高中数学教案直线与圆

高中数学教课方案直线与圆高中数学教课方案直线与圆/高中数学教课方案直线与圆直线与圆一、知识网络二、高考考点1.直线的倾斜与斜率；

2.直线的方程及其应用；

3.两条直线的平行、垂直与相关夹角和到角的公式；4.简单的线性规划问题；

5.圆的方程及其应用；

6.直线与圆的相切与订交问题；

7.两圆的地址关系；8.直线、圆与其他圆锥曲线的综合问题

.三、知识要点〔一〕直线1、直线的倾斜角定义与规定〔1〕定义：关于一条与x轴订交的直线，将x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角，叫做直线的倾斜角，习惯上记作.〔2〕规定：当直线和x轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°.综合上述一般定义和特别规定，直线的倾斜角的取值范围是[0°，180°〕或[0，π〕.提示：直线的倾斜角取值范围是一般与特别相结合的产物，所以，解决相关直线的倾斜角或斜率问题时，一方面要注意立足于这一特定范围，另一方面又要注意分“一般〞与“特殊〞两种状况察看，以保证解题的完满与正确.〔3〕直线的斜率与方向向量〔Ⅰ〕定义1：当直线l的倾斜角不是90°时，的正切叫做直线l的斜率，直线的斜率平时用k表示即：特例：当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在.认知：直线的倾斜角与斜率的另一联系：；；；〔直线的斜率不存在〕〔Ⅱ〕斜率公式直线l上两点，那么直线l的斜率：.〔Ⅲ〕定义2：直线l上的向量与平行于l的向量都称为直线l的方向向量.设，那么直线l的方向向量的坐标是；当直线l不与x轴垂直时，，此时，直线l的方向向量可化为〔这里k为直线l的斜率〕.2、直线的方程1〕理论基础：直线的方程与方程的直线之定义在直角坐标系中，若是直线l和二元方程的实数解之间建立了以下关系：①直线l上的点的坐标都是方程的解〔纯粹性〕②以方程的解为坐标的点都在直线l上〔齐全性〕那么，这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.〔2〕直线方程的几种形式〔Ⅰ〕点斜式：直线l的斜率为k，且过点，那么直线l的方程为：〔Ⅱ〕斜截式直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，那么直线l的方程为：注意：由斜截式方程的推导过程可知，斜截式是点斜式的特例.直线方程的特别形式各自都有其限制性，两者都不能够表示与x轴垂直的直线的方程.所以，运用上述两种形式求直线方程，都是在斜率存在的前提之下的，都需要特别察看直线斜率不存在的状况。〔Ⅲ〕两点式直线l经过两点，那么直线

l的方程为：.〔Ⅳ〕截距式直线l在x轴和y轴上的截距分别为，那么直线l的方程为：注意：截距式是两点式的特例，以其自己特色被人们乐于应用.但应注意，两点式不能够表示与坐标轴垂直的直线〔水平直线和铅垂直线〕，而截距式不能够表示与坐标轴垂直以及过原点的直线.运用它们求直线方程，都需要单独察看它们不能够表示的特别直线.〔Ⅴ〕一般式方程叫做直线方程的一般式直线方程的一般式适合于任何直线，而且是追求直线方程的最后归宿.直线的一般式方程的产生基于命题：任何一条直线的方程都能够表示为关于x,y的一次方程，反之，任何关于x,y的一次方程都表示一条直线.这一命题的正反两个方面，使直线和二元一次方程完成了数与形的转变与一致.3、两条直线的地址关系〔1〕两条直线平行的条件设l1、l2为两条不重合的直线，那么〔Ⅰ〕的斜率相等或它们的斜率都不存在.所以，l1//l2时，解题时要注意对“一般〞和“特别〞两种状况的谈论.〔Ⅱ〕假设设直线，那么〔此式包含了一般与特别两种状况〕〔Ⅲ〕平行于直线的直线〔系〕方程为：〔2〕两条直线垂直的条件关于两条直线l1和l2〔Ⅰ〕的斜率之积等于－1或它们中一个斜率为0而另一个斜率不存在〔Ⅱ〕假设设直线l1：,,那么，〔此式包含了一般与特别两种状况〕〔Ⅲ〕垂直于直线的直线〔系〕方程为：〔3〕直线l1到l2的角；直线l1与l2的夹角设l1与l2订交〔Ⅰ〕直线l1到l2的角，是指l1绕交点依逆时针方向旋转到与l2重合时所转动的角，平时记作①l1到l2的角中的“到〞字，画龙点睛的道出了这个角的方向性，注意到当l1//l2时不定义l1到l2的角，故的取值范围为〔0，〕②设l1与l2的斜率分别为k,k,l1到l2的角为，那么当；12当〔注意：分子是后素来线斜率减去前素来线斜率〕〔Ⅱ〕直线l1与l2的夹角，是指l1与l2订交所成的四个角中，不大于直角的那个角，将其记为.l1与l2的夹角没有方向性，注意到当l1//l2时不定义l1与l2夹角的看法，故得的取值范围为：②设l1与l2的斜率分别为k1,k2,l1与l2的夹角为，那么当；当.〔4〕点到直线的距离设点，直线那么点P到直线l距离：谈论〔两平行直线间的距离〕：设两条平行直线，那么l1与l2之间的距离为.5〕两条直线的交点1〕直线2〕经过直线l1与l2的交点的直线〔系〕方程为〔这里不含l2〕(二)圆的方程1、定义与方程〔1〕定义〔2〕方程〔Ⅰ〕标准方程：圆心为〔a、b〕，半径为〔Ⅱ〕一般方程：圆心为，半径为〔III〕参数方程：圆心为(a，b)，r为半径长2、性质与应用〔1〕圆的根本性质〔Ⅰ〕关于弦的性质圆心与弦中点连线垂直于这条弦〔或弦的垂直均分线经过圆心〕；心的连线为公共弦的垂直均分线；假设设圆半径为r，弦心距d，弦长为2l，那么有〔Ⅱ〕关于切线的性质切线垂直于经过切点的圆的半径；的半径.〔2〕圆的性质的应用

两圆订交时，两圆圆心到切线的距离等于圆解决相关圆的问题时，合时运用圆的性质，经常可防范或缩短某个局部的求解过程，既有效地减少计算量，又使解题过程简捷明快.关于圆的问题的解题技巧，主要表现在“设〞的技巧上：〔Ⅰ〕巧设圆心坐标假设〔或可知〕圆心所在直线的方程或其他特色，那么可据此巧设圆心坐标，减少所引参数的个数.〔Ⅱ〕巧设圆的方程一般地，当所给问题与圆心或半径相关时，以设圆的标准方程为上；在特别状况下，根据问题的详尽状况设圆的一般方程或圆系方程，亦会收到简短收效.3、直线与圆设直线，圆，那么直线与圆的地址关系有两种鉴识方法：1〕“特色〞鉴识法〔只适合于直线与圆地址关系的判断〕：设圆心C到直线l的距离为d，那么直线l与圆C订交；直线l与圆C相切；直线l与圆C相离.2〕“通性〞鉴识法〔适于直线与圆锥曲线地址的判断〕：将上述曲线方程与圆方程联立，消去x(或y)所得一元二次方程的鉴识式为，那么直线与圆C订交；直线与圆C相切；直线与圆C相离.4、挖掘与引申1〕两圆的公共弦所在直线的方程设⊙①与⊙②订交于A、B两点，那么由①-②得两圆公共弦AB所在直线的方程为：〔2〕圆的切点弦所在直线〔极线〕的方程关于圆〔Ⅰ〕当点在圆上时，以〔Ⅱ〕当点在圆外时，过点

M为切点的切线方程为；M分别向圆作切线MA、MB〔切点分别为

A、B〕，那么切点弦AB所在直线〔极线〕方程为.引申：当点在圆外时，过点

M分别向圆作切线

MA、MB〔切点分别为

A、B〕，那么切点弦AB所在直线〔极线〕方程为.四、经典例题例1．求经过点A〔5，2〕，而且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.解析：由题意知直线l与两坐标轴都订交，因为不存在直线l垂直于x轴的状况.但是，注意到直线l的两截距互为相反数的一般状况与特别状况，故解题也需分两种状况谈论.解：由题意知直线l与两坐标轴都订交.〔1〕当直线l在两轴上的截距均不为零时，设直线l的方程为：∵∴，即a=3.∴此时直线l的方程为：.〔2〕当直线l在两轴上的截距为零，即直线l过原点时，直线l的方程为：∴综合〔1〕，〔2〕得所求直线l的方程为或.谈论：运用直线的某一种特别形式求直线方程，从客观上是默认了这一形式存在的前提条件.所以，解题时还要察看这一形式不能够表示的直线，只有实现“一般〞与“特别〞的相互依存，才能实现解题的完解完胜.在这里，直线的“截距式〞不能够表示过原点的直线以及与坐标轴平行〔或重合〕的直线.所以，要对这些特别直线单独察看.2．直线l被两平行直线所截线段AB的中点M在直线上，且l到l2的角为45°，求直线l的方程.解析：由条件易得直线l的斜率.欲求点M坐标，先察看点M的地址特色，注意到，点M为线段AB的中点，故点M在与、等距离的另素来线上.所以，为防范复杂运算，可先求的方程.解〔利用平面图形几何性质的技巧〕：由题意知，点M在与l1，l2等距的直线l3上，注意到l1，l2的纵截距分别为，故l3的纵截距为l，∴由斜截式得l3的方程为①将①与联立解得②设直线l的斜率为k，那么又由得，解得③于是由②③得所求直线l的方程为谈论：解决直线问题的主要技巧，一是“设〞的技巧：经过巧设相关点的坐标或相关直线的方程来减少计算量；二是合时“利用平面图形性质〞的技巧：经过不失时机的利用平面图形的特色，防范或减少解方程的运算.请在下面的例题中注意上述技巧的成心运用.例3．点A〔1，-1〕和直线，过点A作直线l2与l1交于点B，使，求直线l2的方程.解析：欲求的斜率k，如直面求直线、联立的方程组，再利用两点间的距离公式，运算复杂，故想到避其锋芒，先求与的夹角的三角函数值.为此，利用条件率先构造含有的Rt△.解〔对交点坐标不设不解〕：过点A作又为直线l1与l2的夹角∴由〔1〕当直线l2的斜率存在时，设直线那么由两直线的夹角公式得此时，直线l的方程为〔2〕当直线l2的斜率不存在时，直线

l2的斜率为k，l2的方程为，此时易得

B〔1，4〕，吻合条件.综合〔1〕〔2〕得所求直线

l2的方程为

.谈论：借助平面图形的特色

,人为地构造与求解

,进而转变成运用夹角公式求解目标直线的斜率,成心防范了求解直线l1与l2的交点坐标.这样对交点坐标“不设不解〞的办理手法，也是直线与曲线订交问题的根本解题策略之一.例4．在中，A〔3，-1〕，AB边上的中线所在直线方程为的均分线所在直线方程为，求BC边所在直线方程.解析：如何利用的的均分线方程这一条件？平时的选择是两种：一是直面问题，所用l1与l2的角的计算公式；二是利用均分线性质等价转变.我们这里选择第二条路子.解〔利用三角形内角均分线的性质〕：由题意设B〔4t-10,t〕AB边中点，∴点D在直线上，∴∴点B〔10，5〕①又注意到AB与BC边所在直线关于的均分线所在直线对称，故点A〔3，-1〕关于直线对称点A′〔m,n〕必然在直线BC上∴由点A、A′关于直线对称得∴A′〔1，7〕②于是由①②得直线A′B即直线BC的方程为谈论：此题解题特色，一是利用直线方程巧设点B和点D坐标；二是利用均分线性质转变成点的对称问题.此为解决这类直线问题的根本策略.例5．过点A〔1，1〕且斜率为的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q两点，过P、Q分别作直线的垂线，垂足为R、S，求四边形PRSQ的面积的最小值.解析：这里的四边形PRSQ为直角梯形且PR//SQ，故梯形的高RS为平行线QS与PR间的距离，从设直线l的方程切入.解：设直线l的方程为①在①中令∴Q〔0,m+1〕在①中令∴将P、Q两点到直线的距离分别记为,那么②又直线QS方程为，直线PR方程为，∴直线PR与QS间的距离即③∴由②③得：〔当且仅当时等号建立〕于是可知，四边形PRSQ的面积的最小值为〔当且仅当时获取〕谈论：从设直线l的方程切入，点P、Q坐标以及点P、Q到l的距离依次登场，次序渐进，又借助两平行直线间的距离公式求出梯形的高RS，四边形面积的表达式便呼之欲出了.解题主线清楚，脉络清楚，这是我们应追求的境地.6．设圆上的点A〔2，3〕关于直线的对称点仍在此圆上，且该圆与直线订交的弦长为，求圆的方程.解析：圆上的点A关于直线的对称点仍在此圆上，由此我们能够推出什么？解〔巧设圆心坐标〕：由圆上的点A关于直线的对称点仍在圆上知，圆心在直线上∴可设圆的圆心坐标为〔2t，-t〕，圆的方程为①那么由题设条件得：②③∴由②③解得∴所求圆方程为谈论：要善于认知题设的真面目：点A关于直线的对称点在此圆上弦的垂直均分线为直线过圆心例7．一个圆与直线相切于点P〔4，-1〕，且圆心在直线上，求圆的方程。解析：求圆的方程，当条件与圆心或半径关系较为亲近时，第一考虑运用圆的标准方程.解〔巧设圆心坐标〕：∵圆心在直线上∴设圆心C的坐标为〔3t,5t〕又，∴由此得解之得.∴圆心C〔3，5〕，半径.∴所求圆的方程为谈论：条件中出现圆的切线，要想到利用圆的切线的性质.上述解答即是利用了圆的切线的性质之一，圆的切线垂直于经过切点的圆的半径.例8．圆C与圆订交，所得公共弦平行于直线，又圆C经过点A〔-2，3〕，B〔1，4〕，求圆C的方程。解析：题设条件中出现两圆的公共弦.对此，办理问题的常用方法有二：一是推导并利用公共弦所在直线的方程；二是充分利用两圆的公共弦的性质，着眼点不同样，随之的解法也会不同样.解法一〔利用公共弦所在直线的方程〕：设圆C方程为，那么圆C与圆的公共弦所在直线方程为∴由题设得：①又点A、B在圆C上，故有：②③∴所求圆C的方程为：解法二〔利用圆的性质〕：由得圆C的弦AB的中点坐标为，∴圆C的弦AB的垂直均分线方程为④又圆圆心为∴两圆连心线所在直线的方程为⑤设圆心C〔a,b〕，那么由④、⑤得解之得再注意到圆C的半径∴所求圆C的方程为谈论：两种解法各有所专长，仅就解题的严实性而言，解法二的优势明显一些.例9．圆M的方程为，点Q是x轴上的动点，QA、QB分别切圆M于A、B，试求弦AB的中点P的轨迹方程.解析：此题出现“切点弦〞.基于问题的复杂性，我们考虑推导并利用圆的切点弦所在直线的方程.解：由得M〔0，2〕，圆M方程为①设Q〔t,0〕，那么由①得切点弦AB所在直线方程为②又设P〔x,y〕，那么由得③将③代入②得④谈论：当t=0时有x=0，代入②得悉足④式，故点也是所求轨迹上的点.综上可知，所求弦AB的中点P的轨迹方程为：.说明：这里的切点弦AB所在直线的方程②是需要推导或证明的.此题略去的推导或证明过程，请大家练习.例10．直线与⊙订交于A、B两点〔1〕当时，求⊙C的方程；〔2〕当时，求⊙C的方程〔O为原点〕解：〔1〕利用圆的性质，对交点坐标“不设不解〞注意到⊙C的方程为∴弦心距由得∴所求⊙C方程为：或〔2〕对交点A、B坐标“既设又解〞设、，将直线方程与⊙C方程联立得：消去x得①由题意知：为方程①的两个不等实根∴②∴由韦达定理得：③∴④又由∴⑤∴由③、④、⑤得：解得：a=3〔满足②式〕∴所求⊙C方程为谈论：在这里的“既设又解〞中，“设〞是诚意真意地设〔交点坐标〕“解“是半心半意地解〔方程组〕，解至中途转而运用韦达定理求解.例10的改作：〔1〕⊙C：与直线订交于A、B两点，且〔O为原点〕，求

m的值.2〕⊙C的圆心坐标为，⊙C与直线订交于A、B两点，且〔O为坐标原点〕，求⊙C方程3〕过点〔3，0〕的直线l与⊙C：订交于A、B两点且〔O为坐标原点〕，求直l的方程.五、高考真题〔一〕选择题1.“〞是“直线与直线互相垂直〞的〔〕A.充分必要条件B.充分而不用要条件C.必要而不充分条件D.既不充分又不用要条件2.设直线的倾斜角为，且，那么a,b满足〔〕A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=03.设直线的方程是，从1，2，3，4，5这五个数中每次取出两个不同样的数作为A、B的值，那么所得不同样直线的条数是〔〕A.20B.19C.18D.164.将直线沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆相切，那么实数的值为〔〕A.–3或7B.–2或8C.0或10D.1或115.直线l过点〔－2，0〕，当直线l与圆有两个交点时，其斜率k的取值范围是〔〕A.B.C.D.6.从原点向圆作两条切线，那么这两条切线的夹角的大小为〔〕A.B.C.D.7.点P〔x,y〕在不等式组表示的平面地域上运动，那么的取值范围是〔〕A.[-2，-1]B.[-2，1]C.[-1，2]D.[1，2]8.圆C与圆关于直线对称，那么圆C的方程为〔〕A.B.C.D.〔二〕填空题1.直线关于直线x=1对称的直线方程是.2.设直线和圆订交于点A、B，那么弦AB的垂直均分线方程为.3.假设点P〔-1，0〕的直与相切，此直在y上的截距是.4.假设，x－y的最大是.5.直与订交于A、B两点，且，.6.由点P向引两条切PA、PB，切点分A、B，，点P的迹方程.7.非数x,y足，的最大.8.x,y足束条件，使目函数的最大的点〔x,y〕是.9.数x,y足，的最大.〔三〕解答1.如，直与直之的阴影地域〔不含界〕W，其左半局部W1，右半部分2〔1〕分用不等式表示12W.W和W；〔2〕假设地域W中的点P〔x,y〕到的距离之，求点P的迹C的方程；3〕不原点O的直l与〔2〕中曲C订交于两点，且与分交于两点，求：的重心与的重心重合.在平面直角坐系中，矩形ABCD的2，1，AB、AD分在x、y的正半上，A点与坐原点重合〔如所示〕，将矩形折叠，使A点落在段DC上.1〕假设折痕所在直的斜率k，写出折痕所在直的方程；2〕求折叠的的最大.3.如，直与订交于点P，直与x交于点，点作x的垂交于点，点作的垂交直于点，点作x的垂交于，⋯⋯素来作下去，可获取一系列点Q1，P2，Q2，⋯⋯，点的横坐构成数列.〔1〕明：；〔2〕求系数的通公式；〔3〕比与+5的大小.解析与解答〔一〕

yP1，B.解析：当，两直和，然垂直，条件具充分性；当两直互相垂直，由得：或，条件不具必要性.故B.2.D.解析：由斜得又由得，∴，即a=b，故D.3.C.解析：注意到A、B的序，从1，2，3，4，5五个数中任取两个作中A、B的有种解法，但其中有“A=1，B=2〞与“A=2，B=4〞表示同素来，“A=2，B=1〞与“A=4，B=2〞表示同一条直，所以不同样直的条数，C.4.A.解析：把直即向左平移1个位得直.解法一：假设注意到与y交于〔0，0〕和〔0，4〕两点，即与y的订交弦x=0，当，直都和与y的订交弦订交，进而否认B，C，D，A.解法二：将代入方程得，当得解得或，进而A.C.解析：将直代入得，故C.B.解析：的心C〔0，6〕，两切点A、B，在中，，∴，B.C.解析：第一由不等式确定可行域，此后研究目函数〔即〕.结合图形易知：当直线，过点A〔0，1〕时，；当直线，过点B〔2，0〕时，，故应选C.8.选C.解析：圆圆心〔1，0〕，其关于直线的对称点为〔0，-1〕，由此否认A，B，D，应选C.〔二〕填空题解析：从点的对称切入，当直线上的点〔0，0〕关于的对称点为A〔2，0〕，直线上的点〔2，1〕关于的对称点为B〔0，1〕，那么，进而直线AB的方程为，故所求对称直线方程为解析：圆圆心〔1，0〕，，∴弦AB的垂直均分线的斜率为，∴弦AB的垂直均分线的方程为，故所求直线方程为：3.解析：圆方程为：，经过点P〔-1，0〕且与圆相切的直线的斜率存在，设这所有线的方程为，那么，由此解题k=1，∴上述切线的方程为y=x+1

，其y轴上的截距是1，故应填1.解析：依照设，那么〔为辅助〕∴x-y的最大值为解析：由题设在中，，∴∴，∴应填6.解析：由题设得，∴又，，∴动点P的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆.∴动点P的轨迹方程为谈论：第一认知动点P的运动轨迹，此后据此导出动点P的轨迹方程，此为求动点轨迹方程的又一路子。解析：由不等式组解得可行域.可行域界线上各交点的坐标分别为O〔0，0〕，A〔2，0〕，B〔0，3〕，C〔1，2〕，当，那么比较u在各交点处的函数值得谈论：在x,y不受其他限制的状况下，目标函数的最值必然是在可行域界线上的“交点〞处获取.所以，相关问题均可仿7解决.8.解析：由不等式作出可行域，求出可行域界线上的各个“交点〞的坐标，那么仿7可得答案是点〔2，3〕.9.解析：由不等式组作出可行域，那么可行域为所包围的平面地域〔包含界线〕，，，注意到表示地域内任一点P与原点的连线的斜率，又，∴〔三〕解答题解析：关于〔1〕从题设中的直线方程切入；关于〔3〕，那么可考虑推理并运用三角形重心坐标公式证明.为此，搜寻三极点同名坐标的和之间的联系.解：〔1〕由题设得：，.2〕直线，直线.由题意得：，即：①∵点∴②∴由①，②得：整理得∴所求动点P的轨迹C的方程为：③〔3〕证明：〔Ⅰ〕当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为，∵直线l，曲线C关于x轴对称而且与关于x轴对称.∴的中点坐标均为〔a，0〕，∴的重心坐标均为，即它们的重心重合.〔Ⅱ〕当直线l不垂直x轴时，设直线l的方程为：④④代入③得：由题意知这里：且⑤设，那么由韦达定理得：又设那么由得，由得，∴，于是可得：，即的重心与的重心重合.谈论：1〕这里地域.2〕依照三角形重心坐标公式，要证明上述两个三角形的重心重合，只要证三极点的同名坐标的算术平均数分别相等.于是，计算、推理的方向便更加明确了.解析：〔1〕由题设，知折痕上点的坐标特色，故求折痕所在直线的方程时考虑运用待定参数法；〔2〕利用〔1〕的结果，先求折痕之长的函数表达式，概括为函数的最值问题.解：〔1〕设折叠后A在DC边上的对应点为，并设折痕EF所在直线的方程为〔Ⅰ〕当k=0时，与D重合〔水平折线〕，