北京平谷区第八中学2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析VIP

北京平谷区第八中学2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中,tanA是以为第3项,4为第7项的等差数列的公差;tanB是以为第3项,9为第6项的等比数列的公比,则该三角形为（

）A．等腰三角形

B．锐角三角形C．直角三角形

D．钝角三角形参考答案：B略2.一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（

）参考答案：C略3.下列说法正确的是

（

）A．命题“，”的否定是“，”B．命题“已知，若，则或”是真命题C．“在上恒成立”“在上恒成立”D．命题“若，则函数只有一个零点”的逆命题为真命题参考答案：B略4.已知a∈（，），sinα=，则tan2α=

（

）A. B. C. D.参考答案：C略5.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在上单调递增的函数是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】函数的奇偶性，单调性B4B3C和是偶函数，在上单调递减，为奇函数，故选C.【思路点拨】根据函数的性质之奇偶和增减的定义可求.6.设函数则=（

）A.2

B.1

C.-2

D.-1参考答案：D略7.已知，，，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略8.复数z=i2(1+i)的虚部为（

）A.

1

B.

i

C.

-1

D.

–i参考答案：C略9.某公司准备招聘了一批员工．有20人经过初试，其中有5人是与公司所需专业不对口，其余都是对口专业，在不知道面试者专业情况下，现依次选取2人进行第二次面试，第一个人已面试后，则第二次选到与公司所需专业不对口的概率是（

）A． B． C． D．参考答案：C．因为有5人是与公司所需专业不对口，第二次选到与公司所需专业不对口有5种可能，有20人经过初试有20种可能，所以．故选C．10.如果数列{an}的前n项和Sn=an﹣3，那么这个数列的通项公式是（）A．an=2（n2+n+1） B．an=3×2n C．an=3n+1 D．an=2×3n参考答案：D【考点】数列递推式；数列的函数特性．【分析】利用数列中an与Sn关系，得出，且a1=6，由此判定数列为等比数列，通项公式可求．【解答】解：当n=1时，，解得a1=6．当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=，化简整理，所以数列{an}是以6为首项，以3为公比的等比数列．通项公式an=6×3n﹣1=2×3n．故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．一环保人士当地某年的AQI记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如图．根据该统计数据，估计此地该年AQI大于100的天数约为为

．（该年为365天）参考答案：146【考点】茎叶图．【分析】根据该样本中AQI大于100的频数求出频率，由此估计该地全年AQI大于100的频率与频数．【解答】解：该样本中AQI大于100的频数是4，频率为，由此估计该地全年AQI大于100的频率为，估计此地该年AQI大于100的天数约为365×=146（天）．故答案为：146．12.在正方体中，与所成角的大小为_________________.参考答案：13.如图是一个算法流程图，则输出的的值为

．参考答案：12514.（6分）设n∈N*，圆的面积为Sn，则=．参考答案：4π考点： 极限及其运算；圆的标准方程．专题： 函数的性质及应用．分析： 利用圆的面积计算公式可得Sn=．再利用数列极限运算性质即可得出．解答： 解：∵圆的面积为Sn，∴Sn=．∴==4π．故答案为：4π．点评： 本题考查了圆的面积计算公式、数列极限运算性质，考查了计算能力，属于基础题．15.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

，最长棱的棱长为

．参考答案：8，【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是侧面垂直于底面的三棱锥，画出图形，结合图形求出它的体积与最长的棱长即可．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是侧面PAB⊥底面ABC的三棱锥，如图所示；过点P作PO⊥AB，垂足为O，则PO=4，三棱锥P﹣ABC的体积为××6×2×4=8；三棱锥P﹣ABC的各条棱长为AB=6，BC=2，AC==2，PA==2，PB==4，PC==6；所以最长的棱是AC=2．故答案为：8，【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．16.观察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…，根据上述规律，第五个等式为

▲

．参考答案：13+23+33+43+53+63=212

略17.将一枚骰子抛掷两次，记先后出现的点数分别为，则方程有实根的概率为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设椭圆的右焦点为，直线与轴交于点，若（其中为坐标原点）．（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径（、为直径的两个端点），求的最大值．参考答案：（1）由题设知，，

由，得．……3分解得．所以椭圆的方程为．…………4分（2）方法1：设圆的圆心为，则

………………6分

……Ks5u……………7分．………………8分从而求的最大值转化为求的最大值．………………9分因为是椭圆上的任意一点，设，…………………10分所以，即．…………11分因为点，所以．……………12分因为，所以当时，取得最大值12．……………13分所以的最大值为11．………………………14分方法2：设点，因为的中点坐标为，所以

………………6分所以……………7分

．…………………9分因为点在圆上，所以，即．………10分因为点在椭圆上，所以，即．…………………11分所以．……………12分因为，所以当时，．………………14分

方法3：①若直线的斜率存在，设的方程为，………………6分由，解得．………7分因为是椭圆上的任一点，设点，所以，即．…………8分所以，

……………………9分所以．

……………………10分因为，所以当时，取得最大值11．…………11分②若直线的斜率不存在，此时的方程为，由，解得或．不妨设，，．…………………Ks5u…12分因为是椭圆上的任一点，设点，所以，即．所以，．所以．因为，所以当时，取得最大值11．…………13分综上可知，的最大值为11．………………14分19.设函数（1）求f(x)的最小正周期及值域；（2）已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，若，，，求△ABC的面积．参考答案：（1）=，……………3分所以的最小正周期为，∵∴，故的值域为，

………7分（2）由，得，、又，得，………………9分在中，由余弦定理，得=，又，，…………………11分所以，解得所以，的面积.

……………15分20.2014年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）后得到如图的频率分布直方图．（1）求这40辆小型车辆车速的众数、平均数和中位数的估计值；（2）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）的车辆恰有一辆的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；散点图．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，由此能求出众数的估计值；设图中虚线所对应的车速为x，由频率分布直方图能求出中位数的估计值和平均数的估计值．（2）从频率分布直方图求出车速在[60，65）的车辆数、车速在[65，70）的车辆数，设车速在[60，65）的车辆设为a，b，车速在[65，70）的车辆设为c，d，e，f，利用列举法能求出车速在[65，70）的车辆恰有一辆的概率．【解答】解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5，设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为：0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x﹣75）=0.5，解得x=77.5，即中位数的估计值为77.5，平均数的估计值为：5×（62.5×0.01+67.5×0.02+72.5×0.04+77.5×0.06+82.5×0.05+87.5×0.02）=77．（2）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数为：m1=0.01×5×40=2（辆），车速在[65，70）的车辆数为：m2=0.02×5×40=4（辆）设车速在[60，65）的车辆设为a，b，车速在[65，70）的车辆设为c，d，e，f，则所有基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15种其中车速在[65，70）的车辆恰有一辆的事件有：（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f）共8种∴车速在[65，70）的车辆恰有一辆的概率为．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．21.（本小题满分14分）设对于任意的实数，函数，满足，且，，（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和参考答案：（Ⅰ）取，得，取，故数列是首项是1，公比为的等比数列，所以取，，得，即，故数列是公差为的等差数列，又，所以（Ⅱ），两式相减得所以22.已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为Tn，求证：≤Tn