20182019学年高中数学第二讲讲明不等式基本方法三反证法与放缩法讲义含解析新人教A版

三反证法与放缩法1．反证法反证法证明的定义：先假定要证明的命题不建立，以此为出发点，联合已知条件，应用公义、定义、定理、性质等，进行正确的推理，获得和命题的条件(或已证明的定理、性质、显然建立的事实等)矛盾的结论，以说明假定不建立，进而证明原命题建立．反证法证明不等式的一般步骤：①假定命题不建立；②依照假定推理论证；③推出矛盾以说明假定不建立，进而判定原命题建立．2．放缩法放缩法证明的定义：证明不等式时，往常把不等式中的某些部分的值放大或减小，简化不等式，进而达到证明的目的．放缩法的理论依照有：①不等式的传达性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．利用反证法证明问题[例1]已知f(x)＝x2＋px＋q.求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；(2)|f(1)|，f|(2)|，|f(3)|中起码有一个不小于12.[思路点拨]“起码有一个”的反面是“一个也没有”．[证明](1)f(1)＋f(3)－2f(2)(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.(2)假定|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|1都小于2，则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2.而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2矛盾，∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|1中起码有一个不小于.2反证法合用范围：凡波及不等式为否认性命题，独一性命题、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”“起码”“不可以”等词语的不等式．注意事项：在对原命题进行否认时，应全面、正确，不可以遗漏状况，反证法表现了“正难则反”的策略，在解题时要灵巧应用．1．实数，，c不全为0的等价条件为( )abA．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中起码有一个为0D．a，b，c中起码有一个不为0分析：选D“不全为0”是对“全为0”的否认，与其等价的是“起码有一个不为0”．2．设a，b，c，d都是小于1的正数，求证：4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不行能都大于1.证明：假定4a(1－b)>1,4b(1－c)>1,4c(1－d)>1，4d(1－a)>1，11则有a(1－b)>4，b(1－c)>4，11c(1－d)>4，d(1－a)>4.∴(1－)>1，(1－c)>1，ab2b211c(1－d)>2，d(1－a)>2.又∵(1－)≤a＋(1－b)，b(1－c)≤b＋(1－c)，ab22c＋(1－d)d＋(1－a)c(1－d)≤2，d(1－a)≤2，a＋1－b1b＋1－c1∴2>2，2>2，c＋1－d1d＋1－a12>2，2>2.将上边各式相加得2>2，矛盾．∴4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不行能都大于1.3．已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(a)＋f(－b)<f(b)＋f(－a)，求证：a<b.证明：假定a<b不建立，则a＝b或a>b.当a＝b时，－a＝－b则有f(a)＝f(b)，f(－a)＝f(－b)，于是f(a)＋f(－b)＝f(b)f(－a)与已知矛盾．当a>b时，－a<－b，由函数y＝f(x)的单一性可得f(a)>f(b)，f(－b)>f(－a)，于是有f(a)＋f(－b)>f(b)＋f(－a)与已知矛盾．故假定不建立．故a<b.利用放缩法证明不等式[例2]已知实数x，y，z不全为零．求证：2222223x＋xy＋y＋y＋yz＋z＋z＋zx＋x>2(x＋y＋z)．[思路点拨]解答此题可对根号内的式子进行配方后再用放缩法证明．[证明]x2＋xy＋y2＝x＋y2＋3y224y2yy≥x＋2＝x＋2≥x＋2.同理可得y2＋yz＋z2≥y＋z，222xz＋zx＋x≥z＋，因为x，y，z不全为零，故上述三式中起码有一式取不到等号，因此三式相加得：222222yzx3x＋xy＋y＋y＋yz＋z＋z＋zx＋x>x＋2＋y＋2＋z＋2＝2(x＋y＋z)．(1)利用放缩法证明不等式，要依据不等式两头的特色及已知条件(条件不等式)，谨慎地采纳举措，进行适合地放缩，任何不适合的放缩都会致使推证的失败．必定要熟习放缩法的详细举措及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采纳舍掉式中一些正项或负项，或许在分式中放大或减小分子、分母，或许把和式中各项或某项换以较大或较小的数，进而达到证明不等式的目的．4．已知a，b是正实数，且a＋b＝1，求证：113a＋1＋b＋1<2.证明：因为1＋1<1＋b＋1＋aa＋1＋1＋1＋b＋1＋ababa＋b＋23＝a＋b＋1＝2，因此原不等式得证．5．已知∈N＋，求证：1×3＋3×5＋＋(2－1)(2n＋1)<n＋12.nn2证明：因为1＋343＋581×3<＝，3×5<＝，，2222(2n－1)＋(2n＋1)4n(2n－1)(2n＋1)<2＝2，因此1×3＋3×5＋＋4＋8＋＋4n2(2n－1)(2n＋1)<＝n＋n，2又因为n2＋n<n＋12，2因此原不等式得证．1．假如两个正整数之积为偶数，则这两个数( )A．两个都是偶数B．一个是奇数，一个是偶数C．起码一个是偶数D．恰有一个是偶数分析：选C假定这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，因此这两个数起码一个为偶数．2．设x＞0，＞0，＝x＋y，＝x＋y，则，的大小关系为( )yM2＋x＋yN2＋x2＋yMNA．M＞NB．M＜NC．＝D．不确立MN分析：选B＝x＋y＞x＋y＝x＋y＝.N2＋x2＋y2＋x＋y2＋x＋y2＋x＋yM3.否认“自然数a，b，c中恰有一个为偶数”时正确的反设为( )A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中起码有两个偶数D．a，b，c中起码有两个偶数或都是奇数分析：选D三个自然数的奇偶状况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a，，c中恰有一个为偶数包括“二奇一偶”的状况，故反面的状况有3种，只有Db项切合．4．设a，b，c∈(－∞，0)，则三数a＋1，b＋1，c＋1的值()bcaA．都不大于－2B．都不小于－2C．起码有一个不大于－2D．起码有一个不小于－2分析：选C假定都大于－2，111则a＋b＋b＋c＋c＋a>－6，∵a，b，c均小于0，111∴a＋a≤－2，b＋b≤－2，c＋c≤－2，111∴a＋a＋b＋b＋c＋c≤－6，这与假定矛盾，则选C.11115．M＝210＋210＋1＋210＋2＋＋211－1与1的大小关系为________．1111分析：M＝210＋210＋1＋210＋2＋＋211－11111210＋210＋1＋210＋2＋＋210＋(210－1)1111<210＋210＋210＋＋210＝1，即M<1.共210项答案：M<16．用反证法证明“已知平面上有n(n≥3)个点，此中随意两点的距离最大为d，距离为d的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数量最多为n条”时，假定的内容为____________．分析：对“至多”的否认应当是“起码”，两者之间应当是完整对应的，因此此题中的假定应为“直径的数量起码为＋1条”．n答案：直径的数量起码为n＋1条7．A＝1＋111n(n∈N)的大小关系是________．＋＋＋与23n＋分析：A＝1111111n＋＋＋＋≥＋＋＋＝n123nnnnn项＝n.答案：≥nA8．实数a，b，c，d知足a＋b＝c＋d＝1，且ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中起码有一个是负数．证明：假定a，b，c，d都是非负数．由a＋b＝c＋d＝1，知a，b，c，d∈[0,1]．＋＋d进而ac≤ac≤2，bd≤bd≤2.∴ac＋a＋c＋b＋dac＋≤1.≤＝1.即2与已知ac＋bd>1矛盾，∴a，b，c，d中起码有一个是负数．9．求证：12＋12＋12＋＋12<2.123n1111证明：因为n2<n(n－1)＝n－1－n，1111因此12＋22＋32＋＋n2111<1＋1×2＋2×3＋＋(n－1)n11111＝1＋1－2＋2－3＋＋n－1－n1＝2－n<2.10．已知α，β∈0，πα＋β)＝2sinα.求证α<β.2，且sin(证明：假定α≥β.①若α＝β，由sin(α＋β)＝2sinα，得sin2α＝2sinα，进而cosα＝1，这与α∈0，π2矛盾，故α＝β不建