高中数学合情推理

高中数学合情推理第一页，共三十五页，2022年，8月28日2．1合情推理与演绎推理2．1.1合情推理第二页，共三十五页，2022年，8月28日【课标要求】1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．2．了解合情推理在数学发现中的作用．【核心扫描】1．对合情推理含义的理解．(重点)2．能利用归纳和类比进行简单的推理．(重点)第三页，共三十五页，2022年，8月28日自学导引1．归纳推理和类比推理

(1)归纳推理：由某类事物的

具有某些特征，推出该类事物的

都具有这些特征的推理，或者由

概括出

的推理．简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．

(2)类比推理：由两类对象具有某些

特征和其中一类对象的某些

．推出另一类对象也具有这些特征．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．部分对象全部对象个别事实一般结论类似已知特征第四页，共三十五页，2022年，8月28日想一想：归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？ 提示归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．第五页，共三十五页，2022年，8月28日2．合情推理

(1)定义 归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过

、

、

、

，再进行

、

，然后提出

的推理，我们把它们统称为合情推理．

(2)合情推理的过程观察分析比较联想归纳类比猜想第六页，共三十五页，2022年，8月28日想一想：由合情推理得到的结论可靠吗？

提示一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了．第七页，共三十五页，2022年，8月28日名师点睛1．归纳推理

(1)归纳推理的特点 ①归纳推理是由几个已知的特殊情况归纳出一般性的结论，该结论超越了前提所包含的范围． ②归纳出的结论具有猜测性质，是否属实，还需逻辑证明和实践检验，即结论不一定可靠． ③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．第八页，共三十五页，2022年，8月28日(2)归纳推理的步骤①归纳对有限资料进行观察、分析，发现某些相同性质．一般地，如果归纳的个别情况越多越具有代表性，那么推广的一般性命题就越可能为真．②猜想：在以上基础上提出带有规律性的结论．③检验：检验猜想．第九页，共三十五页，2022年，8月28日2．类比推理

(1)类比推理的一般步骤 ①找出两类事物之间的相似性或一致性． ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题．

(2)类比推理的特点 ①类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，以旧认识为基础，类比出新结果．第十页，共三十五页，2022年，8月28日②类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性．如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠．③类比的结果是猜测性的，不一定正确．但它却具有发现的功能．第十一页，共三十五页，2022年，8月28日(3)类比推理的适用前提①运用类比推理的前提是两类对象在某些性质上有相似性或一致性，关键是把这些相似性或一致性确切地表述出来，再由一类对象具有的特性去推断另一类对象也可能具有此类特性．②运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象．第十二页，共三十五页，2022年，8月28日题型一归纳推理的应用【例1】

观察如图所示的“三角数阵”1…………第1行2

2…………第2行3

4

3…………第3行4

7

7

4…………第4行51114115…………第5行

…………

第十三页，共三十五页，2022年，8月28日记第n行的第2个数为an(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出an＋1与an的关系式．第十四页，共三十五页，2022年，8月28日[思路探索](1)观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果．(2)由数阵可直接写出答案．(3)写出a3－a2，a4－a3，a5－a4，从而归纳出(3)的结论．第十五页，共三十五页，2022年，8月28日解由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．(1)6,16,25,25,16,6(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4由此归纳：an＋1＝an＋n.

对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解．第十六页，共三十五页，2022年，8月28日第十七页，共三十五页，2022年，8月28日第十八页，共三十五页，2022年，8月28日第十九页，共三十五页，2022年，8月28日题型二类比推理的应用【例2】

如图所示，在△ABC中，射影定理可表示 为a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分别为角

A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间 四面体性质的猜想．

[思路探索]

第二十页，共三十五页，2022年，8月28日第二十一页，共三十五页，2022年，8月28日

(1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论．(2)平面图形与空间图形类比平面图形空间图形点线线面边长面积面积体积线线角二面角三角形四面体第二十二页，共三十五页，2022年，8月28日第二十三页，共三十五页，2022年，8月28日题型三平面图形与空间图形的类比【例3】

三角形与四面体有下列相似性质：

(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．

(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形． 通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：第二十四页，共三十五页，2022年，8月28日三角形四面体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心第二十五页，共三十五页，2022年，8月28日

三角形和四面体分别是平面图形和空间图形，三角形的边对应四面体的面，即平面的线类比到空间为面．三角形的中位线对应四面体的中位面，三角形的内角对应四面体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球．第二十六页，共三十五页，2022年，8月28日[规范解答]

三角形四面体三角形的两边之和大于第三边四面体的三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边四面体的中位面的面积等于第四个面的面积的，且中位面平行于第四个面三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心第二十七页，共三十五页，2022年，8月28日【题后反思】将平面几何中的三角形、长方形、圆、面积等和立体几何中的三棱锥、长方体、球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法．第二十八页，共三十五页，2022年，8月28日【变式3】

类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是(

)． ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．

A．①

B．①②

C．①②③

D．③第二十九页，共三十五页，2022年，8月28日解析由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理，上述三个结论均符合推理结论，故均正确．答案C第三十页，共三十五页，2022年，8月28日方法技巧数形结合思想在合情推理中的应用本节关于数形结合思想的考查主要是利用图形归纳、类比一般规律，从而作出猜想．第三十一页，共三十五页，2022年，8月28日【示例】如图所示是树形图，第一层是