选修21第三章空间向量与立体几何

新课标人教版高中数学选修2-1第三章空间向量与立体几何王新敞第三章空间向量与立体几何教材分析依照课程标准的设计思路，对每一部分都有一个整体定位。为了更好的掌握空间向量与立体几何这部分内容的要求，第一需要明确整体定位。标准对空间向量与立体几何这部分内容的整体定位以下：“用空间向量办理立体几何问题，供应了新的视角。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的地点关系与胸怀问题供应了一个十分有效的工具。在本模块中，学生将在学习平面向量的基础上，把平面向量及其运算实行到空间，运用空间向量解决有关直线、平面地点关系的问题，意会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想像能力和几何直观能力。”一、内容与课程学习目标1）空间向量及其运算经历向量及其运算由平面向空间实行的过程。②认识空间向量的见解，认识空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。（2）空间向量的应用①理解直线的方向向量与平面的法向量。②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。③能用向量方法证明有关线、面地点关系的一些定理（包括三垂线定理）④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，意会向量方法在研究几何问题中的作用。二、内容安排本章包括2节，约需9课时，详细分派以下（仅供参照）：31空间向量及其运算约6课时32立体几何中的向量方法约3课时三、授课要求空间向量的授课应引导学生运用类比的方法，经历向量及其运算由平面向空间实行的过程。授课过程中应注意维数增加所带来的影响。在授课中，能够激励学生灵便选择运用向量方法与综合方法，从不同样角度解决立体几何问题。比方：如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．(Ⅰ)求A1B与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；(Ⅱ)求点A1到平面AED的距离．本小题主要察看线面关系和直棱柱等基础知识，同时察看空间想像能力和推理运算能力．解法1：(Ⅰ)连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平面ABD所成的角．奎屯市第一高级中学第1页新课标人教版高中数学选修2-1第三章空间向量与立体几何王新敞条件：①∠ACB＝90°；确定②侧棱AA1＝2；直三棱柱③点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心选择适合地点成立坐标系用坐标描绘所需要的点∠EGBzC1A1向量BE,BGDECG重心G坐标EG⊥DGAx以以下列图成立坐标系，坐标原点为O，设CA＝2a，则A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，A1(2a，0，2)，E(a，a，1)，G(2a，2a，1)．333∴EGa，a，2，DG2a,2a,2．333333EG⊥DG，∴EGDG2a22a240，解得a＝1．99941又BE(1，－1，1)，BG(，－，)．33

底面边长B1ByzC1B1241A1∴BA1BG3337．cosDA1BG213E|BA||BG|23K3CyBA1B与平面ABD所成角是arccos7．xA3(Ⅱ)由(Ⅰ)有A(2，0，0)，A1(2，0，2)，E(1，1，1)，D(0，0，1)．AEED(1，1，1)(1，1，0)0，AA1ED(0，0，2)(1，1，0)0，ED⊥平面AA1E，又ED平面AED，平面AED⊥平面AA1E，又面AED面AA1E＝AE，点A1在平面AED的射影K在AE上．设AKAE，奎屯市第一高级中学第2页新课标人教版高中数学选修2-1第三章空间向量与立体几何王新敞则A1KA1AAK(，，2)．垂足K在哪儿？垂足在AE上由AKAE0，即++－2＝0，1条件怎样确定K2解得AK1AE0．3∴A1K(2，2，4)．怎样设定K设K的坐标33326．故A1到平面AED的距离为26．AKAE∴|A1K|33四、重、难点的分析授课重点是：①经历向量及其运算由平面向空间实行的过程，使学生认识空间向量的见解，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法，掌握空间向量的加减运算及其运算律.②掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，认识共线（平行）向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法，并能理解共线向量定理（不要修业生会证明此定理）和共面向量定理及其推论并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题.③认识两个向量的数量积（或称内积、点积）的计算方法及其应用.④认识空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，并会在简单问题中采用空间三个不同样向量作为基底表示其他向量.⑤掌握空间向量的坐标运算规律，理解直线的方向向量与平面的法向量，理解平行、共线向量坐标间的关系式，会依照向量的坐标，判断两个向量共线或垂直，掌握向量长度公式、两向量的夹角公式、空间两点间的距离公式，并会用这些知识解决解决线线、线面、面面的夹角的计算问题及简单立体几何问题.⑥理解并掌握向量方法解决立体几何问题的一般方法，意会向量方法在研究几何问题中的作用.授课的难点是：①空间向量的基本定理②怎样将立体几何问题转变为向量的计算问题奎屯市第一高级中学第3页新课标人教版高中数学选修2-1第三章空间向量与立体几何王新敞第1课时§空间向量及其加减与数乘运算授课要求：理解空间向量的见解，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．授课重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．授课难点：由平面向量类比学习空间向量．授课过程：一、复习引入1、有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母a、b等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB．长度相等且方向同样的向量叫相等向量.2.向量的加减以及数乘向量运算：向量的加法：向量的减法：实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定以下：|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.3.向量的运算运算律：加法互换律：a＋b＝b＋a三个力都是200N，互相间夹角为60°，可否提起一块重500N的钢板？二、新课解说1.定义：我们把空间中拥有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模.→举例？表示？（用有向线段表示）记法？→零向量？单位向量？相反向量？→讨论：相等向量？同向且等长的有向线段表示同向来量或相等的向量．→讨论：空间随意两个向量可否共面？空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算同样：OBOAAB=a+b，ABOBOA（指向被减向量），OPλa(R)（请学生说说数乘运算的定义？）空间向量的加法与数乘向量的运算律．⑴加法互换律：a+b=b+a；⑵加法联合律：(a+b)+c=a+(b+c)；⑶数乘分派律：λ(a+b)=λa+λb；⑶数乘联合律：λ(ua)=(λu)a．4.实行：⑴A1A2A2A3A3A4An1AnA1An；⑵A1A2A2A3A3A4An1AnAnA10；⑶空间平行四边形法例．5.出示例：已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）ABCDA'B'C'D'（如图），化简以下向量表达式，并标出化简结果的向量：⑴ABBC；⑵ABADAA'；(3)ABAD1CC'；⑷1(ABADAA')．23师生共练→变式训练6.练习：课本P927.小结：见解、运算、思想（由平面向量类比学习空间向量）三、坚固练习：作业：P106A组1、2题.奎屯市第一高级中学第4页新课标人教版高中数学选修2-1第三章空间向量与立体几何王新敞第2课时§3.1.2空间向量的数乘运算（二）授课要求：认识共线或平行向量的见解，掌握表示方法；理解共线向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．授课重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式．授课过程：一、复习引入1.回首平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判断向量b与非零向量a可否共线？方向同样或许相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都能够平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa.称平面向量共线定理，二、新课解说1.定义：与平面向量同样，若是表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作a//b．2．对于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间随意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.a∥b（a≠0），则有b＝a，其理解：⑴上述定理包括两个方面：①性质定理：若中是唯一确定的实数。②判判断理：若存在唯一实数，使b＝a（a≠0），则有a∥b（若用此结论判断a、b所在直线平行，还需a（或b）上有一点不在b（或a）上）.⑵对于确定的和a，b＝a表示空间与a平行或共线，长度为|a|，当>0时与a同向，当<0时与a反向的所有向量.3.推论：若是l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于随意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t知足等式OPOAta．其中向量a叫做直线l的方向向量.推论证明以下：∵l//a，∴对于l上随意一点P，存在唯一的实数t，使得APta．(*)又∵对于空间随意一点O，有APOPOA，∴OPOAta，OPOAta．①若在l上取ABa，则有OPOAtAB．()又∵ABOBOA∴OPOAt(OBOA)(1t)OAtO．B②当t1时，OP1(OAOB)．③22理解：⑴表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式，③式是线段的中点公式．事实上，表达式(*)和()既是表达式①和②的基础，也是直线参数方程的表达形式．⑵表达式①和②三角形法例得出的，能够据此记忆这两个公式．⑶推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判断．A空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理与平面向量完好同样，是平面向量有关知识的实行．C4.出示例1：用向量方法证明按次连结空间四边形四边中点的四边形是平D行四边形.（分析：怎样用向量方法来证明？）5.出示例2：如图O是空间随意一点，C、D是线段AB的三均分点，分B别用OA、OB表示OC、OD.O三、坚固练习：作业：奎屯市第一高级中学第5页新课标人教版高中数学选修2-1第三章空间向量与立体几何王新敞第3课时§空间向量的数乘运算（三）授课要求：认识向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；会用上述知识解决立几中有关的简单问题．授课重点：点在已知平面内的充要条件．授课难点：对点在已知平面内的充要条件的理解与运用．授课过程：一、复习引入空间向量的有关知识——共线或平行向量的见解、共线向量定理及其推论以及空间直线的向量表示式、中点公式．2.必修④《平面向量》，平面向量的一个重要定理——平面向量基本定理：若是e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的随意一个向量a，有且只有一对实数λ、1λ，使a＝λ＋λe1、e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．21e12e2.其中不共线向量2二、新课解说1.定义：若是表示空间向量a的有向线段所在直线与已知平面α平行或在平面α内，则称向量a平行于平面α，记作a//α．向量与平面平行，向量所在的直线能够在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的．2.定义：平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不用然是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内．讨论：空间中随意三个向量必然是共面向量吗？请举例说明．结论：空间中的随意三个向量不用然是共面向量．比方：对于空间四边形ABCD，AB、AC、AD这三个向量就不是共面向量．讨论：空间三个向量具备怎样的条件时才是共面向量呢？5.得出共面向量定理：若是两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使得p=xa+yb．证明：必要性：由已知，两个向量a、b不共线．∵向量p与向量a、b共面∴由平面向量基本定理得：存在一对有序实数对x，y，使得p=xa+yb．充分性：如图，∵xa，yb分别与a、b共线，∴xa，yb都在a、b确定的平面内．又∵xa+yb是以｜xa｜、｜yb｜为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在a、b确定的平面内，∴p=xa+yb在a、b确定的平面内，即向量p与向量a、b共面．说明：当p、a、b都是非零向量时，共面向量定理实质上也是p、a、b所在的三条直线共面的充要条件，但用于判准时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内．6.共面向量定理的推论是：空间一点P在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y，使得MPxMAyMB，①或对于空间随意必然点O，有OPOMxMAy．M②分析：⑴推论中的x、y是唯一的一对有序实数；⑵由OPOMxMAyMB得：OPOMx(OAOM)y(OBOM)，∴OP(1xy)OMxOAyOB③公式①②③都是P、M、A、B四点共面的充要条件．例题：课本P95例1，解略．→小结：向量方法证明四点共面三、坚固练习1.练习：课本P96练习3题.2.作业：课本P96练习2题.奎屯市第一高级中学第6页新课标人教版高中数学选修2-1第三章空间向量与立体几何王新敞第4课时§3.1.3空间向量的数量积运算授课要求：掌握空间向量夹角和模的见解及表示方法；掌握两个向量数量积的见解、性质和计算方法及运算律；掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题.授课重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用．授课难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．授课过程：一、复习引入1.复习平面向量数量积定义：2.平面向量中有两个平面向量的数量积，与其近似，空间两个向量也有数量积.二、新课解说1.两个非零向量夹角的见解：已知两个非零向量a与b，在空间中任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作＜a,b＞．说明：⑴规定：0＜a，b＞．当＜a、b＞＝０时，a与b同向；当＜a、b＞＝π时，a与b反向；当＜a、b＞＝时，称a与b垂直，记a⊥b．2a,b＞＝＜b,a＞．⑵两个向量的夹角唯一确定且＜⑶注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必定是同起点的．②＜a,b＞(a,b)两个向量的数量积：已知空间两个向量a与b，|a||b|cos＜a、b＞叫做向量a、b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos＜a,b＞.说明：⑴零向量与任向来量的数量积为0，即0·a＝０；⑵符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能够省略，也不能够用“×”代替.几何意义：已知向量AB＝a和轴l，e是l上和l同方向的单位向量．作点A在l上的射影A′，点B在l上的射影B′，则A'B'叫做向量AB在轴l上或在e方向上的正射影，简称射影．能够证明：A'B'＝｜AB｜cos＜a,e＞＝a·e．说明：一个向量在轴上的投影的见解，就是a·e的几何意义．空间数量积的性质：依照定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积同样，拥有以下性质：⑴a·e＝｜a｜·cos＜a,e＞；⑵a⊥ba·b＝０⑶当a与b同向时，a·b＝｜a｜·｜b｜；当a与b反向时，a·b＝－｜a｜·｜b｜.特别地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝aaa2.cos＜a,b＞＝ab;⑸｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜.ab空间向量数量积的运算律：与平面向量的数量积同样，空间向量的数量积有以下运算律：⑴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘联合律)；⑵a·b＝b·a(互换律)；⑶a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分派律)a2＝｜a｜2，(a＋b)2＝a2＋２a·b＋b2说明：⑴(a·b)c≠a（b·с）；⑵有以下常用性质：5.授课例题：课本P98例2、例3（略）三、坚固练习作业：课本P101例4奎屯市第一高级中学第7页新课标人教版高中数学选修2-1第三章空间向量与立体几何王新敞第5课时§3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示授课要求：掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会依照向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．授课重点：空间向量基本定理、向量的坐标运算．授课难点：理解空间向量基本定理．授课过程：一、新课引入1.回首：平面向量的加减与数乘运算以及平面向量的坐标运算，2.复习：平面向量基本定理.二、解说新课1.类比：由平面向量的基本定理，对平面内的随意愿量a，均可分解为不共线的两个向量1a1和2a2，使a1a12a2.若是a1a2时，这种分解就是平面向量的正交分解.若是取a1,a2为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量i,j，则存在一对实数x、y，使得axiyj，即获得平面向量的坐标表示a(x,y).实行到空间向量，结论会怎样呢？(1)空间向量的正交分解：对空间的随意愿量a，均可分解为不共面的三个向量1a1、2a2、3a3，使a1a12a23a3.若是a1,a2,a3两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解.(2)空间向量基本定理：若是三个向量a,b,c不共面，那么对空间任向来量p，存在有序实数组{x,y,z}，使得pxaybzc.把{a,b,c}叫做空间的一个基底（base），a,b,c都叫做基向量.2.单位正交基底：若是空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，平常用｛i,j,k｝表示．单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互相垂直．采用空间一点O和一个单位正交基底｛i,j,k｝，以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向成立三条坐标轴：x轴、y轴、z轴，获得空间直角坐标系O-xyz，3.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a，且设i、j、k为坐标向量，则存在唯一的有序实数组(a,a,a3)，使a＝a＋a2j＋a．121i3k空间中相等的向量其坐标是同样的．→讨论：向量坐标与点的坐标的关系？向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB＝OB－OA＝(x2,y2,z2)－(x1,y1,z1)＝(x2x1,y2y1,z2z1)．4.向量的直角坐标运算：设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则⑴a＋b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；⑵a－b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；⑶λa＝(a1,a2,a3)(R)；⑷·＝a1b1a2b2a3b3ab证明方法：与平面向量同样，将a＝a1i＋a2j＋a3k和b＝b1i＋b2j＋b3k代入即可．5.两个向量共线或垂直的判断：设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则⑴a//ba＝λba1b1,a2b2,a3b3，(R)a1a2a3；b1b2b3⑵a⊥ba·b=0a1b1a2b2a3b30．6.练习：已知a＝(2,3,5)，b＝(3,1,4)，求a＋b，a－b，8a，a·b．解：略．出示例：课本P101例4.（解略）三、坚固练习作业：课本P102练习2、3题.奎屯市第一高级中学第8页新课标人教版高中数学选修2-1第三章空间向量与立体几何王新敞第6课时§空间向量运算的坐标表示（夹角和距离公式）授课要求：掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题．授课重点：夹角公式、距离公式．授课难点：夹角公式、距离公式的应用．授课过程：一、复习引入向量的直角坐标运算法例：设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则⑴a＋b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；⑵a－b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；⑶λa＝(a1,a2,a3)(R)；⑷a·b＝a1b1a2b2a3b3上述运算法例怎样证明呢？（将a＝a1i＋a2j＋a3k和b＝b1i＋b2j＋b3k代入即可）怎样求一个空间向量的坐标呢？（表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．）二、新课解说⒈向量的模：设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，求这两个向量的模.｜a｜＝a12a22a32，｜b｜＝b12b22b32．这两个式子我们称为向量的长度公式．这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度．2.夹角公式推导：∵a·b＝|a||b|cos＜a,b＞∴a1b1a2b2＝aba12a22a32·b12b22b32·cos＜a,b＞由此能够得出：cos＜a,b＞＝a1b1a2b2a3b3a12a22a32b12b22b32这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个共鸣，我们能够求出两个向量的夹角，并能够进一步得出两个向量的某些特别地点关系：当cos＜a、b＞＝1时，a与b同向；当cos＜a、b＞＝－1时，a与b反向；当cos＜a、b＞＝0时，a⊥b．3.两点间距离共鸣：利用向量的长度公式，我们还能够得出空间两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则、222，其中d、B表示A与B两点间的距离．dAB(x2x1)(y1y2)(z1z2)A3.练习：已知A(3,3,1)、B(1，0，5)，求：⑴线段AB的中点坐标和长度；⑵到A、B两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标x、y、z知足的条件．（答案：(2,3,3)；29；4x6y8z70）2说明：⑴中点坐标公式：OM1(OAOB)＝(x1x2,y1y2,z1z2)；2222⑵中点p的轨迹是线段AB的垂直均分平面．在空间中，对于x、y、z的三元一次方程的图形是平面．4.出示例5：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，1111A1B1，求BE1BEDF4与DF1所成的角的余弦值．分析：怎样建系？→点的坐标？→怎样用向量运算求夹角？→变式：课本P104、例65.用向量方法证明：若是两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行．三.坚固练习作业：课本P105练习3题.奎屯市第一高级中学第9页新课标人教版高中数学选修2-1第三章空间向量与立体几何王新敞第7课时：§3.2立体几何中的向量方法（一）授课要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．授课重点：向量运算在几何证明与计算中的应用．授课难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．授课过程：一、复习引入1.用向量解决立体几何中的一些典型问题的基本思虑方法是：⑴怎样把已知的几何条件（如线段、角度等）转变为向量表示；⑵考虑一些未知的向量可否用基向量或其他已知向量表式；⑶怎样对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论？通法分析：利用两个向量的数量积的定义及其性质能够解决哪些问题呢？⑴利用定义a·b＝|a||b|cos＜a,b＞或cos＜a,b＞＝ab，可求两个向量的数量积或夹角ab问题；⑵利用性质a⊥ba·b＝０能够解决线段或直线的垂直问题；⑶利用性质a·a＝｜a｜2，能够解决线段的长或两点间的距离问题．二、例题解说1.出示例1：已知空间四边形OABC中，OABC，OBAC．求证：OCAB．证明：OC·AB＝OC·(OBOA)＝OC·OB－OC·OA．∵OABC，OBAC，∴OA·BC0，OB·AC0，OA·(OCOB)0，OB·(OCOA)0．∴OA·OCOA·OB，OB·OCOB·OA．∴OC·OB＝OC·OA，OC·AB＝0．∴OCAB2.出示例2：如图，已知线段AB在平面α内，线段AC，线段BD⊥AB，线段DD'，DBD'30，若是AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D间的距离．解：由AC，可知ACAB．由DBD'30可知，＜CA,BD＞＝120，∴|CD|2＝(CAABBD)2＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋2(CA·AB＋CA·BD＋AB·BD)＝b2a2b22b2cos120＝a2b2．∴CDa2b2．3.出示例3：如图，M、N分别是棱长为1的正方体ABCDA'B'C'D'的棱BB'、B'C'的中点．求异面直线MN与CD'所成的角．解：∵MN＝1(CC'BC)，CD'＝CC'CD，2∴MN·CD'＝1(CC'BC)·(CC'CD)＝1(|CC'|2＋CC'CD＋BC·CC'＋22BC·CD)．∵CC'CD，CC'BC，BCCD，∴CC'CD0，BC·CC'0，BC·CD0，∴MN·CD'＝1|CC'|2＝1．求得cos＜MN,CD'＞1，∴＜MN,CD'＞＝60.222小结：利用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转变为向量表示式，并用已知向量表示未知向量，尔后经过向量的运算去计算或证明．三、坚固练习作业：课本P116练习1、2题.奎屯市第一高级中学第10页新课标人教版高中数学选修2-1第三章空间向量与立体几何王新敞第8课时：§3.2立体几何中的向量方法（二）授课要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．授课重点：向量运算在几何证明与计算中的应用．授课难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．授课过程：一、复习引入讨论：将立体几何问题转变为向量问题的路子？1）经过一组基向量研究的向量法，它利用向量的见解及其运算解决问题；2）经过空间直角坐标系研究的坐标法，它经过坐标把向量转变为数及其运算来解决问题.二、例题解说1.出示例1：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：D1F平面ADE．证明：不如设已知正方体的棱长为１个单位长度，且设DA＝i，DC＝j，DD1＝k．以i、j、k为坐标向量成立空间直角坐标系D－xyz，则11∵AD＝(-1,0,0)，D1F＝(0,,-1)，∴AD·D1F＝(-1,0,0)·(0,,-1)＝0，∴D1FAD．12112又AE＝(0,1,)，∴AE·D1F＝(0,1,)·(0,,-1)＝0，∴D1FAE．222又ADAEA，∴D1F平面ADE．说明：⑴“不如设”是我们在解题中常用的小技巧，平常可用于设定某些与题目要求没关的一些数据，以使问题的解决简单化．如在立体几何中求角的大小、判断直线与直线或直线与平面的地点关系时，能够约定一些基本的长度．⑵空间直角坐标些成立，能够采用随意一点和一个单位正交基底，但详细设置时仍应注意几何体中的点、线、面的特点，把它们放在适合的地点，才能方便计算和证明．出示例2：课本P116例3分析：怎样转变为向量问题？进行怎样的向量运算？出示例3：课本P118例4分析：怎样转变为向量问题？进行怎样的向量运算？出示例4：证：若是两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行．改写为：已知：直线OA⊥平面α，直线BD⊥平面α，O、B为垂足．求证：OA//BD．证明：以点O为原点，以射线OA为非负z轴，