过程特性及其数学模型

过程特性及其数学模型第一页，共二十三页，2022年，8月28日对象特性——是指对象输入量与输出量之间的关系(数学模型)即对象受到输入作用后，被控变量是如何变化的、变化量为多少……

输入量？？控制变量＋各种各样的干扰变量由对象的输入变量至输出变量的信号联系称为通道控制变量至被控变量的信号联系通道称控制通道干扰至被控变量的信号联系通道称干扰通道对象输出为控制通道输出与各干扰通道输出之和

控制通道干扰通道干扰变量控制变量被控变量被控对象第二页，共二十三页，2022年，8月28日对象特性的分类与研究方法所谓研究对象的特性，就是用数学的方法来描述出对象输入量与输出量之间的关系——数学建模。对象的数学模型：对象特性的数学描述；对象的数学模型可以分为静态数学模型和动态数学模型。静态数学模型描述的是对象在稳定时（静态）的输入与输出关系；动态数学模型描述的是在输入量改变以后输出量跟随变化的规律；动态数学模型是更精确的模型，静态数学模型是动态数学模型在对象达到平衡时的特例。第三页，共二十三页，2022年，8月28日数学模型的表示方法：参量模型：通过数学方程式表示常用的描述形式：微分方程(组)*、传递函数*、频率特性等参量模型的微分方程的一般表达式：y(t)表示输出量，x(t)表示输入量，通常输出量的阶次不低与输入量的阶次(n≥m)当n=m时，称对象是正则的；当n>m时，称对象是严格正则的；n<m的对象是不可实现的。通常n=1，称该对象为一阶对象模型；n=2，称二阶对象模型。

非参量模型：采用曲线、表格等形式表示。特点：形象、清晰，缺乏数学方程的解析性质（必要时须进行数学处理获得参量模型）。

第四页，共二十三页，2022年，8月28日建模的方法：机理建模、实验建模、混合建模

机理建模——根据物料、能量平衡、化学反应、传热传质等基本方程，从理论上来推导建立数学模型。由于工业对象往往都非常复杂，物理、化学过程的机理一般不能被完全了解，而且线性的并不多，再加上分布元件参数（即参数是时间与位置的函数）较多，一般很难完全掌握系统内部的精确关系式。另外，在机理建模过程中，往往还需要引入恰当的简化、假设、近似、非线性的线性化处理等，而且机理建模也仅适用于部分相对简单的系统。实验建模——在所要研究的对象上，人为的施加一个输入作用，然后用仪表记录表征对象特性的物理量随时间变化的规律，得到一系列实验数据或曲线。这些数据或曲线就可以用来表示对象特性。这种应用对象输入输出的实测数据来决定其模型的方法，通常称为系统辨识。其主要特点是把被研究的对象视为一个黑箱子，不管其内部机理如何，完全从外部特性上来测试和描述对象的动态特性。有时，为进一步分析对象特性，可对这些数据或曲线进行处理，使其转化为描述对象特性的解析表达式。混合建模——将机理建模与实验建模结合起来，称为混合建模。混合建模是一种比较实用的方法，它先由机理分析的方法提出数学模型的结构形式，把被研究的对象视为一个灰箱子，然后对其中某些未知的或不确定的参数利用实验的方法给予确定。这种在已知模型结构的基础上，通过实测数据来确定数学表达式中某些参数的方法，称为参数估计。第五页，共二十三页，2022年，8月28日对象机理数学模型的建立问题：处于平衡状态的对象加入干扰以后，不经控制系统能否自行达到新的平衡状态？

左图：假设初始为平衡状态qi=qo，水箱水位保持不变。当发生变化时(qi＞qo)，此时水箱的水位开始升高根据流体力学原理，水箱出口流量与H是存在一定的对应关系的：

因此，qi

H

qo，直至qi=qo可见该系统受到干扰以后，即使不加控制，最终自身是会回到新的平衡状态，这种特性称为“自衡特性”。

右图：如果水箱出口由泵打出，其不同之处在于：qi当发生变化时，qo不发生变化。如果qi＞qo

，水位H将不断上升，直至溢出，可见该系统是无自衡能力。绝大多数对象都有自衡能力，一般而言有自衡能力的系统比无自衡能力的系统容易控制。第六页，共二十三页，2022年，8月28日§2.2对象理论数学模型的建立一阶对象： 系统输入、输出关系（动态特性）可以用一阶微分方程来表示的控制对象。积分对象 系统动态特性可以用一阶积分方程来表示的控制对象。二阶对象： 系统动态特性可以用二阶微分方程来表示的控制对象。第七页，共二十三页，2022年，8月28日·一阶线性对象问题：求右图所示的对象模型（输入输出模型）。

解：该对象的输入量为qi

被控变量为液位h根据物料平衡方程：

单位时间内水槽体积的改变＝输入流量—输出流量

由于出口流量可以近似地表示为：(i)式是针对完全量的输入输出模型，(ii)式是针对变化量的输入输出模型，二者的结构形式完全相同。由于在控制领域中，特性的分析往往是针对变化量而言的，为了书写方便在以后的表达式中不写出变化量符号。第八页，共二十三页，2022年，8月28日对上式作拉氏变换：对象的传递函数：该对象的阶跃响应：如果qi为幅值为A的阶跃输入，则

这是最典型的一阶对象的传递函数第九页，共二十三页，2022年，8月28日·一阶线性对象（总结）典型的微分方程典型的传递函数典型的阶跃响应函数典型的阶跃响应曲线h()h(t)T0.632h()qita从微分方程的解析解来看

K――放大系数，在阶跃输入作用下，对象输出达到新的稳定值时，输出变化量与输入变化量之比，也称静态增益。K越大，表示输入量对输出量的影响越大。T――时间常数，在阶跃输入作用下，对象输出达到最终稳态变化量的63.2％所需要的时间，时间常数T是反映响应变化快慢或响应滞后的重要参数。用T表示的响应滞后称阻容滞后（容量滞后）。

T大，反应慢，难以控制；T小，反应块。第十页，共二十三页，2022年，8月28日·二阶线性对象问题：求右图所示的对象模型（输入输出模型）。

解：该对象的输入量为qi

被控变量为液位h2（同样利用物料平衡方程）槽1：槽2：联立方程求解：传递函数：第十一页，共二十三页，2022年，8月28日·二阶线性对象（总结）典型的微分方程典型的阶跃响应函数典型的阶跃响应曲线qita不相关双容第十二页，共二十三页，2022年，8月28日·二阶线性对象(相关和不相关）若各特性参数不变，则二者的阶跃响应曲线示意图如下：qita不相关双容响应曲线比较单容相关双容第十三页，共二十三页，2022年，8月28日·纯滞后一阶对象在工业过程中常有一些输送物料的中间过程，如图所示，qi为操纵变量，但需要经过导流槽才送入水箱。如果把水箱入口的进料量记为qf，并设：导流槽长度l，流体平均速度v，流体流经导流槽所需的时间τ，所以当qi发生改变以后，经过时间以后qf才有变化：对于qf与h来说，根据前面的推导，可知：传递函数为：第十四页，共二十三页，2022年，8月28日·纯滞后对象（总结）典型的微分方程典型的传递函数典型的阶跃响应函数典型的阶跃响应曲线qitah()hT0.632h()纯滞后产生的主要原因：

物料输送等中间过程产生纯滞后（大时间常数表现出来的等效滞后）由于纯滞后的出现，控制作用必须经历一定的时间延迟（滞后）才能在被控变量上得到体现，致使当被控变量的反馈反映出控制作用时，可能会输入过多的控制量，导致系统严重超调甚至失稳。

第十五页，共二十三页，2022年，8月28日对象特性的实验建模——在被控对象上人为加入输入量，记录表征对象特性的输出量随时间的变化规律。被控对象输入量输出量系统辨识对象模型阶跃信号脉冲信号伪随机信号……表格数据响应曲线……阶跃输入t0At0A矩形脉冲t1加测试信号前，要求系统尽可能保持稳定状态，否则会影响测试结果；输入量/输出量的起始时间是相同的，起始时间是输入量的加入时间，输出量的响应曲线可能滞后于输入量的响应，其原因是纯滞后或容量滞后；在测试过程中尽可能排除其它干扰的影响，以提高测量精度；在相同条件下重复测试多次，以抽取其共性；在测试和记录的过程中，应持续到输出量达到新的稳态值；许多工业对象不是真正的线性对象，由于非线性关系，对象的放大倍数是可变的，所以作为测试对象的工作点应该选择正常的工作状态（一般要求运行在额定负荷、正常干扰等条件下）。第十六页，共二十三页，2022年，8月28日对象特性的混合建模由于机理建模和实验建模各优特点，目前比较实用的方法是将二者结合起来，成为混合建模。混合建模的过程：先通过机理建模获取数学模型的结构形式，通过实验建模（辨识）来求取（估计）模型的参数。第十七页，共二十三页，2022年，8月28日对象特性对过渡过程的影响对象模型由三个基本参数决定：K、T、τ

K对过渡过程的影响阶跃输入作用下，对象输出达到新的稳定值时，输出变化量与输入变化量之比，称为静态增益（输出静态变化量与输入静态变化量之比）。u广义对象fyK其它参数不变控制通道放大系数

干扰通道放大系数

KO越大

控制变量u对被控变量y的影响越灵敏

控制能力强Kf

越大

干扰f对被控变量y的影响越灵敏。在设计控制系统时，应合理地选择KO使之大些，抗干扰能力强，太大会引起系统振荡。第十八页，共二十三页，2022年，8月28日

T对过渡过程的影响时间常数：在阶跃输入作用下，对象输出达到最终稳态变化量的63.2％所需要的时间。一般情况希望TO小些，但不能太小，Tf大些。T（其它参数不变）时间常数T是反映响应变化快慢或响应滞后的重要参数。用T表示的响应滞后称阻容滞后（容量滞后），T大反应慢，难以控制；T小反应块。

控制通道TO大

响应慢、控制不及时、过渡时间tp长、超调量大控制通道TO小

响应快、控制及时、过渡时间tp短、超调量小控制通道TO太小

响应过快、容易引起振荡、降低系统稳定性。干扰通道的时间常数对被控变量输出的影响也是相类似的。第十九页，共二十三页，2022年，8月28日

τ对过渡过程的影响产生纯滞后的原因：物料输送等中间过程产生大时间常数对象所表现出来的等效纯滞后。物料输送产生的纯滞后比较容易理解，实际对象由于多容的存在也会使响应速度变慢，尤其是初始响应被大大延迟，在动态特性上也可近似作为纯滞后看待。事实上，广义等效的等效纯滞后就包括了以上二个部分之和。控制通道纯滞后对控制肯定不利，纯滞后增大控制质量恶化、超调量大干扰通道的纯滞后对系统响应影响不大，因为干扰本身是不确定的，可以在任何时间出现。在工艺设计时，应尽量减少或避免纯滞后时间。如：简化工艺、减少不必要的环节，以利于减少控制通道的滞后时间，在选择控制阀与检测点的安装位置时，应选取靠近控制对象的有利位置。第二十页，共二十三页，2022年，8月28日

一阶对象的放大倍数和时间常数

(Q1-Q2)dt=Adh其中Q2h/Rs对于任意Q1输入，最终总能形成一定的h，使得：

Q1=Q2h/Rs一个Q1对应一个确定的h。 参数Rs实际上决定了稳定液位高度与给料量之间的对应关系——比例系数或放大倍数。 当某一瞬间Q1从a增加/减少到b时，h需要经过一段时间才能从对应的h1增加/减少到h2。时间常数T即用于描述此过程的快慢。hQ1Q2第二十一页，共二十三页，2022年，8月28日 当Q1发生变化后，需要经过时间t1，其新流量才能进入被控系统——传递滞后。

Q1变化后的流量进入被控系统后，首先使h1逐步发生变化；经过时间t2后，h1有了较大变化，才引起Q12发生明显变化，并进而导致h2开始发生显著变化——容积滞后。h1Q1Q12Q2h2二阶对象传递滞后与容积滞后第二十二页，共二十三页，2022年，8月28日在被控对象上加入的输入信号为uTCAy(