逻辑函数及其简化

逻辑函数及其简化第一页，共二十九页，2022年，8月28日内容提要基本逻辑概念，逻辑代数中三种基本运算（与，或，非）及其复合运算（与非，或非，与或非，同或，异或等）逻辑代数运算的基本规律（变量和常量的关系，交换律，结合律，分配律，重叠律，反演律，调换律···各种律）逻辑函数基本运算公式及三个规则（代入规则，反演规则，对偶规则）逻辑函数的表示方法（真值表法，表达式法，卡诺图法，逻辑图法等）逻辑函数的三种化简方法（公式法，卡诺图法，系统化简法Q-M法）第二页，共二十九页，2022年，8月28日重点·难点逻辑代数中的基本公式，基本定理和基本定律，常用公式逻辑函数的真值表，表达式，卡诺图表示方法及其相互转换最大项，最小项的概念，逻辑函数公式化简法和卡诺图化简法第三页，共二十九页，2022年，8月28日重要概念和方法数字电路要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路，相应的研究工具是逻辑代数（布尔代数）。逻辑函数中的变量称为逻辑变量，一般用大写字母A、B、C、…表示，逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1。0和1称为逻辑常量。但必须指出，这里的逻辑0和1本身并没有数值意义，它们并不代表数量的大小，而仅仅是作为一种符号，代表事物矛盾双方的两种对立的状态。逻辑函数的定义：如果输入逻辑变量A、B、C…（自变量）的取值确定以后，输出逻辑变量F(因变量）的值也唯一地确定了，我们就称F是A、B、C…的逻辑函数，写作F=f（A,B,C…）第四页，共二十九页，2022年，8月28日基本逻辑运算“与”运算又称“与”逻辑、“逻辑乘”：决定事件发生的各条件中，所有条件都具备，事件才会发生（成立）。我们把这种因果关系称为与运算。“或”运算又称“或”逻辑、“逻辑加”：决定事件发生的各条件中，有一个或一个以上的条件具备，事件就会发生（成立）。我们把这种因果关系称为或运算“非”运算又称“非”逻辑、“反相运算”、“逻辑否定”：决定事件发生的条件只有一个，条件不具备时事件发生（成立），条件具备时事件不发生。我们把这种因果关系称为非运算。注意：在逻辑运算中，非1即0！！！第五页，共二十九页，2022年，8月28日复合逻辑运算与非或非

与或非异或同或

=A⊙B小贴士：表达式可结合集合概念加以理解记忆！第六页，共二十九页，2022年，8月28日异或的巧妙应用

C语言中若需要交换两个变量的值，除了通常使用的借用中间变量进行交换外，还可以利用异或，仅使用两个变量进行交换，如：

a=a⊕b;

b=a⊕b;

a=a⊕b;这样就完成了a与b的交换。第七页，共二十九页，2022年，8月28日第八页，共二十九页，2022年，8月28日逻辑代数基本公式（布尔恒等式）小贴士：可结合数学中集合概念对公式进行记忆！第九页，共二十九页，2022年，8月28日异或和同或逻辑运算的基本公式和基本规律调换律是同或、异或的特殊规律，它说明等式两边的变量是可以调换的。第十页，共二十九页，2022年，8月28日逻辑代数的常用公式这些公式应用于公式化简法中，可以消去多余变量和多余乘积项！第十一页，共二十九页，2022年，8月28日逻辑代数的三个规则代入规则

对任意逻辑等式，如果将式中的某一变量用其他变量或逻辑函数替换，则此等式仍然成立反演规则（德摩根定理或互补规则）

如果将任一逻辑函数式F=f(A，B，C，…)中所有的·换成+，+换成·，0换成1，1换成0，原变量换成反变量，反变量换成原变量所得到的新函数就是F的反函数。运用时注意：①原运算顺序不变②原式的公共非号保持不变。

利用反演规则可以很方便地求出反函数。对偶规则如果将任一逻辑函数式F=f(A，B，C，…)中所有的·换成+，+换成·，0换成1，1换成0所得到的新函数Fˊ就是F的对偶式。运用时注意：①原运算顺序不变②原式的长短非号保持不变。 F与互为对偶，（Fˊ）ˊ=F。注意：对偶关系不是相等的关系，即Fˊ≠F。运用对偶规则可以使要记忆的公式减少一半。等式的对偶式也是等式。第十二页，共二十九页，2022年，8月28日逻辑函数的标准形式逻辑变量的逻辑与运算叫做与项，与项的逻辑或运算构成了逻辑函数的与或式，也叫做积之和式(SPform)。逻辑变量的逻辑或运算叫做或项，或项的逻辑与运算构成了逻辑函数的或与式，也叫做和之积式(PSform)。最小项：对于n个变量的逻辑函数而言，它的与项如果包含全部变量，且每个变量都只能以原变量（1）或反变量（0）的形式出现一次且只出现一次，那么这个与项就称为该逻辑函数的最小项。简单地说：最小项就是n个变量的积，原变量为1，反变量为0。提及最小项一定要说明变量的数目。N个变量共有2^n个最小项。第十三页，共二十九页，2022年，8月28日性质①最小项都对应了一组变量取值。对变量的任意一组取值，只有一个最小项为1，其余最小项全为0。②任意两个不同最小项之积恒为0；③全体最小项的逻辑和恒为1；④两个逻辑相邻的最小项（只有一个因子不同，其余因子都相同）可以合并为一项，从而消去一个因子最小项的编号：三变量A、B、C的八组取值000、001、……111能分别使八个最小项的值为1，又与十进制数0，1……7的二进制数表示相同。用0～7编号八个最小项，记为：m0、m1、m2、m3、m4、m5、m6、m7

在n个变量的逻辑系统中，如果Y为i个最小项之和，则Y非必为余下的（n－i）个最小项之和。第十四页，共二十九页，2022年，8月28日最小项标准表达式（标准与或式·唯一）由一般式→标准与或式的变换方法：1.书上例题方法--用公式把一般式化为一般与或式：若式中的某一项缺少某个变量，就用该变量的原变量和反变量之和去乘这一项，然后拆成两项，直到补齐所缺变量为止2.老师介绍方法--卡诺图法（后面再介绍）3.列出真值表，直接写出标准最小项，再写出标准与或式第十五页，共二十九页，2022年，8月28日最大项：对于n个变量的逻辑函数而言，它的或项如果包含全部变量，且每个变量以原变量（0）或反变量（1）的形式出现一次且只出现一次，那么这个或项就称为该逻辑函数的最大项。性质：①在输入变量的任何一组取值下，必有一个最大项，而且只有一个最大项的值为0。②全体最大项之积为0。③任意两个最大项之和为1。最大项编号：类比最小项编号规则，将m换成M。第十六页，共二十九页，2022年，8月28日最大项表达式（标准或与式·唯一）概念：全部由最大项组成的逻辑表达式为标准或–与表达式如何求最大项表达式：1.真值表法：将真值表中输出为0的一组输入变量组合状态（用原变量表示变量取值0，用反变量表示变量取值1）用逻辑加形式表示，再将所有的逻辑加进行逻辑乘，就得到标准或–与表达式。2.利用A=(A+B)(A+B)，将每个或项所缺变量逐步补齐，然后展开成最大项表达式。第十七页，共二十九页，2022年，8月28日最小项表达式与最大项表达式的关系如果有一个函数的最小项表达式为则其最大项表达式为j≠i，j为2^n个编号中除去i以外的号码根据逻辑函数的特点，这种表示方法①便于转换成卡诺图；②便于写出反函数。比如F=∑m（0，2，3，4）的反函数=∑m（1，5，6，7）。第十八页，共二十九页，2022年，8月28日异或，同或标准形式由逻辑函数的基本表达式还可以导出逻辑函数的同或，异或表达式设逻辑函数的最小项表达式为其中具体证明过程见课本p31

第十九页，共二十九页，2022年，8月28日关于逻辑函数化简的几个问题化简的意义：对于一个逻辑函数来说，如果表达式比较简单，那么实现这个逻辑函数所需要的元件（门电路）就比较少。所以化简的意义是：节约器材、降低成本、提高可靠性。什么是最简与或式

理论分析原则：在与或表达式中，若与项个数最少，且每个与项中变量的个数也最少，则该式就是最简与或式。表达式最简，不一定就节约了器材，还有个利用率的问题（经济问题）、可靠性问题、工作速度问题、消除竞争冒险问题等等。 第二十页，共二十九页，2022年，8月28日逻辑函数的代数化简法公式化简法：利用基本公式和常用公式进行推演 1．并项法：利用A+A=1，将两项合并为一项，消去一个变量。(或者利用全体最小项之和恒为“1”的概念，把2n项合并为一项，消去n个变量。)2．吸收法：利用A+AB=A吸收多余项。 3．消去法：利用A+AB=A+B消去多余的因子。 4．消项法：利用AB+AC+BC=AB+AC消去多余的项。

消项法与吸收法类似，都是消去一个多余的项。只是前者运用冗余定理，后者利用吸收律(І)。第二十一页，共二十九页，2022年，8月28日

5．配项法：利用A=AB+AB将一项变为两项，或者利用冗余定理增加冗余项，然后（配项目的）寻找新的组合关系进行化简。

公式法化简的优点是没有任何局限性；缺点是化简结果是否最简不易看出。

当遇到或与式的时候，可以利用对偶规则，将或与式转换为与或式。化为最简式后，再利用对偶规则换回或与式（原函数的最简式）。第二十二页，共二十九页，2022年，8月28日卡诺图化简用卡诺图表示逻辑函数的方法:

所谓卡诺图就是将n变量的全部最小项各用一个小方格表示，最小项按循环码（即相邻两组之间只有一个变量0或1取值不同的编码）规则排列组成的方格图

真值表-->方格图第二十三页，共二十九页，2022年，8月28日1.n变量的卡诺图可以表示n变量的逻辑函数，若，则在卡诺图对应的mi最小项的方格中填1，其余填0。2.卡诺图合并最小项规律将2i个相邻的1格进行合并（卡诺图中加圈表示），合并成一项，该乘积项由（n–i）个变量组成。3.卡诺图化简的基本步骤用卡诺图化简逻辑函数时，一般按如下步骤进行：（1）作出描述逻辑函数的卡诺图。（2）圈出没有相邻的1格（独立方格）。（3）找出只有一种合并可能的1格，从它出发，把含有2i个相邻1格圈在一起，构成一个合并乘积项。（4）余下没有被包含的1格有两种或两种以上合并可能，选择既能包含全部1格又使圈数最少的合并方法，使卡诺图中全部1格均被覆盖。第二十四页，共二十九页，2022年，8月28日卡诺图化简函数的依据

逻辑相邻的2n个最小项相加，能消去n个变量。 逻辑相邻：相同变量的两个最小项只有一个因子不同，则他们在逻辑上相邻。在卡诺图中合并最小项的规律（以四个变量为例） ①相邻的两个最小项可以合并为一项，消去一个变量（挨着，一行两端，一列两端）。 ②相邻的四个最小项可以合并为一项，消去两个变量（组成方块，一行，一列，两行末端，两列末端，四角）。 ③相邻的八个最小项合并为一项，消去三个变量（两行，两列，两边的两行或者两列）。第二十五页，共二十九页，2022年，8月28日卡诺图化简注意事项所有为1的最小项必须在某一个包围圈中，且圈中1的个数必须是2^n个；包围圈中1的个数越多越好（变量少），而包围圈的个数越少越好（乘积项少）；卡诺图中的1可以重复使用（重叠律），但每个包围圈中应至少含一个新1！否则，该乘积项就是多余的；圈1得原函数，圈0得反函数。第二十六页，共二十九页，2022年，8月28日表达式→卡诺图求函数的标准与或式，并编号；画卡诺图；在图中找到与函数所对应的最小项方格并填“1”，其余的添“0”。例：将F=填入卡诺图。解：F=

=∑m(0，2，4，6)

第二十七页，共二十九页，2022年，8月28日运用卡诺图的好处方便地求反函数。如本例F的反函数为=∑