]已知函数f(x)=x-1-alnx.(1)若f(x)≥0,求a的值;(2)设m为整数,且对于随意正整数n,(1+)(1+)(1+)<m,求m的最小值.15.[2016全国卷Ⅲ,21,12分][文]设函数f(x)=lnx-x+1.(Ⅰ)议论f(x)的单一性;-(Ⅱ)证明当x∈(1,+∞)时,1<<x;(Ⅲ)设c>1,证明当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx.16.[2015新课标全国Ⅰ,21,12分][文]设函数f(x)=e2x-alnx.(Ⅰ)议论f(x)的导函数f'(x)零点的个数;(Ⅱ)证明:当a>0时,f(x)≥2a+aln.17.[2015北京,19,13分][文]设函数f(x)=-klnx,k>0.(Ⅰ)求f(x)的单一区间和极值;(Ⅱ)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.A组基础题1.[2018浙江省温州市一模,6]已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图3-2-2所示,则函数f(x)的图象可能是()图3-2-2A.B.C.D.2.[2018成都市高三摸底测试,7]已知函数f(x)=x3-ax在(-1,1)上单一递减,则实数a的取值范围为()A.(1,+∞)B.[3,+∞)C.(-∞,1]D.(-∞,3]3.[2017南昌市三模,10]已知函数f'(x)是函数f(x)的导函数,f(1)=,对随意实数x,都有f(x)-f'(x)>0,则不等式f(x)<ex-2的解集为()A.(-∞,e)B.(1,+∞)C.(1,e)D.(e,+∞)4.[2017石家庄市二模,12]若函数f(x)=x3+2ax2-3bx+3b在(0,1)上存在极小值点,则实数b的取值范围是()A.(-1,0]B.(-1,+∞)C.[0,+∞)D.(1,+∞)5.[2017郑州市第三次质量展望,12]设函数f(x)知足2x2f(x)+x3f'(x)=ex,f(2)=.则x∈[2,+∞)时,f(x)的最小值为()A.B.C.D.6.[2018辽宁省五校联考,21]已知函数f(x)=2lnx+x2-2ax(a>0).议论函数f(x)的单一性;若函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2),且f(x1)-f(x2)≥-2ln2恒建立,求a的取值范围.7.[2017长春市高三第四次质量监测,21]已知函数f(x)=x2eax.当a<0时,议论函数f(x)的单一性;在(1)条件下,求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值;设函数g(x)=2ex-,求证:当a=1时,?x∈(0,1),g(x)-xf(x)>2恒建立.组提高题8.[2018河南省南阳一中三模,12]对于函数f(x)=+lnx,以下说法错误的选项是()A.x=2是f(x)的极小值点B.函数y=f(x)-x有且只有1个零点C.存在正实数k,使得f(x)>kx恒建立D.对随意两个正实数x1,x2,且x2>x1,若f(x1)=f(x2),则x1+x2>49.[2018河北“五个一名校结盟”高三第二次考试,16]已知函数f(x)=x+alnx(a>0),若?x1,x2∈(,1)(x1≠x2),|f(x1)-f(x2)|>|-|,则正数a的取值范围是.[2018西安八校联考,21]已知函数f(x)=x,g(x)=λf(x)+sinx(λ∈R)在区间[-1,1]上单一递减.(1)求λ的最大值;(2)若g(x)<t2+λt+1在[-1,1]上恒建立,求t的取值范围;(3)议论对于x的方程()=x2-2ex+m的解的个数.[2017甘肃省张掖市高三一诊,21]设函数f(x)=-alnx.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的单一区间和极值;若函数f(x)在区间(1,e2]内恰有两个零点,试求a的取值范围.答案1.D依据题意,已知导函数的图象有三个零点,且每个零点的两边导函数值的符号相反,所以函数f(x)在这些零点处获得极值,清除A,B;记导函数f'(x)的零点从左到右分别为x1,x2,x3,又在(-∞,x1)上f'(x)<0,在(x1,x2)上f'(x)>0,所以函数f(x)在(-∞,x1)上单一递减,清除C,选D.2.C函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-∞,+∞)上单一递加,等价于f'(x)=1-cos2x+acosx=-cos2x+acosx+≥0在(-∞,+∞)上恒建立.令t=cosx,则g(t)=-t2+at+≥0在[-1,1]上恒建立,-所以解得-≤a≤.应选C.---3.D由题意可知存在独一的整数x0,使得(2x0-1)<ax0-a,令g(x)=ex(2x-1),h(x)=ax-a,由g'(x)=ex(2x+1)可知g(x)在(-∞,-)上单一递减,在(-,+∞)上单一递加,作出g(x)与h(x)的大概图象如图D3-2-3所示,故-即所以≤a<1,应选D.--图D3-2-34.(1)f'(x)=(1-2x-x2)ex.令f'(x)=0,得x=-1-,x=-1+.当x∈(-∞,-1-)时,f'(x)<0;当x∈(-1-,-1+)时,f'(x)>0;当x∈(-1+,+∞)时,f'(x)<0.所以f(x)在(-∞,-1-),(-1+,+∞)单一递减,在(-1-,-1+)单一递加.(2)f(x)=(1+x)(1-x)ex.(i)当a≥1时,设函数h(x)=(1-x)ex,h'(x)=-xex<0(x>0),所以h(x)在[0,+∞)单一递减,而h(0)=1,故h(x)≤1,所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1.当0<a<1时,设函数g(x)=ex-x-1,g'(x)=ex-1>0(x>0),所以g(x)在[0,+∞)单一递加,而g(0)=0,故ex≥x+1.222-又x∈(0,1)时,f(x)>(1-x)(1+x),(1-x)(1+x)-ax-1=x(1-a-x-x),取x0=,此时x0∈(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)>ax0+1.(iii)当a≤0时,取x0=-,此时x0∈(0,1),f(x0)>(1-x0)·(1+x0)2=1≥ax0+1.综上,a的取值范围是[1,+∞).5.(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2ax+2a+1=.若a≥0,则当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单一递加.若a<0,则当x∈(0,-)时,f'(x)>0;当x∈(-,+∞)时,f'(x)<0.故f(x)在(0,-)上单一递加,在(-,+∞)上单一递减.(2)由(1)知,当a<0时,f(x)在x=-处获得最大值,最大值为f(-)=ln(-)-1-.所以f(x)≤--2等价于ln(-)-1-≤--2,即ln(-)++1≤0.设g(x)=lnx-x+1(x>0),则g'(x)=-1.当x∈(0,1)时,g'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,1)上单一递加,在(1,+∞)上单一递减.故当x=1时,g(x)获得最大值,最大值为g(1)=0.所以当x>0时,g(x)≤0.所以当a<0时,ln(-)++1≤0,故f(x)≤--2.6.A因为f(x)=(x2+ax-1)ex-1,所以f'(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1.因为x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,所以x=-2是x2+(a+2)x+a-1=0的一个根,解得a=-1,所以f'(x)=(x2+x-2)ex-1=(x+2)(x-1)ex-1.令f'(x)>0,解得x<-2或x>1,令f'(x)<0,解得-2<x<1,所以f(x)在(-∞,-2)上单一递加,在(-2,1)上单一递减,在(1,+∞)上单一递加,所以当x=1时,f(x)获得极小值,且f(x)极小值=f(1)=-1,应选A.7.D由题意得f'(x)=3x2-12,由f'(x)=0,解得x=±2,当x∈(-∞,-2)时,f'(x)>0,函数f(x)单一递加;当x∈(-2,2)时,f'(x)<0,函数f(x)单一递减;当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单一递加,所以a=2.应选D.8.C由正弦型函数的图象可知:f(x)的极值点x0知足f(x0)=±,则=+kπ(k∈Z),从而得x0=(k+)m(k∈Z).所以不等式+<m2,即(k+)2m2+3<m2,变形得m2[1-(k+)2]>3,此中k∈Z.由题意,存在整数k使得不等式m2[1-(k+)2]>3建立.当k≠-1且k≠0时,必有(k+)2>1,此时不等式明显不可以建立,故k=-1或k=0,此时,不等式即2m>3,解得m<-2或m>2.应选C.9.C选项D中结论明显正确.当f(x)有极值点时,f'(x)=0必有两个不一样的实根,记为m,n(m<n),此时f(x)在(-∞,m)上递加,在(m,n)上递减,在(n,+∞)上递加.由此知x0=n,但f(x)在(-∞,x0)上不但一,应选项C中结论错误.10.(Ⅰ)因为f(x)=excosx-x,所以f'(x)=ex(cosx-sinx)-1,f'(0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.xxx(Ⅱ)令h(x)=e(cosx-sinx)-1,则h'(x)=e(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2esinx.所以当x∈(0,)时,h'(x)<0,h(x)在区间[0,]上单一递减.所以对随意x∈(0,]有h(x)<h(0)=0,即f'(x)<0,故函数f(x)在区间[0,]上单一递减.所以f(x)在区间[0,]上的最大值为f(0)=1,最小值为f()=-.11.(Ⅰ)由f(x)=x3-ax-b,可得f'(x)=3x2-a.下边分两种状况议论:①当a≤0时,有f'(x)=3x2-a≥0恒建立,所以f(x)的单一递加区间为(-∞,+∞).②当a>0时,令f'(x)=0,解得x=或x=-.当x变化时,f'(x),f(x)的变化状况以下表:x(-∞,-)-(-,)(,+∞)f'(x)+0-0+f(x)单一递加极大值单一递减极小值单一递加所以f(x)的单一递减区间为(-,),单一递加区间为(-∞,-),(,+∞).(Ⅱ)因为f(x)存在极值点,所以由(Ⅰ0≠0.由题意,得f'(x0)=3-a=0,即=,从而)知a>0,且xf(x0)=-ax0-b=-x0-b.又f(-2x0000000≠x0,由题意及(Ⅰ)知,存在独一实数)=-8+2ax-b=-x+2ax-b=-x-b=f(x),且-2xx1知足f(x1)=f(x0),且x1≠x0,所以x1=-2x0.所以x1+2x0=0.(Ⅲ)设g(x)在区间[-1,1]上的最大值为M,max{x,y}表示x,y两数的最大值.下边分三种状况讨论:①当a≥3时,-≤-1<1≤,由(Ⅰ)知,f(x)在区间[-1,1]上单一递减,所以f(x)在区间[-1,1]上的取值范围为[f(1),f(-1)],所以M=max{|f(1)|,|f(-1)|}max{|1-a-b|,|-1+a-b|}max{|a-1+b|,|a-1-b|}-=--所以M=a-1+|b|≥2.②当≤a<3时,-≤-1<-<<1≤,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知f(-1)≥f(-)=f(),f(1)≤f()=f(-),所以f(x)在区间[-1,1]上的取值范围为[f(),f(-)],所以M=max{|f()|,|f(-)|}=max{|--b|,|-b|}=max{|+b|,|-b|}+|b|≥××=.③当0<a<时,-1<-<<1,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知f(-1)<f(-)=f(),f(1)>f()=f(-),所以f(x)在区间[-1,1]上的取值范围为[f(-1),f(1)],所以M=max{|f(-1)|,|f(1)|}max{|-1+a-b|,|1-a-b|}max{|1-a+b|,|1-a-b|}1-a+|b|>.综上所述,当a>0时,g(x)在区间[-1,1]上的最大值不小于.12.(Ⅰ)f'(x)=ex(ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0)=4,f'(0)=4.故b=4,a+b=8.从而a=4,b=4.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,f'(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)(ex-).令f'(x)=0,得x=-ln2或x=-2.从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(-2,-ln2)时,f'(x)<0.故f(x)在(-∞,-2),(-ln2,+∞)单一递加,在(-2,-ln2)单一递减.当x=-2时,函数f(x)获得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).13.(Ⅰ)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh=200πrh,底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元.依据题意得200πrh+160πr2=12000π,所以h=(300-4r2),从而V(r)=πr2h=(300r-4r3).由h>0,且r>0,可得0<r<5,故函数V(r)的定义域为(0,5).(Ⅱ)由(Ⅰ)知V(r)=(300r-4r3),故V'(r)=(300-12r2).令V'(r)=0,解得r1=5,r2=-5(r2=-5不在定义域内,舍去).当r∈(0,5)时,V'(r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数;当r∈(5,5)时,V'(r)<0,故V(r)在(5,5)上为减函数.由此可知,V(r)在r=5处获得最大值,此时h=8,即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.14.(1)f(x)的定义域为(0,+∞).①若a≤0,因为f()=-+aln2<0,所以不知足题意.②若a>0,由f'(x)=1-=-知,当x∈(0,a)时,f'(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在(0,a)单一递减,在(a,+∞)单一递加.故x=a是f(x)在(0,+∞)的独一最小值点.因为f(1)=0,所以当且仅当a=1时,f(x)≥0.故a=1.(2)由(1)知当x∈(1,+∞)时,x-1-lnx>0.令x=1+,得ln(1+)<.从而ln(1+)+ln(1+)++ln(1+)<+++=1-<1.故(1+)(1+)(1+)<e.而(1+)(1+)(1+)>2,所以m的最小值为3.15.(Ⅰ)由题意,得f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-1,令f'(x)=0,解得x=1.当0<x<1时,f'(x)>0,f(x)单一递加;当x>1时,f'(x)<0,f(x)单一递减.(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)在x=1处获得最大值,最大值为f(1)=0.所以当x≠1时,lnx<x-1.故当x∈(1,+∞)时,lnx<x-1,ln<-1,-即1<<x.-(Ⅲ)由题设,知c>1,设g(x)=1+(c-1)x-cx,则g'(x)=c-1-cxlnc,令g'(x)=0,解得x0=.当x<x0时,g'(x)>0,g(x)单一递加;当x>x0时,g'(x)<0,g(x)单一递减.-由(Ⅱ)知1<<c,故0<x0<1.又g(0)=g(1)=0,故当0<x<1时,g(x)>0.所以当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx.16.(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2e2x-(x>0).当a≤0时,f'(x)>0,f'(x)没有零点;当a>0时,因为y=e2x单一递加,y=-单一递加,所以f'(x)在(0,+∞)上单一递加,又f'(a)>0,当b知足0<b<且b<时,f'(b)<0,故当a>0时,f'(x)存在独一零点.(Ⅱ)由(Ⅰ),可设f'(x)在(0,+∞)上的独一零点为x0,当x∈(0,x0)时,f'(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0.故f(x)在(0,x0)上单一递减,在(x0,+∞)上单一递加,所以当x=x0时,f(x)获得最小值,最小值为f(x0).因为2-=0,所以f(x0)=+2ax0+aln≥2a+aln.故当a>0时,f(x)≥2a+aln.-17.(Ⅰ)由f(x)=-klnx(k>0),得f'(x)=x-=.令f'(x)=0,解得

x=

.f(x)与

f'(x)在区间

(0,+∞)上的状况以下

:x

(0,

)

(

,+∞)f'(x)

-

0

+f(x)↘↗所以f(x)的单一递减区间是(0,),单一递加区间是(,+∞);f(x)在x=处获得极小值f(-.)=(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)在区间(0,+∞)上的最小值为f()=-.因为f(x)存在零点,所以-≤0,从而k≥e.当k=e时,f(x)在区间(1,)上单一递减,且f()=0,所以x=是f(x)在区间(1,]上的独一零点.当k>e时,f(x)在区间(0,)上单一递减,且f(1)=>0,f()=<0,所以f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.综上可知,若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.组基础题1.C由导函数f'(x)的图象可知,函数y=f(x)先减再增,可清除选项A,B;又f'(x)=0的根为正数,即y=f(x)的极值点为正数,所以可清除选项D,选C.2.B∵f(x)=x3-ax,∴f'(x)=3x2-a.又f(x)在(-1,1)上单一递减,∴3x2-a≤0在(-1,1)上恒建立,∴a≥3,应选B.3.B设g(x)=(),则g'(x)=()-()=()-().∵对随意实数x,都有f(x)-f'(x)>0,∴g'(x)<0,即()()()<e-2=,即g(x)<g(1).∵g(x)为Rg(x)为R上的减函数.又g(1)==,由不等式f(x)<ex-2,得上的减函数,∴x>1,∴不等式f(x)<ex-2的解集为(1,+∞).应选B.4.B322在(0,1)上有两若函数f(x)=x+2ax-3bx+3b在(0,1)上存在极小值点,则f'(x)=3x+4ax-3b个零点或一个零点在(0,1)上,一个零点在(-∞,0]上.当导函数f'(x)的一个零点在(0,1)上,一个零点在(-∞,0]上时,需知足()-,()-,∴,必会存在a使得f'(1)>0,所以当b≥0时,函数f(x)=x3+2ax2-3bx+3b在(0,1)-,,上存在极小值点;当导函数f'(x)在(0,1)上有两个零点时,-,即()-,()-,-,-,,,-,∴,可得-1<b<0.综上,b∈(-1,+∞).应选B.-,5.D由已知,得2xf(x)+x222f(x),则F'(x)=,F(2)=4f(2)=.f'(x)=,即[xf(x)]'=,所以令F(x)=x又由已知得f'(x)=-()-()xxx(-)=,此时再令φ(x)=e-2F(x),则φ'(x)=e-2F'(x)=e-2·=,2所以当0<x<2时,φ'(x)<0,当x>2时,φ'(x)>0,所以φ(x)min=φ(2)=e-2F(2)=0,所以当x∈[2,+∞)时,f'(x)≥0,函数f(x)在[2,+∞)上单一递加,f(x)min=f(2)=,应选D.6.(1)由题意知,函数f(x)的定义域是(0,+∞),(-),令x2-ax+1=0,则2f'(x)==a-4,①当0<a≤2时,Δ≤0,f'(x)≥0恒建立,函数f(x)在(0,+∞)上单一递加;2有两个不一样的实根,分别设为x3,x4,不如令x3<x4,②当a>2时,Δ>0,方程x-ax+1=0---则x3=,x4=,此时0<x3<x4,因为当x∈(0,x3)时,f'(x)>0,当x∈(x3,x4)时,f'(x)<0,当x∈(x4,+∞)时,f'(x)>0,------所以函数f(x)在(0,)上单一递加,在(,)上单一递减,在(,+∞)上单一递增.(2)由(1)得f(x)在(x1,x2)上单一递减,x1+x2=a,x1·x2=1,则f(x1)-f(x2)=2ln+(x1-x2)(x1+x2-2a)=2ln+-=2ln+-,令t=,则0<t<1,f(x1)-f(x2)=2lnt+-t,令g(t)=2lnt+(-)-t(0<t<1),则g'(t)=-<0,故g(t)在(0,1)上单一递减且g()=-2ln2,故g(t)=f(x1)-f(x2)≥-2ln2=g(),即0<t≤,而a2=(x1+x2)2=++2=t++2,此中0<t≤,令h(t)=t++2,t∈(0,],所以h'(t)=1-<0在t∈(0,]上恒建立,故h(t)=t++2在(0,]上单一递减,从而a2≥,故a的取值范围是[,+∞).7.(1)由题意知f'(x)=eax(ax2+2x),令f'(x)=0,可得x=0或x=-.又a<0,则由f'(x)<0,得x<0或x>-,由f'(x)>0,得0<x<-.所以函数f(x)在(-∞,0)和(-,+∞)上单一递减,在(0,-)上单一递加.(2)在(1)条件下,当-≥1,即-2≤a<0时,f(x)在[0,1]上单一递加,则f(x)的最大值为f(1)=ea;当-<1,即a<-2时,f(x)在[0,-)上单一递加,在(-,1]上单一递减,则f(x)的最大值为f(-)=e-2.(3)要证g(x)-xf(x)>2,即证(2-x3)ex>2+,x令h(x)=(2-x)e,则h'(x)=(-x3-3x2+2)ex=-ex(x+1)(x2+2x-2),又x∈(0,1),易知在(0,1)上h(x)存在极大值点,又h(0)=2,h(1)=e,则h(x)在(0,1)上恒大于2,而2+在(0,1)上恒小于2,所以g(x)-xf(x)>2在(0,1)上恒建立.组提高题-8.C由题意知,f'(x)=,∴函数f(x)在区间(0,2)上单一递减,在区间(2,+∞)上单一递加,x=2是f(x)的极小值点,即A正确;∵y=f(x)-x=--+lnx-x,∴y'=<0,∴函数y在(0,+∞)上单一递减,又当x趋近于0时,y趋近于+∞∴函数y=f(x)-x有且只有1个零点,即B正确;由f(x)>kx,可得k<+,令g(x)=+则g'(x)=--令h(x)=-4+x-xlnx,则h'(x)=-lnx,∴函数h(x)在区间(0,1)上单一递加,在区间(1,+∞)上单一递减,h(x)≤h(1)<0,∴g'(x)<0,∴函数g(x)=+在区间(0,+∞)上单一递减,函数g(x)无最小值,∴不存在正实数k,使得f(x)>kx恒建立,即C不正确;对随意两个正实数x1,x2,且x2>x1,函数在区间(0,2)上单一递减,在(2,+∞)上单一递加,若f(x1)=f(x2),则x1+x2>4,D正确.选C.9.[,+∞)由f(x)=x+alnx(a>0),适当x∈(,1)时,f'(x)=1+>0,f(x)在(,1)上单一递加,不如设x1>x2,则|f(x1)-f(x2)|>|-|,即f(x1)-f(x2)>-,f(x1)+>f(x2)+,令g(x)=f(x)+,则g(x)在(,1)上单一递加,所以g'(x)=1+-≥