2023届山东菏泽一中高一数学第二学期期末考试试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图，正方形中，是的中点，若，则（）A． B． C． D．2．已知直线，，若，则（）A．2 B． C． D．13．已知两个单位向量的夹角为，则下列结论不正确的是（）A．方向上的投影为 B．C． D．4．同时具有性质：①图象的相邻两条对称轴间的距离是；②在上是增函数的一个函数为（）A． B． C． D．5．设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则（）A． B． C． D．6．已知圆锥的底面半径为，母线与底面所成的角为，则此圆锥的侧面积为（）A． B． C． D．7．设等比数列的前项和为，若则（）A． B． C． D．8．设函数，则()A．在单调递增，且其图象关于直线对称B．在单调递增，且其图象关于直线对称C．在单调递减，且其图象关于直线对称D．在单调递增，且其图象关于直线对称9．若实数a、b满足条件，则下列不等式一定成立的是A． B． C． D．10．关于x的不等式的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（）A． B． C． D．（4,5）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，且，则的取值范围是____________.12．在三棱锥中，已知，，则三棱锥内切球的表面积为______.13．已知，且是第一象限角，则的值为__________.14．用数学归纳法证明“”时，由不等式成立，推证时，则不等式左边增加的项数共__项15．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则角_______.16．已知数列的前项和为，若，则______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图所示，某住宅小区的平面图是圆心角为120°的扇形，小区的两个出入口设置在点及点处，且小区里有一条平行于的小路，已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长.18．已知向量，满足：=4，=3，(Ⅰ)求·的值；(Ⅱ)求的值.19．已知，求的值．20．如图，在四棱锥中，，侧面底面.（1）求证：平面平面；（2）若，且二面角等于，求直线与平面所成角的正弦值.21．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

以为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为，利用平面向量的坐标运算建立有关、的方程组，求出这两个量的值，可得出的值.【详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为，由此，，故，解得.故选B.【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查平面向量的基底表示，解题时也可以利用坐标法来求解，考查运算求解能力，属于中等题.2、D【解析】

当为,为,若,则,由此求解即可【详解】由题,因为,所以,即,故选:D【点睛】本题考查已知直线垂直求参数问题,属于基础题3、B【解析】试题分析：A．方向上的投影为，即，所以A正确；B．，所以B错误；C．，所以，所以C正确；D．，所以．D正确．考点：向量的数量积；向量的投影；向量的夹角．点评：熟练掌握数量积的有关性质是解决此题的关键，尤其要注意“向量的平方就等于其模的平方”这条性质．4、C【解析】由①得函数的最小正周期是，排除．对于B:，当时，，此时B选项对应函数是减函数，C选项对应函数是增函数，满足②，故选C．5、B【解析】由余弦定理得：，所以，即，解得：或，因为，所以，故选B．考点：余弦定理．6、B【解析】

首先计算出母线长，再利用圆锥的侧面积（其中为底面圆的半径，为母线长），即可得到答案．【详解】由于圆锥的底面半径，母线与底面所成的角为，所以母线长，故圆锥的侧面积；故答案选B【点睛】本题考查圆锥母线和侧面积的计算，解题关键是熟练掌握圆锥的侧面积的计算公式，即（其中为底面圆的半径，为母线长），属于基础题7、B【解析】

根据等比数列中前项和的“片段和”的性质求解．【详解】由题意得，在等比数列中，成等比数列，即成等比数列，∴，解得．故选B．【点睛】设等比数列的前项和为，则仍成等比数列，即每个项的和仍成等比数列，应用时要注意使用的条件是数列的公比．利用此结论解题可简化运算，提高解题的效率．8、B【解析】

先将函数化简，再根据三角函数的图像性质判断单调性和对称性，从而选择答案.【详解】

根据选项有，当时，在在上单调递增.又即为的对称轴.当时，为的对称轴.故选：B【点睛】本题考查的单调性和对称性质，属于中档题.9、D【解析】

根据题意，由不等式的性质依次分析选项，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A、，时，有成立，故A错误；对于B、，时，有成立，故B错误；对于C、，时，有成立，故C错误；对于D、由不等式的性质分析可得若，必有成立，则D正确；故选：D．【点睛】本题考查不等式的性质，对于错误的结论举出反例即可．10、A【解析】

不等式等价转化为，当时，得，当时，得，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出的取值范围。【详解】关于的不等式，不等式可变形为，当时，得，此时解集中的整数为2，3，4，则；当时，得，，此时解集中的整数为-2，-1，0，则故a的取值范围是，选：A。【点睛】本题难点在于分类讨论解含参的二次不等式，由于二次不等式对应的二次方程的根大小不确定，所以要对和1的大小进行分类讨论。其次在观察的范围的时候要注意范围的端点能否取到，防止选择错误的B选项。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

利用正弦函数的定义域求得值域，即的范围，再根据反余弦函数的定义可求得的取值范围.【详解】因为且，所以，则根据反余弦函数的定义可得，则的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查了正弦函数的定义域和值域，考查了反余弦函数的定义，属于基础题.12、【解析】

先计算出三棱锥的体积，利用等体积法求出三棱锥的内切球的半径，再求出内切球的表面积。【详解】取CD中点为E，并连接AE、BE在中，由等腰三角形的性质可得,同理则在中点A到边BE的距离即为点A到平面BCD的距离h,在中，【点睛】本题综合考查了三棱锥的体积、三棱锥内切圆的求法、球的表面积，属于中档题.13、；【解析】

利用两角和的公式把题设展开后求得的值，进而利用的范围判断的范围，利用同角三角函数的基本关系求得的值，最后利用诱导公式和对原式进行化简，把的值和题设条件代入求解即可.【详解】，，即，，两边同时平方得到：，解得，是第一象限角，，得，，即为第一或第四象限，，.故答案为：.【点睛】本题考查了两角差的余弦公式、诱导公式以及同角三角函数的基本关系，需熟记三角函数中的公式，属于中档题.14、【解析】

由题意有：由不等式成立，推证时，则不等式左边增加的项数共项，得解.【详解】解：当时，不等式左边为，当时，不等式左边为，则由不等式成立，推证时，则不等式左边增加的项数共项，故答案为：.【点睛】本题考查了数学归纳法，重点考查了运算能力，属基础题.15、【解析】

根据三角形面积公式和余弦定理可得，从而求得；由角的范围可确定角的取值.【详解】故答案为：【点睛】本题考查余弦定理和三角形面积公式的应用问题，关键是能够配凑出符合余弦定理的形式，进而得到所求角的三角函数值.16、【解析】

利用和的关系计算得到答案.【详解】当时，满足通项公式故答案为【点睛】本题考查了和的关系，忽略的情况是容易发生的错误.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解析】

连接，由题意，得米，米，，在△中，由余弦定理可得答案.【详解】设该扇形的半径为米，连接，如图所示：由题意，得米，米，，在△中，由余弦定理得，即，解得米.答：该扇形的半径的长为米.【点睛】本题考查了利用余弦定理解三角形，将问题转化为在三角形中求解是解题关键，属于基础题.18、(Ⅰ)=2(Ⅱ)【解析】

（I）计算，结合两向量的模可得；（II）利用，把求模转化为向量的数量积运算．【详解】解：(Ⅰ)由题意得即又因为所以解得=2.(Ⅱ)因为，所以=16+36-4×2=44.又因为所以.【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是掌握性质：，即模数量积的转化．19、3【解析】

利用两角和的正切公式化简，求得的值，根据诱导公式求得的值.【详解】由得．将代入上式，得，解得．于是，所以．【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式、诱导公式，属于基础题.20、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）由得，，由侧面底面得侧面，由面面垂直的判定即可证明；（2）由侧面，可得，得是二面角的平面角，，推得为等腰直角三角形，取的中点，连接可得，由平面平面，得平面，证明平面，得点到平面的距离等于点到平面的距离，，再利用求解即可【详解】（1）证明：由可得，因为侧面底面，交线为底面且则侧面，平面所以，平面平面；（2）由侧面可得，，则是二面角的平面角，由可得，为等腰直角三角形取的中点，连接可得因为平面平面，交线为平面且所以平面，点到平面的距离为.因为平面则平面所以点到平面的距离等于点到平面的距离，.设，则在中，；在中，设直线与平面所成角为即所以，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的判定，二面角及线面角的求解，考查空间想象能与运算求解能力，关键是线面平行的性质得到点D到面的距离,是中档题21、（Ⅰ）0.4；（Ⅱ）20.【解析】

（1）首先可以根据频率分布直方图得出样本中分数不小于的频率，然后算出样本中分数小于的频率，最后计算出分数小于的概率；（2）首先计算出样本中分数不小于的频率，然后计算出分数在区间内的人数，最后计算出总体中分数在区间内的人数。【详解】（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于的频率为，所以样本中分数小于的频率为．所以从总体的名学生中随