2022-2023学年高三数学文期末试题含解析

2022-2023学年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，设是图中边长为的正方形区域，是内函数图象下方的点构成的区域．向中随机投一点，则该点落入中的概率为A．

B．

C．

D．

参考答案：C2.设a=log0.32，b=log32，c=20.3，则这三个数的大小关系是(

)A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a参考答案：D【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log0.32＜0，0＜b=log32＜1，c=20.3＞1，∴c＞b＞a．故选：D．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.设关于的不等式组，且使取得最大值为（）A．2

B．

C．

D．

参考答案：A4.在已知椭圆：的左右焦点分别为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略5.已知函数的图像与轴恰好有三个不同的公共点，则实数的取值范围是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C6.已知复数，则复数z的模｜z｜＝（A）（B）（C）（D）参考答案：D7.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C【知识点】抛物线及其几何性质.H7

解析：把化为，即2，又p=2,所以a=.【思路点拨】主要考查了抛物线的定义，标准方程及其性质的应用.8.函数f（x）=

cos2x在区间[-3，3]上的零点的个数为（

）

A．3

B．4

C．5

D．6参考答案：C略9.已知为实数，命题甲：，命题乙：，则甲是乙的（

） A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：B略10.已知复数.，则|z|=

(

)A.0 B.

C.2

D.-2参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数则______．参考答案：考点：1、分段函数的解析式；2、指数函数、对数函数的性质.12.已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若c﹣a=2acosB，则的取值范围是．参考答案：（0，）【考点】余弦定理．【分析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得sin（B﹣A）=sinA，由A，B为锐角，可得B=2A，解得A∈（0，），可得求sinA∈（0，），化简所求即可得解．【解答】解：∵c﹣a=2acosB，∴由正弦定理可得：sinC=2sinAcosB+sinA，∴sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB+sinA，可得：cosAsinB﹣sinAcosB=sinA，即：sin（B﹣A）=sinA，∵A，B为锐角，可得：B﹣A=A，可得：B=2A∈（0，），∴A∈（0，），可得：sinA∈（0，），∴=sinA∈（0，）．故答案为：（0，）．13.数列{a}中，若a=1，（n≥1），则该数列的通项a=________。参考答案：因为，所以，即数列是以为首项，公比的等比数列，所以数列的通项。所以14.设曲线在点处的切线与直线垂直，则

参考答案：15.数列的前项的和

.参考答案：16.已知i为虚数单位，，则实数＝

．参考答案：17.若集合，且，则实数的值为___________.参考答案：4略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值．参考答案：【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系，即可求函数f（x）的最小值；（2）要使f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，则只需求出f（x）的最小值即可得到结论．【解答】解：（1）∵f（x）=ex﹣ax﹣1（a＞0），∴f'（x）=ex﹣a，由f'（x）=ex﹣a=0得x=lna，由f'（x）＞0得，x＞lna，此时函数单调递增，由f'（x）＜0得，x＜lna，此时函数单调递减，即f（x）在x=lna处取得极小值且为最小值，最小值为f（lna）=elna﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1．（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，等价为f（x）min≥0，由（1）知，f（x）min=a﹣alna﹣1，设g（a）=a﹣alna﹣1，则g'（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna，由g'（a）=0得a=1，由g'（x）＞0得，0＜x＜1，此时函数单调递增，由g'（x）＜0得，x＞1，此时函数单调递减，∴g（a）在a=1处取得最大值，即g（1）=0，因此g（a）≥0的解为a=1，∴a=1．【点评】本题主要考查函数的单调性和导数的之间关系，以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键．19.已知函数f（x）=cosx（sinx﹣cosx）+m（m∈R），将y=f（x）的图象向左平移个单位后得到g（x）的图象，且y=g（x）在区间[，]内的最小值为．（1）求m的值；（2）在锐角△ABC中，若g（）=﹣+，求sinA+cosB的取值范围．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据二倍角公式化简f（x），利用平移规律得出g（x）的解析式，根据最小值列方程求出m；（2）根据条件求出C，用A表示出B，化简sinA+cosB得出关于A函数，根据A的范围得出正弦函数的性质得出sinA+cosB的范围．【解答】解：（1）f（x）=sinxcosx﹣cos2x+m=sin2x﹣cos2x+m﹣=sin（2x﹣）+m﹣，∴g（x）=sin+m﹣=sin（2x+）+m﹣，∵x∈[，]，∴2x+∈[，]，∴当2x+=时，g（x）取得最小值+m﹣=m，∴m=．（2）∵g（）=sin（C+）+﹣=﹣+，∴sin（C+）=，∵C∈（0，），∴C+∈（，），∴C+=，即C=．∴sinA+cosB=sinA+cos（﹣A）=sinA﹣cosA+sinA=sinA﹣cosA=sin（A﹣）．∵△ABC是锐角三角形，∴，解得，∴A﹣∈（，），∴＜sin（A﹣）＜，∴＜sin（A﹣）＜．∴sinA+cosB的取值范围是（，）．20.（12分）

多面体AEDBFC的直观图及三视图如图所示，MN分别为AF，BC的中点。

（Ⅰ）求证MN∥平面CDEF；

（Ⅱ）求多面体A—CDEF的体积。参考答案：解析：

（Ⅰ）由多面体AEBFC的三视图可知

三棱柱AED—BFC中，底面DAE是等腰直角三角形，

DA=AE=2，DA⊥平面ABFE，

················1分

侧面ABFE，ABCD都是边长为2的正方形

················3分

（Ⅰ）连EB，CE，∴M是EB中点，

又∵N是BC中点，在△BEC中，MN∥EC

················5分

又∵EC平面CDEF，MN平面CDEF，∴MN∥平面CDEF。···············6分

（Ⅱ）∵DA⊥平面ABEF，EC平面ABEF，∴AD⊥EF，

又∵EF⊥AE，∴EF⊥平面AED，∴四边形CDEF是矩形，侧面CDEF⊥平面AED

················8分

取DE中点H，∵△AED为等腰直角三角形，且AD=AE=2，

∴AH⊥DE，且AH=

∴AH⊥平面CDEF

·················11分

∴

·················12分21.某市为了引导居民合理用水，居民生活用水实行二级阶梯式水价计量方法，具体如下；第一阶梯，每户居民每月用水量不超过12吨，价格为4元/吨；第二阶梯，每户居民用水量超过12吨，超过部分的价格为8元/吨，为了了解全是居民月用水量的分布情况，通过抽样获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照（全市居民月用水量均不超过16吨）分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图.

（Ⅰ）求频率分布直方图中字母a的值，并求该组的频率；（Ⅱ）通过频率分布直方图，估计该市居民每月的用水量的中位数m的值（保留两位小数）；（Ⅲ）如图2是该市居民张某2016年1~6月份的月用水费y（元）与月份x的散点图，其拟合的线性回归方程是若张某2016年1~7月份水费总支出为312元，试估计张某7月份的用水吨数.参考答案：（Ⅰ）第四组的频率为0.2（Ⅱ）8.15（Ⅲ）15试题分析：（Ⅰ）根据小长方形的面积之和为1，即可求出a；（Ⅱ）由频率分布直方图估计样本数据的中位数，规律是：中位数，出现在概率是0.5的地方；（Ⅲ）根据回归方程即可求出答案.详解：（Ⅰ），第四组的频率为：（Ⅱ）因所以（Ⅲ）且所以张某7月份的用水费为设张某7月份的用水吨数吨，则张某7月份的用水吨数15吨.点睛：这个题目考查了频率分布直方图的应用，方图中求中位数的方法，即出现在概率是0.5的地方，以及回归方程的求法，在频率分布直方